비례식 푸는 법: 기본 성질과 문제 풀이

두 수의 비는 나눗셈으로 나타낼 수 있습니다. 비 \(2:3\) (읽을 때 '2 대 3')은 한 수가 다른 수의 몇 배인지, 또는 전체의 얼마를 차지하는지를 보여줍니다. \(2:3\) 또는 분수 \(\frac{2}{3}\)로 쓸 수 있으며, 이는 같은 의미입니다.

비례식은 두 비가 같음을 나타내는 식입니다:

비례식에는 총 4개의 수가 있으며, 각각 이름이 있습니다. 양 끝에 있는 수는 외항, 가운데 있는 수는 내항이라고 합니다. 두 비의 값이 같을 때 비례식은 성립합니다.

비례식의 기본 성질: 외항의 곱은 내항의 곱과 같습니다.

왜 그럴까요? 등식 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)의 양변에 \(b \cdot d\)를 곱하면 됩니다. 왼쪽에서는 \(b\)가 약분되고, 오른쪽에서는 \(d\)가 약분되어 \(a \cdot d = c \cdot b\)만 남습니다. 마법이 아니라 등식의 일반적인 성질입니다.

학생들이 흔히 '비례식을 대각선으로 푼다'고 말하는 것이 바로 이것입니다. 대각선 방향의 수들을 곱하는 것이죠. 이 성질은 반대로도 작동합니다. 네 수에 대해 (0이 아닐 때) \(a \cdot d = b \cdot c\)가 성립하면, 이 수들로 올바른 비례식을 만들 수 있습니다.

이 성질을 통해 두 가지 능력을 얻게 됩니다: 비례식이 올바른지 확인하고, 비례식에서 미지수를 찾는 것입니다.

기본 성질로부터 두 가지 짧은 규칙이 나옵니다:

• 미지수인 외항 = 내항의 곱 ÷ 알려진 외항;
• 미지수인 내항 = 외항의 곱 ÷ 알려진 내항.

이걸 굳이 외울 필요는 없습니다. 하나의 범용적인 방법이면 충분합니다: 대각선으로 곱하여 '수 \(\cdot\, x\) = 수' 형태의 등식을 만들고 나누는 것입니다. \(x : 7 = 12 : 21\) 비례식을 단계별로 풀어보겠습니다.

마지막 단계인 검산은 5초면 충분하며, 거의 모든 계산 실수를 잡아낼 수 있으므로 절대 건너뛰지 마세요.

두 양이 있을 때, 한 양이 몇 배 늘어날 때 다른 양도 똑같이 몇 배 늘어난다면 이를 정비례라고 합니다. 공책을 두 배 더 사면 가격도 두 배 더 지불하게 되죠. 정비례 관계에서는 두 양의 비가 일정합니다.

반면, 한 양이 몇 배 늘어날 때 다른 양이 똑같이 몇 배 줄어든다면 이를 반비례라고 합니다. 일꾼이 두 배 더 많아지면 같은 일을 끝내는 데 걸리는 날짜는 절반으로 줄어듭니다. 반비례 관계에서는 두 양의 곱이 일정합니다.

가장 큰 차이는 비례식을 세울 때 나타납니다. 정비례는 '있는 그대로' 세웁니다: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). 반비례는 두 번째 비를 뒤집습니다: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).

왜 그럴까요? 반비례 관계에서는 곱이 일정하기 때문입니다: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). 양변을 \(a_2 \cdot b_1\)로 나누면 바로 \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\)이 됩니다. 그러니 '뒤집기'는 외워야 할 주문이 아니라, 비가 아니라 곱이 일정하다는 사실에서 나오는 결과입니다.

비례식 문장제 문제는 다음 순서로 풉니다:

1. 같은 단위끼리 세로로 정렬하여 조건을 씁니다 (인분은 인분끼리, 그램은 그램끼리).
2. 구하려는 값을 \(x\)로 둡니다.
3. 관계의 유형을 파악합니다: 첫 번째 양을 늘렸을 때 두 번째 양이 늘어나는지 줄어드는지 생각합니다.
4. 비례식을 세웁니다 (반비례라면 두 번째 비를 뒤집습니다).
5. 대각선으로 곱하여 풀고, 답이 합리적인지 확인합니다.

레시피로 예를 들어보죠. 팬케이크 4인분을 만드는 데 밀가루 300g이 필요하다면, 6인분에는 얼마가 필요할까요? 인분이 늘어나면 밀가루도 늘어나므로 정비례 관계입니다. 식은 '있는 그대로' 세웁니다:

6인분에는 450g의 밀가루가 필요합니다. 답은 합리적입니다. 인분이 1.5배 늘었으니 밀가루도 1.5배 늘어난 것이죠.

축척 문제(지도상의 거리와 실제 거리의 비는 1 대 축척 수)나 가격 문제(상품의 양과 가격의 비)도 똑같이 풉니다. 자세한 풀이는 아래 예제에서 확인하세요.

백분율은 전체를 100으로 보았을 때의 비율이므로, 모든 백분율 문제는 비례식으로 바꿀 수 있습니다:

네 수 중 하나가 미지수라면 대각선 곱하기로 구하면 됩니다.

부분 구하기. 240의 15%는 얼마일까요? \(x : 240 = 15 : 100\)으로 세우면 \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\)이 되어 \(x = 36\)입니다.

전체 구하기. 21은 어떤 수의 35%입니다. \(21 : x = 35 : 100\)으로 세우면 \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\)이 되어 \(x = 60\)입니다.

백분율 구하기. 45 중 18은 몇 %일까요? \(18 : 45 = p : 100\)으로 세우면 \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\)이 되어 \(p = 40\), 즉 40%입니다.

하나의 방법으로 세 가지 유형을 모두 풀 수 있습니다. '얼마나 증가했는지'를 묻는 문제는 먼저 변화량을 구한 뒤 처음 값으로 나누어야 하므로, 이는 단순 비례식이 아닌 백분율 변화 공식입니다.