구구단: 피타고라스 표와 빠르게 외우는 비법

곱셈은 같은 수를 여러 번 더하는 것을 간단하게 나타낸 것입니다. \(4 + 4 + 4\)라고 쓰는 대신 \(4 \times 3\)이라고 쓰며, '4를 3번 더한다'라고 읽습니다.

곱하는 수를 곱하는 수(승수), 결과를 곱(곱셈 결과)이라고 합니다. \(4 \times 3 = 12\)에서 4와 3은 곱하는 수이고, 12는 곱입니다.

곱셈은 점이나 칸으로 이루어진 직사각형으로 이해하는 것이 가장 좋습니다. 가로와 세로의 개수를 세어보세요. 이 직사각형은 덧셈과 곱셈의 관계를 보여주며, 곱하는 수의 순서를 바꿔도 결과가 같다는 것을 그림을 돌려보는 것만으로 쉽게 이해할 수 있게 해줍니다.

전체 구구단은 10×10 정사각형 하나에 담을 수 있는데, 이를 피타고라스 표라고 합니다. 사용법은 간단합니다. 왼쪽 열에서 첫 번째 수를, 위쪽 행에서 두 번째 수를 찾으면 만나는 칸에 결과가 있습니다. 예를 들어 6행과 7열이 만나는 칸에는 42가 있습니다.

표를 자세히 보면 규칙이 보입니다. 대각선에는 제곱수(같은 수를 곱한 결과)가 있습니다. 표는 대칭입니다. 대각선 위쪽 칸과 아래쪽 칸의 값은 같습니다. 또한 각 행은 일정한 간격으로 커집니다. 예를 들어 3단은 3, 6, 9, 12… 순서입니다.

표를 인쇄해서 책상 위에 붙여두면 좋습니다. 제곱수와 중복되는 칸은 색으로 구분되어 있습니다.

학교에서는 보통 구구단을 세로셈표로 배웁니다. 2단부터 시작해서 차례대로 외우는 방식입니다. 피타고라스 표와 같은 내용이지만, 각 단을 곱셈식으로 나열한 것입니다. 1단과 10단은 생략했습니다. 1을 곱하면 그대로이고, 10을 곱하면 뒤에 0만 붙이면 되기 때문입니다.

세로셈표는 구구단을 부분별로 외우기에 좋습니다. 하지만 순서대로만 외우면 나중에 섞여 있을 때 헷갈릴 수 있습니다. 따라서 한 단을 다 외우면 무작위로 테스트해보는 것이 좋습니다.

구구단은 100개의 문제처럼 보이지만, 실제로 외워야 할 것은 훨씬 적습니다.

1. 교환법칙. \(3 \times 8 = 8 \times 3\). 하나를 외우면 다른 하나는 자동으로 알게 됩니다. 100개 중 55개만 외우면 되니 절반은 이미 거저 얻는 셈입니다.
2. 0과 1 곱하기. 0을 곱하면 무조건 0입니다. 1을 곱하면 자기 자신이 나옵니다.
3. 10 곱하기. 뒤에 0만 붙이면 됩니다: \(10 \times 4 = 40\).
4. 2 곱하기. 두 배로 늘리는 것, 즉 같은 수를 두 번 더하는 것입니다.
5. 5 곱하기. 10 곱하기의 절반입니다. 결과는 항상 0이나 5로 끝납니다.

이 규칙들을 배우고 나면 3단부터 9단까지 남는 문제는 얼마 되지 않습니다. 아래의 비법들을 활용하면 쉽게 해결할 수 있습니다.

9단은 가장 '마법 같은' 단입니다. 두 가지 확실한 규칙이 있습니다.

숫자 합 규칙. \(9 \times 2\)부터 \(9 \times 10\)까지 결과의 각 자릿수를 더하면 항상 9가 됩니다: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. 그리고 십의 자리 숫자는 곱하는 수보다 1 작습니다. 예를 들어 \(9 \times 4\)라면, 십의 자리는 3이고, 합해서 9가 되어야 하니 일의 자리는 6입니다. 결과는 36입니다.

손가락 계산법. 양손을 펴고 왼쪽부터 오른쪽으로 1부터 10까지 번호를 매깁니다. 9에 어떤 수를 곱할 때, 그 번호의 손가락을 접습니다. 접은 손가락 왼쪽은 십의 자리, 오른쪽은 일의 자리가 됩니다. 이 규칙은 1부터 10까지 모두 적용됩니다.

손가락 없이 하는 세 번째 방법도 있습니다: 10을 곱하고 자기 자신을 빼는 것입니다.

이 단들은 가장 어렵다고 여겨지지만, 앞서 배운 비법들을 적용하면 새로 외울 것은 6×6, 6×7, 6×8, 7×7, 7×8, 8×8 정도밖에 남지 않습니다.

제곱수는 개수가 적고 표의 대각선에 위치해서 외우기 쉽습니다: 36, 49, 64. 제곱수를 외우면 이웃한 결과는 한 단계만 더하면 됩니다: \(7 \times 8\)은 \(7 \times 7\)에 7을 한 번 더 더한 것: \(49 + 7 = 56\). 마찬가지로 \(6 \times 7 = 36 + 6 = 42\)입니다.

두 번째 방법은 5를 활용하는 것입니다: \(6 \times 8\)은 \(5 \times 8\)에 8을 한 번 더 더한 것: \(40 + 8 = 48\).

7 × 8은 숫자 힌트도 있습니다: \(56 = 7 \times 8\)에서 5, 6, 7, 8이 차례대로 나옵니다.

나눗셈은 곱셈의 반대입니다. 따라서 별도의 '나눗셈 표'를 외울 필요가 없습니다. 이미 구구단 안에 숨어 있습니다.

세 개의 숫자로 네 가지의 올바른 식을 만들 수 있습니다: 곱셈식 두 개와 나눗셈식 두 개입니다. \(7 \times 8 = 56\)을 알면 \(56 \div 8 = 7\)과 \(56 \div 7 = 8\)도 알게 됩니다.

피타고라스 표를 나눗셈에 활용하는 법: 나누는 수의 행에서 나누어지는 수를 찾으면, 그 열 번호가 바로 답입니다.

학습 순서가 중요합니다. 가장 쉬운 단과 규칙부터 시작해서 많은 결과를 한 번에 얻고, 어려운 문제는 마지막에 남겨둡니다. 한 번에 오래 공부하는 것보다 매일 10~15분씩 조금씩 하는 것이 훨씬 효과적입니다.

매일 공부를 시작할 때는 어제 배운 내용을 짧게 복습하세요. 순서대로가 아니라 무작위로 소리 내어 답해보세요. 틀린 문제는 따로 적어두세요. 내일 다시 공부할 나만의 목록이 됩니다.

이 페이지의 '학습기' 탭에서 스스로 테스트해보는 것이 좋습니다. 특정 단만 선택해서(예: 6, 7, 8단만) 집중적으로 훈련할 수 있습니다.