수의 판별법: 표와 예시

판별법은 나누기 연산을 직접 수행하지 않고도 어떤 수가 다른 수로 나누어떨어지는지 알 수 있게 해주는 규칙입니다. 마지막 숫자 몇 개를 보거나 모든 숫자를 더하는 것만으로도 알 수 있습니다.

판별법은 숫자의 '구조'를 빠르게 파악해야 할 때 어디서든 유용합니다:

• 분수 약분 시 — 분자와 분모를 무엇으로 약분할 수 있는지 즉시 알 수 있습니다.
• 수를 소인수분해할 때;
• 최대공약수와 최소공배수를 찾을 때;
• 문제 풀이 답을 빠르게 확인할 때.

두 가지 다른 질문을 혼동하지 않는 것이 중요합니다. '3726은 9로 나누어지는가?' — 이에 대한 답은 판별법이 제공합니다: 숫자 합 3 + 7 + 2 + 6 = 18은 9로 나누어지므로 그렇습니다. '얼마나 되는가?' — 이것은 실제 나누기입니다: 3726 : 9 = 414. 판별법은 '예' 또는 '아니오'라는 답만 제공하지만, 즉각적이고 암산으로 가능합니다.

모든 학년의 수의 판별법을 한눈에 볼 수 있는 표로 정리했습니다. 색깔은 어디를 봐야 하는지 알려줍니다: 마지막 숫자, 숫자 합, 마지막 두세 자리 숫자 '꼬리', 또는 두 가지 판별법을 동시에 봐야 하는지.

가장 간단한 그룹입니다: 마지막 숫자만 보면 되고, 나머지는 중요하지 않습니다.

• 2로 나누어지는 수는 짝수입니다. 즉, 0, 2, 4, 6 또는 8로 끝나는 수입니다.
• 5로 나누어지는 수는 0 또는 5로 끝나는 수입니다.
• 10으로 나누어지는 수는 0으로 끝나는 수입니다.

수의 길이는 중요하지 않습니다: 987 654 320은 마지막 숫자가 0이므로 2, 5, 10으로 모두 나누어집니다. 1435는 5로 나누어지지만(마지막 숫자 5), 2나 10으로는 나누어지지 않습니다. 홀수이기 때문입니다.

여기서 유용한 결론을 도출할 수 있습니다: 10으로 나누어지는 수는 2와 5로 동시에 나누어지는 수와 같습니다.

여기서는 마지막 숫자가 아무런 역할을 하지 않습니다. 모든 숫자의 합이 중요합니다:

• 어떤 수의 3으로 나누어지는지는 그 수의 숫자 합이 3으로 나누어지는지로 알 수 있습니다.
• 어떤 수의 9로 나누어지는지는 그 수의 숫자 합이 9로 나누어지는지로 알 수 있습니다.

합이 큰 수가 나오면 판별법을 다시 적용할 수 있습니다: 899 991의 숫자 합은 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45이고, 45의 합은 4 + 5 = 9이므로, 원래 수도 9와 3으로 나누어집니다.

판별법은 비슷하지만 서로를 대체하지는 않습니다. 9로 나누어지는 모든 수는 3으로도 나누어집니다. 9 자체가 3으로 나누어지기 때문입니다. 그 반대는 성립하지 않습니다: 숫자 합이 3으로 나누어질 수 있지만 9로는 나누어지지 않을 수 있으며, 이 경우 수는 두 가지 판별법 중 하나만 통과합니다. 두 경우 모두 아래에서 자세히 설명합니다.

여기서는 마지막 숫자 하나만으로는 부족합니다. 몇 개의 마지막 숫자로 이루어진 '꼬리'가 필요합니다:

• 4로 나누어지는 수는 마지막 두 자리 숫자가 4로 나누어지는 수로 이루어진 경우입니다.
• 8로 나누어지는 수는 마지막 세 자리 숫자가 8로 나누어지는 수로 이루어진 경우입니다.
• 25로 나누어지는 수는 마지막 두 자리가 00, 25, 50 또는 75인 경우입니다.

꼬리만으로 충분한 이유: 100은 4와 25로 나누어지고, 1000은 8로 나누어집니다. 따라서 그 왼쪽의 숫자는 이미 해당 수로 나누어지므로 결과에 영향을 미치지 않습니다.

여기서 중요한 결론이 나옵니다: 4와 8의 경우 짝수라는 것만으로는 부족합니다. 수가 짝수일 수 있지만, 마지막 두세 자리 숫자의 꼬리가 나누어떨어지지 않으면 전체 수도 나누어떨어지지 않습니다. 꼬리 분석은 아래 삽입 부분에서 다룹니다.

6은 자체적인 별도 규칙이 없습니다: 6 = 2 · 3이며, 두 인수는 서로소입니다. 따라서 판별법은 복합적입니다 — 수가 2와 3으로 동시에 나누어지면 6으로 나누어집니다.

5124를 확인해 봅시다: 마지막 숫자가 4이므로 짝수이고, 따라서 2로 나누어집니다. 숫자 합 5 + 1 + 2 + 4 = 12는 3으로 나누어집니다. 두 조건이 모두 충족되면 → 5124 : 6 = 854.

짝수라는 것만으로는 부족합니다: 1000은 짝수이지만 숫자 합이 1이므로 3으로 나누어지지 않아 6으로도 나누어지지 않습니다. 반대 경우도 마찬가지입니다: 4521은 숫자 합 12가 3으로 나누어지지만 홀수이므로 6으로도 나누어지지 않습니다.

이와 마찬가지로 다른 복합 판별법도 구성됩니다: 12로 나누어지려면 3과 4로 나누어져야 하고, 15로 나누어지려면 3과 5로, 18로 나누어지려면 2와 9로, 45로 나누어지려면 5와 9로 나누어져야 합니다.

11로 나누어지는 판별법은 부호가 번갈아 나타나는 숫자 합을 사용합니다. 마지막 숫자부터 시작하여 숫자를 더하고 빼기를 번갈아 가며 적용합니다. 결과가 11로 나누어지면(0 포함), 원래 수도 11로 나누어집니다.

이 규칙은 종종 다르게 표현되기도 합니다: 홀수 번째 자리 숫자의 합과 짝수 번째 자리 숫자의 합의 차이가 11로 나누어져야 합니다. 이는 같은 규칙입니다.