평균, 중앙값, 최빈값, 범위는 수의 집합을 설명하는 네 가지 방법입니다. 이 중 평균, 중앙값, 최빈값은 대푯값으로, 데이터의 "전형적인" 값이 무엇인지 알려줍니다. 네 번째인 범위는 데이터가 얼마나 퍼져 있는지를 측정합니다. 이 페이지에서는 각 개념의 명확한 정의, 계산 방법(짝수 개일 때의 중앙값 포함), 사용 시기, 예제 풀이, 흔한 실수, 그리고 연습을 위한 대화형 퀴즈를 제공합니다.
평균, 중앙값, 최빈값, 범위란 무엇인가요?
각 측정값은 데이터에 대해 서로 다른 질문에 답합니다:
- 평균 — 산술 평균입니다. 모든 값을 하나의 수로 평준화합니다.
- 중앙값 — 수를 순서대로 나열했을 때 가운데에 있는 값입니다.
- 최빈값 — 가장 자주 나타나는 값입니다.
- 범위 — 퍼짐의 정도로, 가장 작은 값에서 가장 큰 값까지의 차이입니다.
아래 표는 각 개념이 무엇이며 어떻게 계산하는지 보여줍니다. 최빈값만이 빈도와 관련이 있고, 범위만이 중심값이 아닌 퍼짐의 정도를 설명한다는 점에 유의하세요.
| 측정값 | 의미 | 계산 방법 |
|---|---|---|
| 평균 | 평균적인 값 | 모든 수를 더한 뒤 개수로 나눕니다 |
| 중앙값 | 순서대로 나열했을 때 가운데 값 | 수를 정렬하고 가운데 값을 선택합니다. 가운데 수가 두 개라면 평균을 냅니다 |
| 최빈값 | 가장 자주 나타나는 값 | 가장 많이 등장하는 값을 찾습니다. 없을 수도, 하나일 수도, 여러 개일 수도 있습니다 |
| 범위 | 데이터의 퍼짐 정도 | 가장 큰 값에서 가장 작은 값을 뺍니다 |
평균, 중앙값, 최빈값 구하는 법
하나의 데이터 집합으로 네 가지를 모두 계산하여 차이를 확인해 봅시다. 4, 8, 8, 5, 3, 8, 6 (7개의 값)을 예로 들어보겠습니다.
평균. 모두 더합니다: 4 + 8 + 8 + 5 + 3 + 8 + 6 = 42. 7개의 값이 있으므로 평균은 42 ÷ 7 = 6입니다.
중앙값. 먼저 정렬합니다: 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8. 7개의 값 중 가운데는 4번째 값이므로 중앙값은 6입니다. (가운데를 고르기 전에 반드시 정렬하세요 — 가장 흔한 실수입니다.)
최빈값. 8이 세 번 나타나 다른 어떤 수보다 많으므로 최빈값은 8입니다.
범위. 가장 큰 값은 8이고 가장 작은 값은 3이므로 범위는 8 − 3 = 5입니다.
하나의 데이터 집합에서 네 가지 다른 답이 나왔습니다. 이것이 우리가 네 가지 측정값을 사용하는 이유입니다.
각 측정값은 언제 사용하나요?
이 측정값들은 서로 경쟁하는 것이 아니라, 질문의 성격에 따라 가장 적합한 것이 다릅니다.
- 평균은 일상적인 "평균"이며 시험 점수나 일일 기온처럼 값들이 고르게 분포할 때 좋습니다. 단점은 매우 크거나 작은 값(이상치) 하나가 평균을 중심에서 멀어지게 할 수 있다는 점입니다.
- 중앙값은 가운데 값이므로 이상치의 영향을 거의 받지 않습니다. 주택 가격이나 소득을 보통 중앙값으로 나타내는 이유입니다. 저택 하나가 전형적인 값을 왜곡하지 않기 때문입니다.
- 최빈값은 평균을 낼 수 없는 데이터(예: 가장 많이 팔린 신발 사이즈, 반에서 가장 좋아하는 색깔)에 사용할 수 있는 유일한 측정값입니다. 데이터 집합은 최빈값이 하나일 수도, 여러 개일 수도, 없을 수도 있습니다.
- 범위는 전형적인 값을 설명하지 않으며 데이터가 얼마나 퍼져 있는지를 알려줍니다. 범위가 작으면 값들이 서로 가깝고, 크면 멀리 떨어져 있다는 뜻입니다.
예제 풀이: 단계별 학습
예제 1. 하나의 데이터 집합으로 네 가지 측정값 모두 구하기
데이터 집합: 7, 3, 7, 10, 3, 6, 3
1단계 — 수 정렬하기. 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10.
2단계 — 평균. 모두 더하기: 3 + 3 + 3 + 6 + 7 + 7 + 10 = 39. 7개의 값이 있으므로 평균은 39 ÷ 7 ≈ 5.57입니다.
3단계 — 중앙값. 7개의 값 중 가운데는 정렬된 리스트의 4번째 값입니다: 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10. 중앙값은 6입니다.
4단계 — 최빈값. 3이 세 번 나타나 다른 어떤 수보다 많으므로 최빈값은 3입니다.
5단계 — 범위. 가장 큰 값에서 가장 작은 값 빼기: 10 − 3 = 7.
정답: 평균 ≈ 5.57, 중앙값 = 6, 최빈값 = 3, 범위 = 7.
예제 2. 값이 짝수 개일 때의 중앙값
데이터 집합: 12, 5, 8, 20 (4개의 값 — 짝수 개).
1단계 — 정렬. 5, 8, 12, 20.
2단계 — 가운데 두 값 찾기. 짝수 개일 때는 단 하나의 가운데 수가 없습니다. 여기서는 가운데 두 값이 8과 12입니다.
3단계 — 평균 내기. (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. 중앙값은 10입니다. 10이 원래 데이터에 없더라도 이는 짝수 개 중앙값 계산에서 정상적인 결과입니다.
예제 3. 최빈값이 없는 데이터 집합
데이터 집합: 2, 5, 9, 11, 14.
모든 값이 정확히 한 번씩만 나타나므로 반복되는 값이 없습니다. 이 데이터 집합은 최빈값이 없습니다 — 이는 오류가 아니라 올바른 답입니다.
반대로 4, 4, 7, 7, 9와 같은 데이터 집합은 최빈값이 두 개(4와 7)입니다. 두 개의 최빈값을 갖는 집합을 이봉형(bimodal)이라고 합니다.
피해야 할 흔한 실수
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수를 정렬하지 않고 중앙값 찾기.
중앙값은 수를 순서대로 나열했을 때의 가운데 값입니다. 가운데를 고르기 전에 반드시 작은 수부터 큰 수 순서로 정렬하세요. 7, 2, 9에서 중앙값은 9가 아니라 7(정렬 시: 2, 7, 9)입니다.
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값이 짝수 개일 때 가운데 두 수 중 하나만 고르기.
짝수 개일 때는 단 하나의 가운데 수가 없습니다. 가운데 두 값을 더해 평균을 내세요. 5, 8, 12, 20의 경우 중앙값은 8이나 12가 아니라 (8 + 12) ÷ 2 = 10입니다.
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모든 데이터 집합에 반드시 하나의 최빈값이 있어야 한다고 가정하기.
데이터 집합에는 최빈값이 없을 수도(반복되는 값이 없을 때), 여러 개일 수도(가장 많이 등장하는 값이 두 개 이상일 때) 있습니다. 둘 다 올바른 답이므로 억지로 하나만 찾으려 하지 마세요.
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평균과 중앙값을 혼동하여 같은 것으로 취급하기.
평균은 산술 평균(모두 더해서 나누기)이고, 중앙값은 정렬 후 가운데 값입니다. 특히 이상치가 있을 때 두 값은 종종 다릅니다. 2, 3, 4, 100의 경우 평균은 27.25이지만 중앙값은 3.5에 불과합니다.
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범위를 최빈값과 혼동하거나 빼는 것을 잊기.
범위는 퍼짐의 정도를 나타내는 측정값으로, 가장 큰 값에서 가장 작은 값을 뺍니다. 가장 자주 나타나는 값이 아니라 퍼짐을 설명하는 하나의 수입니다. 4, 9, 15의 경우 범위는 15 − 4 = 11입니다.
자주 묻는 질문
평균, 중앙값, 최빈값, 범위란 무엇인가요?
평균은 산술 평균(모든 값을 더한 뒤 개수로 나누기)입니다. 중앙값은 수를 정렬했을 때 가운데 값입니다. 최빈값은 가장 자주 나타나는 값입니다. 범위는 가장 큰 값에서 가장 작은 값을 뺀 값입니다. 평균, 중앙값, 최빈값은 전형적인 값을 설명하고, 범위는 데이터가 얼마나 퍼져 있는지를 설명합니다.
데이터 집합의 평균은 어떻게 구하나요?
모든 수를 더해 총합을 구한 뒤, 그 총합을 수의 개수로 나눕니다. 예를 들어 4, 6, 8, 2의 평균은 (4 + 6 + 8 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5입니다.
값이 짝수 개일 때 중앙값은 어떻게 구하나요?
수를 정렬한 뒤 가운데 있는 두 값을 골라 평균을 냅니다(더한 뒤 2로 나누기). 5, 8, 12, 20의 경우 가운데 두 값은 8과 12이므로 중앙값은 (8 + 12) ÷ 2 = 10입니다. 결과값이 원래 데이터 집합에 없어도 괜찮습니다.
평균과 중앙값의 차이는 무엇인가요?
평균은 모든 값의 산술 평균이므로 모든 수가 결과에 영향을 줍니다. 중앙값은 정렬 후 가운데 값일 뿐이므로 매우 크거나 작은 수(이상치)의 영향을 거의 받지 않습니다. 이상치가 있는 데이터 집합에서는 중앙값이 평균보다 더 전형적인 값을 나타내는 경우가 많습니다.
데이터 집합에 최빈값이 여러 개이거나 없을 수도 있나요?
네. 반복되는 값이 없으면 최빈값은 없습니다. 두 개 이상의 값이 가장 많이 등장하면 최빈값이 여러 개가 되며, 두 개일 경우 이봉형이라고 합니다. 최빈값이 없거나 여러 개인 것은 모두 올바른 결과입니다.
대푯값이란 무엇인가요?
대푯값은 데이터 집합의 중심이나 전형적인 값을 설명하는 하나의 수입니다. 대표적인 세 가지는 평균, 중앙값, 최빈값입니다. 범위는 대푯값이 아니며, 대신 퍼짐의 정도를 측정합니다.
