기울기-절편 형식: y = mx + b 설명

모든 직선(수직선 제외)은 기울기-절편 형식으로 나타낼 수 있습니다:

\(m\)과 \(b\)라는 두 문자만이 직선마다 달라지는 값입니다. 방정식에서 다음과 같이 읽어보세요:

• \(m\) — 기울기. 직선이 얼마나 가파른지, 어느 방향으로 기울어졌는지를 나타냅니다. 기울기는 밑변에 대한 높이의 비(rise over run)를 의미합니다. 즉, 오른쪽으로 1단위 이동할 때 직선이 위(또는 아래)로 얼마나 이동하는지를 나타냅니다.
• \(b\) — y-절편. 직선이 수직축(y축)과 만나는 \(y\)값, 즉 점 \((0, b)\)를 의미합니다. \(x = 0\)일 때 \(mx\) 항은 사라지고 \(y = b\)가 됩니다.

예를 들어, \(y = 2x + 3\)에서 기울기는 \(m = 2\), y-절편은 \(b = 3\)입니다. 따라서 이 직선은 y축의 \((0, 3)\)을 지나며 오른쪽으로 1단위 갈 때 위로 2단위 올라갑니다.

\(y = mx + b\)에서 그래프를 그리는 것은 세 가지 쉬운 단계로 가능합니다. 표를 만들 필요가 없습니다:

1. y-절편을 표시합니다. y축의 \((0, b)\) 지점에 점을 찍습니다. 이것이 시작점입니다.
2. 기울기를 사용하여 두 번째 점을 찾습니다. \(m\)을 \(\frac{\text{높이}}{\text{밑변}}\) 분수로 씁니다. 첫 번째 점에서 위(높이)로 이동하고 오른쪽(밑변)으로 이동합니다. \(2\)와 같은 정수 기울기는 \(\frac{2}{1}\)로 생각하면 됩니다.
3. 두 점을 잇는 직선을 그립니다. 양방향으로 길게 연장합니다.

아래 격자는 \(y = 2x + 1\)의 그래프입니다: y-절편은 \((0, 1)\)이고, 기울기 \(2 = \frac{2}{1}\)는 위로 2, 오른쪽으로 1 이동하여 다음 점 \((1, 3)\)에 도달함을 의미합니다.

방정식에서. 이미 \(y = mx + b\) 형식이라면 \(x\)에 곱해진 수가 기울기 \(m\)이고, 상수항이 y-절편 \(b\)입니다. 부호를 주의하세요: \(y = -3x - 4\)에서 기울기는 \(m = -3\), y-절편은 \(b = -4\)입니다. 방정식이 다른 형태(예: \(2x + y = 5\))라면 먼저 \(y\)에 대해 정리하세요: \(y = -2x + 5\)가 되어 \(m = -2\), \(b = 5\)가 됩니다.

두 점을 이용한 기울기. 두 점 \((x_1, y_1)\)과 \((x_2, y_2)\)가 주어지면, 기울기는 \(y\)의 변화량을 \(x\)의 변화량으로 나눈 값입니다:

점 \((1, 2)\)와 \((3, 8)\)의 경우: \(m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\)입니다. 분자와 분모에서 좌표를 같은 순서로 빼야 합니다. 그렇지 않으면 부호가 반대로 바뀝니다.

방정식을 작성하려면 기울기 \(m\)과 y-절편 \(b\)만 알면 됩니다. 그 후 \(y = mx + b\)에 대입하세요.

• 기울기와 y-절편이 주어진 경우. \(m = -2\), \(b = 5\)이면 방정식은 \(y = -2x + 5\)입니다. 끝입니다.
• 기울기와 한 점이 주어진 경우. 기울기와 점 \((x, y)\)를 \(y = mx + b\)에 대입하여 \(b\)를 구합니다. 예: 점 \((2, 3)\)을 지나는 기울기 \(m = 4\)인 직선은 \(3 = 4(2) + b\)가 되어 \(b = 3 - 8 = -5\)이므로 방정식은 \(y = 4x - 5\)입니다.
• 두 점이 주어진 경우. 먼저 위 공식으로 기울기를 구한 다음, 한 점을 사용하여 \(b\)를 구합니다. 이전 단계와 정확히 같습니다.

기울기의 부호를 보면 직선이 어느 방향으로 향할지 한눈에 알 수 있습니다.