부등식 풀이: 부등식의 종류와 풀이 방법

부등식의 해는 부등식을 참이 되게 하는 변수의 모든 값입니다. 부등식을 푼다는 것은 이러한 모든 값을 찾아 집합으로 나타내는 것입니다.

방정식과 비교해 보세요. 방정식 \(2x = 8\)의 해는 \(x = 4\)라는 하나의 숫자입니다. 하지만 부등식 \(2x < 8\)의 해는 \(3\), \(0\), \(-100\), \(3{,}999\) 등 무수히 많습니다. 이들을 하나하나 나열할 수 없으므로 구간으로 나타냅니다: \(x < 4\), 즉 \((-\infty;\ 4)\)입니다.

특정 숫자가 해인지 확인하는 방법은 간단합니다. 변수 자리에 대입하여 부등식이 참이 되는지 확인하면 됩니다.

• \(x = 1\)을 \(2x < 8\)에 대입: \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — 참이므로 \(1\)은 해입니다.
• \(x = 5\)를 대입: \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — 거짓이므로 \(5\)는 해가 아닙니다.

두 부등식의 해집합이 같을 때 두 부등식은 동치라고 합니다. 부등식 풀이는 왼쪽 변에 \(x\)만 남을 때까지 더 간단한 동치 부등식으로 변형해 나가는 과정입니다.

부등호는 네 가지가 있으며, 어떤 기호를 쓰느냐에 따라 해와 표기법이 달라집니다. 등호가 없는 \(<\)와 \(>\)는 경계점을 해에 포함하지 않으며, 등호가 있는 \(\le\)와 \(\ge\)는 포함합니다.

이 차이는 풀이 전체에 적용됩니다. 등호가 없으면 수직선에 빈 원(흰 점)을 그리고 구간 표기 시 괄호 \(( )\)를 사용하며, 등호가 있으면 색칠된 점을 그리고 대괄호 \([ ]\)를 사용합니다.

부등식은 방정식과 거의 같은 방식으로 다룰 수 있지만 한 가지 중요한 차이점이 있습니다. 덧셈과 뺄셈은 자유롭습니다. 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 해집합은 변하지 않습니다. 이것이 바로 항을 이항할 때 부호를 바꾸는 원리입니다.

하지만 곱셈과 나눗셈은 곱하는 수의 부호에 따라 달라집니다. 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때는 부등호의 방향이 반대로 바뀝니다. \(<\)는 \(>\)로, \(\le\)는 \(\ge\)로 바뀝니다. 그 이유는 숫자에서 확인할 수 있습니다. 참인 \(3 < 5\)의 양변에 \(-1\)을 곱하면 \(-3\)과 \(-5\)가 되는데, \(-3 > -5\)이므로 대소 관계가 뒤집힙니다.

좌변과 우변의 위치를 바꾸는 경우에도 마찬가지입니다. \(7 < y\)는 \(y > 7\)이 됩니다.

변수만 남으면 풀이는 거의 끝난 것입니다. 이제 해를 나타내면 됩니다. 수직선에 먼저 표시한 뒤 구간으로 옮겨 적는 것이 가장 좋습니다.

표기 규칙은 세 가지뿐이며 부등식 종류와 상관없이 동일합니다:

• 소괄호 \(( )\) — 경계점이 해에 포함되지 않음 (등호 없음, 빈 원);
• 대괄호 \([ ]\) — 경계점이 해에 포함됨 (등호 있음, 색칠된 점);
• 무한대(\(\infty\))는 항상 소괄호: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) — \([-\infty;\ 4]\)와 같은 표기는 존재하지 않습니다. 무한대는 숫자가 아니며 도달할 수 없기 때문입니다.

해집합이 두 구간으로 나뉘면 합집합 기호 \(\cup\)로 연결합니다: 예: \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).

부등식은 변수가 어떤 형태로 포함되어 있는지(일차, 이차, 분모, 절댓값 등)에 따라 구분됩니다. 이것이 풀이 방법을 결정하므로, 부등식 풀이의 첫 단계는 유형을 파악하는 것입니다. 공통적인 논리는 '식을 0과 비교하는 형태'로 만든 뒤, 해당 유형에 맞는 기법을 적용하는 것입니다. 유형별 요약은 아래 표를 참고하세요.

절댓값을 푸는 방법은 따로 기억해야 합니다. \(a > 0\)일 때 \(|f(x)| < a\)는 연립부등식 \(-a < f(x) < a\)와 동치이며, \(|f(x)| > a\)는 \(f(x) < -a\) 또는 \(f(x) > a\)의 합집합이 됩니다. \(a < 0\)이면 고민할 필요가 없습니다. 절댓값은 항상 0 이상이므로 \(|f(x)| < a\)는 해가 없고, \(|f(x)| > a\)는 모든 \(x\)에 대해 성립합니다.

무리부등식과 지수부등식은 고등 과정에서 다루며, 일반적인 변형 외에도 정의구역을 고려해야 합니다.

유형별 상세 설명: 일차부등식, 유리부등식과 구간법, 이차방정식의 근은 근과 계수의 관계를 활용하면 편리합니다.

종종 하나의 부등식이 두 개로 나뉘는데, 이때 해집합을 어떻게 다룰지 혼동하지 않는 것이 중요합니다.

연립부등식(중괄호)은 '둘 다 동시에 만족'을 의미합니다. 각 부등식을 따로 풀고 수직선에 나타낸 뒤 공통 범위(교집합)를 구합니다. 공통 범위가 없으면 해가 없습니다.

부등식의 합집합(대괄호)은 '둘 중 하나라도 만족'을 의미합니다. 여기서는 합집합을 구합니다. 절댓값이 '초과'인 경우를 풀 때 나타납니다.

연립부등식 형태인 \(-3 < 2x + 1 \le 7\)은 연립부등식을 짧게 쓴 것입니다. 세 부분 모두에 동시에 연산을 수행합니다. 음수로 나눌 때는 두 부등호 모두 방향을 바꿉니다.