등차수열이란 각 항에 일정한 수 \(d\)(공차)를 더하여 다음 항을 만드는 수열입니다. 임의의 항은 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) 공식으로 구하며, 첫 \(n\)항의 합은 \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) 공식으로 구합니다. 이 페이지에서는 정의와 공차, 두 가지 합 공식, 등차중항 성질, 수열의 항 포함 여부 확인, 등비수열과의 차이점, OGE 유형 문제 및 자가 진단용 인터랙티브 학습 도구를 다룹니다.
등차수열이란 무엇인가
등차수열은 각 항에 일정한 수를 더하여 다음 항을 얻는 수열입니다. 이 수를 공차라고 하며 \(d\)로 표기합니다.
공식 정의: 수열 \(a_1, a_2, a_3, \dots\)에서 모든 \(n\)에 대해 다음 등식이 성립하면 등차수열이라고 합니다.
수열 3, 7, 11, 15, 19, …를 봅시다. 첫째항 \(a_1 = 3\)이고 공차 \(d = 4\)입니다. 각 항은 이전 항보다 정확히 4만큼 큽니다. 따라서 다음 항은 23이 되며, 3 이전의 항(역방향)은 -1이 됩니다.
수열 전체는 첫째항 \(a_1\)과 공차 \(d\)라는 두 수만으로 결정됩니다. 이 두 값을 알면 임의의 항을 구하고, 첫 \(n\)항의 합을 계산하며, 특정 수가 수열에 포함되는지 확인할 수 있습니다. 수열은 \((a_n)\)으로 표기하고, 항은 \(a_1, a_2, a_3\) 등으로 표기하며, 아래 첨자는 항상 항 번호를 의미합니다.
등차수열의 공차: d 구하는 법
공차는 항상 다음 항 빼기 이전 항입니다:
뺄셈 순서가 중요합니다. 반대로 빼면 부호가 반대가 됩니다. 수열 20, 17, 14, 11, 8의 경우 공차는 \(17 - 20 = -3\)이며 \(+3\)이 아닙니다.
\(d\)의 부호는 수열의 성질을 결정합니다:
- \(d > 0\) — 증가수열, 항이 커집니다;
- \(d < 0\) — 감소수열, 항이 작아집니다;
- \(d = 0\) — 모든 항이 동일합니다(예: 6, 6, 6, 6, …). 이것도 등차수열이며 상수수열이라고 합니다.
항 번호가 다른 두 항을 알면 다음 공식으로 공차를 구합니다:
예시. \(a_4 = 30\)이고 \(a_{10} = 6\)이라고 합시다. 그러면 \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\)이고, 첫째항은 \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\)입니다. 수열의 시작을 확인해봅시다: 42, 38, 34, 30 — 네 번째 항이 30이 맞습니다.
공차는 정수가 아니어도 됩니다: 1; 1.5; 2; 2.5 수열의 공차는 0.5이며, 이 역시 완전한 등차수열입니다.
등차수열의 n번째 항 공식
이 단원의 핵심 공식으로, 이전 항을 모두 나열하지 않고도 임의의 항을 찾을 수 있습니다:
왜 \(n - 1\)일까요? 첫째항에서 \(n\)번째 항까지 가려면 공차를 \(n\)번이 아니라 한 번 적게 더해야 하기 때문입니다. 두 번째 항까지는 한 단계, 세 번째 항까지는 두 단계, 스무 번째 항까지는 열아홉 단계가 필요합니다.
예시. 수열 3, 7, 11, 15, 19, …의 경우 \(a_1 = 3\), \(d = 4\)이므로
이런 축약된 식은 매우 편리합니다. \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), \(a_{100} = 399\)임을 바로 알 수 있습니다. 또한 공차도 바로 보입니다. 모든 등차수열의 \(n\)번째 항 공식은 \(a_n = dn + c\) 형태의 일차식이며, \(n\) 앞의 계수가 바로 공차입니다.
첫째항을 모르고 다른 항을 알 때도 같은 원리가 적용됩니다: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
등차수열의 등차중항 성질
첫째항을 제외한 모든 항은 양옆 항의 산술평균과 같습니다:
이것이 바로 등차수열이라는 이름의 유래입니다. 이 등식은 역으로도 성립합니다. 수열의 각 항이 양옆 항의 합의 절반과 같다면 그 수열은 등차수열입니다. 이를 등차수열의 판정법이라 하며, 세 수가 등차수열을 이루는지 증명할 때 사용합니다.
예시. 수 7, \(x\), 23이 등차수열의 연속된 세 항입니다. 그러면 \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\)입니다. 확인: 7, 15, 23 — 공차가 8로 동일합니다.
이 성질을 더 편리하게 표현하면 \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\)입니다. 즉, 가운데 항의 두 배는 양 끝 항의 합과 같습니다. 이 형태는 항이 문자로 주어졌을 때 적용하기 쉽습니다.
등차수열의 첫 n항의 합
합 \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\)은 두 공식 중 하나로 구합니다:
첫 번째 공식의 아이디어는 가우스가 1부터 100까지 더할 때 사용했다는 일화로 유명합니다. 첫째항과 마지막 항, 둘째항과 끝에서 두 번째 항 등을 더하면 모두 같은 합이 나옵니다. 따라서 \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\)입니다.
두 번째 공식은 첫 번째 공식에 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)를 대입하여 얻으며, 마지막 항을 모르고 따로 구하고 싶지 않을 때 사용합니다.
예시. 수열 3, 7, 11, 15, 19, …의 첫 20항의 합을 구합시다.
첫 번째 공식: \(a_{20} = 79\)이므로 \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
두 번째 공식: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
결과가 일치합니다. 이것이 계산을 확인하는 가장 좋은 방법입니다.
수가 등차수열에 포함되는지 확인하는 법
어떤 수가 수열의 항인지 묻는 질문은 방정식으로 해결합니다. 그 수가 수열에 포함되려면 항 번호 \(n\)이 자연수(1, 2, 3 등)여야 합니다. 분수나 0 이하의 \(n\)이 나오면 해당 항은 존재하지 않는 것입니다.
예시 1. 수 99가 수열 3, 7, 11, 15, 19, …에 포함되는가? 이 수열의 \(n\)번째 항 공식은 \(a_n = 4n - 1\)이므로 \(4n - 1 = 99\)를 풀면 \(4n = 100\), 즉 \(n = 25\)입니다. 번호가 자연수이므로 99는 수열에 포함되며 25번째 항입니다.
예시 2. 그렇다면 2026은? \(4n - 1 = 2026\)에서 \(4n = 2027\), \(n = 506.75\)입니다. 번호가 분수이므로 2026은 이 수열의 항이 아닙니다.
구두로 빠르게 확인하는 팁: \(a_n = 4n - 1\)인 수열의 모든 항을 4로 나누면 나머지가 3입니다. 2026을 4로 나누면 나머지가 2이므로 수열에 포함되지 않음을 바로 알 수 있습니다.
등차수열 OGE 유형 문제
OGE 수학 시험에서 수열은 매년 출제되며, 거의 모든 문제가 네 가지 유형으로 귀결됩니다.
번호로 항 찾기. \(a_1\)과 \(d\)(또는 처음 몇 항)가 주어지면 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)에 대입합니다.
값으로 번호 찾기. 수가 주어지면 \(n\)번째 항 공식과 같다고 두고 \(n\)에 대해 방정식을 풉니다.
합 찾기. 두 공식 중 하나로 \(S_n\)을 구합니다. \(a_n\)이 부족하면 먼저 구합니다.
항의 개수 찾기. \(n\)번째 항 공식에서 유도된 편리한 식 \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\)을 사용합니다.
별도로 문장제 문제가 있는데, 수열이 상황 속에 숨겨져 있습니다. 예: 첫날 노동자가 부품 12개를 만들었고, 매일 이전보다 3개씩 더 만든다면 15일 동안 총 몇 개를 만들까? 여기서 \(a_1 = 12, d = 3, n = 15\)입니다. 마지막 항을 구하면 \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). 따라서 \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\)개입니다.
이런 문제에 대한 핵심 조언: 먼저 주어진 값(\(a_1, d, n, a_n, S_n\))과 구해야 할 값을 별도의 줄에 적으세요. 시험에서 발생하는 실수의 절반은 공식 때문이 아니라 항 번호와 항의 값을 혼동해서 생깁니다.
등차수열과 등비수열: 차이점
두 수열 모두 이전 항에서 다음 항을 만드는 규칙입니다. 차이는 연산에 있습니다. 등차수열은 같은 수 \(d\)를 더하고, 등비수열은 같은 수 \(q\)(공비)를 곱합니다.
이로 인해 성질이 다릅니다. 등차수열은 계단처럼 일정하게 증가합니다: 3, 7, 11, 15 — 매 단계 4가 추가됩니다. 등비수열은 눈사태처럼 증가합니다: 3, 6, 12, 24 — 매 단계 수가 두 배가 되며, 10단계만 지나도 1500이 넘습니다.
수열의 유형을 확인하는 법은 간단합니다. 인접한 항의 차와 비를 계산해보세요. 차이가 같으면 등차수열, 비가 같으면 등비수열입니다. 둘 다 아니면 그냥 수열입니다. 예: 1, 4, 9, 16은 자연수의 제곱이며 등차수열이 아닙니다(차이가 3, 5, 7로 다르고 비도 다릅니다).
학교 과정에서 두 단원은 9학년에 연달아 나오므로 공식을 혼동하기 쉽습니다. 핵심을 기억하세요: 등차수열은 공차 \(d\)를 더하고, 등비수열은 공비 \(q\)를 곱합니다. 나머지는 모두 그 결과입니다.
등차수열 문제 풀이 예제
예제 1. 두 항을 알고 첫째항과 공차 찾기
주어진 것. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). \(a_1, d, a_{20}\)을 구하세요.
1단계. 세 번째 항에서 일곱 번째 항까지는 정확히 \(7 - 3 = 4\)단계이며, 매 단계 \(d\)가 더해집니다. 즉 \(a_7 = a_3 + 4d\), \(30 = 14 + 4d\), \(4d = 16\), \(d = 4\)입니다.
2단계. 첫째항으로 돌아갑니다: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
3단계. \(n\)번째 항 공식을 씁니다: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
4단계. 필요한 항을 계산합니다: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
확인. 수열의 시작을 써봅시다: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. 세 번째 항은 14, 일곱 번째는 30 — 일치합니다.
정답: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
예제 2. 첫 30항의 합 (두 공식 모두)
주어진 것. 수열 \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) \(S_{30}\)을 구하세요.
1단계. 매개변수 결정: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
2단계. 30번째 항 구하기: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
3단계. 첫 번째 공식으로 계산: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
4단계. 두 번째 공식으로 확인. 먼저 분자: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
3단계와 동일하게: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
두 방법 모두 1155가 나왔으므로 계산이 맞습니다.
정답: \(S_{30} = 1155\).
예제 3. 7의 배수인 모든 두 자리 수의 합
문제. 7로 나누어떨어지는 모든 두 자리 수의 합을 구하세요.
1단계. 이 수들은 공차가 7인 등차수열을 이룹니다. 가장 작은 두 자리 7의 배수는 14, 가장 큰 수는 98(다음인 105는 세 자리)입니다. 따라서 \(a_1 = 14, d = 7, a_n = 98\)입니다.
2단계. 항의 개수 계산: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
3단계. 합 계산: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
4단계. 두 번째 공식으로 확인. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
정답: 728.
예제 4. 수가 수열에 포함되는지 확인
문제. 수 145는 수열 \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)의 항인가요? 142는요?
1단계. 수열의 매개변수: \(a_1 = 7, d = 5\), 즉 \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
2단계. 145 확인: 방정식 \(5n + 2 = 145\)는 \(5n = 143, n = 28.6\)입니다. 번호가 분수이므로 145는 수열의 항이 아닙니다.
3단계. 142 확인: \(5n + 2 = 142\), \(5n = 140, n = 28\)입니다. 번호가 자연수이므로 포함됩니다.
4단계. 대입 확인. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). 맞습니다.
정답: 145는 포함되지 않음; 142는 포함되며 28번째 항임.
예제 5. 문자가 포함된 등차중항 성질
문제. \(x\)가 어떤 값일 때 \(x - 3, 2x + 1, 4x - 1\)이 등차수열의 연속된 세 항이 될까요?
1단계. 등차중항 성질에 따라 가운데 항의 두 배는 양 끝 항의 합과 같습니다:
2단계. 괄호 풀기: \(4x + 2 = 5x - 4\).
3단계. 풀기: \(2 + 4 = 5x - 4x\), 즉 \(x = 6\).
4단계. 확인. \(x = 6\) 대입: 첫째항 \(6 - 3 = 3\), 둘째항 \(2\cdot 6 + 1 = 13\), 셋째항 \(4\cdot 6 - 1 = 23\). 차이: \(13 - 3 = 10\)과 \(23 - 13 = 10\) — 일치합니다.
정답: \(x = 6\), 수열 3, 13, 23, 공차 10.
예제 6. 수열에 음수인 항이 몇 개인가
문제. 수열 \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)에 음수인 항은 몇 개인가요?
1단계. 매개변수: \(a_1 = -21, d = 3\). \(n\)번째 항 공식: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
2단계. '항이 음수'라는 조건: \(3n - 24 < 0\), \(3n < 24, n < 8\).
3단계. 번호는 자연수이므로 \(n = 1, 2, \dots, 7\) — 총 일곱 개입니다.
4단계. 경계 확인. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — 음수입니다. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — 0은 음수가 아니므로 여덟 번째 항은 포함하지 않습니다. \(a_9 = 3\) — 양수입니다.
정답: 음수인 항은 7개.
등차수열 문제에서 자주 하는 실수
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$n$번째 항 공식에서 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 대신 $a_n = a_1 + nd$라고 씁니다.
첫째항에서 \(n\)번째 항까지는 번호보다 한 단계 적게 이동합니다. 수열 \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\)의 열 번째 항은 \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\)이며 45가 아닙니다. 공식 확인 팁: \(n = 1\)을 대입하면 정확히 \(a_1\)이 나와야 합니다.
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공차를 반대로 계산합니다: $d = a_1 - a_2$, 부호가 반대가 됩니다.
공차는 다음 항 빼기 이전 항입니다: \(d = a_2 - a_1\). 수열 \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\)의 경우 \(d = 34 - 40 = -6\)이 맞습니다. 마이너스 부호는 실수가 아니라 감소수열의 특징입니다.
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합 공식에서 2로 나누거나 $n$을 곱하는 것을 잊습니다: $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$이라고 씁니다.
쌍 '첫째항과 마지막 항'을 더하는데, 쌍의 개수는 \(\dfrac{n}{2}\)이므로 2로 나누는 것은 필수입니다. 수열 \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\)의 경우 \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\)이고 \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\)이며 670이 아닙니다.
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수의 포함 여부를 확인할 때 $n = 0$이나 음수가 나오는데도 '포함된다'고 답합니다.
항 번호는 자연수이며 1부터 시작합니다. 예를 들어 수열 \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\)에서 방정식 \(10 + 4(n-1) = 6\)은 \(n = 0\)을 주는데, 이는 6이 수열에 포함되지 않음을 의미합니다: 이 수는 첫째항 앞에 있었을 것입니다.
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무엇을 구했는지 혼동합니다: 항의 값이 필요한 곳에 항 번호를 대입하거나 그 반대로 합니다.
\(a_n\)은 값, \(n\)은 항 번호입니다. 문제에서 '몇 번째 항이 142인가'라고 물으면 답은 142가 아니라 28입니다. 좋은 습관: 풀기 전에 '주어진 것: \(a_1 = \dots, d = \dots\), 구해야 할 것: \(n\)'이라고 적으세요.
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수열은 반드시 증가해야 하고 정수로만 구성되어야 한다고 생각합니다.
공차는 음수일 수도 있고(\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), 분수일 수도 있고(1; 1.5; 2; 2.5), 0일 수도 있습니다(8, 8, 8, …). 세 경우 모두 정당한 등차수열이며 모든 공식이 그대로 적용됩니다.
질문과 답변
등차수열이란 무엇인가요?
각 항에 일정한 수 \(d\)(공차)를 더하여 다음 항을 만드는 수열입니다. 예: 3, 7, 11, 15, 19, …는 첫째항이 3이고 공차가 4인 수열입니다.
등차수열의 n번째 항 공식은 무엇인가요?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)입니다. 여기서 \(a_1\)은 첫째항, \(d\)는 공차, \(n\)은 번호입니다. 첫째항이 아닌 다른 항을 알면 일반 형태 \(a_n = a_k + (n-k)d\)를 사용합니다.
등차수열의 공차를 어떻게 구하나요?
임의의 항에서 이전 항을 뺍니다: \(d = a_n - a_{n-1}\). 번호가 다른 두 항이 주어지면 \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\)을 사용하세요. 예: \(a_5 = 23, a_9 = 43\)이면 \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\)이고, 첫째항은 \(23 - 4\cdot 5 = 3\)입니다.
등차수열의 첫째항을 어떻게 구하나요?
\(n\)번째 항 공식에서 유도합니다: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). 예: \(a_{12} = 60, d = 4\)이면 \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\)입니다. 확인: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
등차수열의 첫 n항의 합을 어떻게 구하나요?
마지막 항을 알면 \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) 공식을, 첫째항과 공차만 알면 \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\) 공식을 사용합니다. 둘 다 같은 결과를 주므로 두 번째 공식으로 첫 번째를 검토하기 좋습니다.
등차수열의 항의 개수를 어떻게 구하나요?
\(n\)번째 항 공식에서 유도합니다: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). 예: 수열 \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\)에서 공차는 5이므로 \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\)개입니다.
등차수열과 등비수열의 차이는 무엇인가요?
등차수열은 각 항에 공차 \(d\)를 더하고, 등비수열은 각 항에 공비 \(q\)를 곱합니다. \(n\)번째 항 공식: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) 대 \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). 유형을 구분하려면 인접한 항의 차이와 비를 계산하세요: 차이가 같으면 등차수열, 비가 같으면 등비수열입니다.
공차가 음수이거나 0일 수 있나요?
네. \(d < 0\)이면 수열은 감소하고(예: 20, 17, 14, 11), \(d = 0\)이면 모든 항이 같습니다(6, 6, 6, …) — 이는 상수수열입니다. 공차는 분수일 수도 있습니다: 1; 1.5; 2; 2.5 — 역시 등차수열입니다.
등차수열은 몇 학년에 배우나요?
9학년 대수 시간에 등비수열 및 수열과 함께 배웁니다. 수열 문제는 OGE에 포함됩니다: 보통 번호로 항 찾기, 값으로 번호 찾기, 항의 개수 또는 첫 \(n\)항의 합을 구하는 문제가 나옵니다.
