지수 법칙

지수는 같은 수를 여러 번 곱한 것을 간단히 나타낸 것입니다. \(a^n\)은 \(a\)를 \(n\)번 곱한다는 뜻입니다:

여기서 \(a\)는 밑(곱하는 수)이고, \(n\)은 지수(곱하는 횟수)입니다. 예를 들어 \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\)에서 밑은 3, 지수는 4입니다.

꼭 기억해야 할 두 가지: \(a^1 = a\) (한 번 곱함) 그리고 \(a^2\)은 '제곱', \(a^3\)은 '세제곱'이라고 합니다. 아래의 모든 규칙은 밑과 지수를 다룹니다. 어떤 법칙은 밑이 같아야 하고, 어떤 법칙은 지수가 같아야 합니다. 공식을 외우는 것보다 이 두 경우를 구분하는 것이 더 중요합니다.

8가지 주요 지수 법칙을 한 표로 정리했습니다. 처음 5개는 모든 지수에 적용되며, 나머지 3개는 0, 음수, 분수 지수로 개념을 확장합니다.

가장 자주 쓰이는 두 가지 지수 법칙입니다.

곱셈 시 지수는 더하고 밑은 그대로 둡니다:

이유: 첫 번째 인수에 \(m\)개, 두 번째 인수에 \(n\)개의 수가 있으므로 총 \(m+n\)개가 됩니다. 예: \(2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\).

나눗셈 시 지수는 뺍니다 (피제수의 지수에서 제수의 지수를 뺍니다):

예: \(11^9 : 11^6 = 11^{9-6} = 11^3 = 1331\).

주의: 덧셈과 뺄셈 시에는 지수를 더하지 않습니다. \(2^3 + 2^4\)는 하나의 지수로 합칠 수 없습니다: \(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\)이며, \(2^7 = 128\)과는 다릅니다. 법칙은 곱셈과 나눗셈에만 적용됩니다.

곱셈 시 밑도 변하지 않습니다. \(2^3 \cdot 2^4\)는 \(2^7\)이지 \(4^7\)이 아닙니다. 지수만 더하고 밑은 그대로 씁니다.

거듭제곱의 거듭제곱 — 지수를 곱합니다:

예: \((4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = 4096\).

곱의 거듭제곱 — 각 인수를 거듭제곱합니다:

예: \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\).

몫의 거듭제곱 — 분자와 분모를 모두 거듭제곱합니다:

예: \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\).

마지막 두 공식은 오른쪽에서 왼쪽으로 자주 사용합니다. 이를 통해 밑은 다르지만 지수가 같은 식을 곱할 수 있습니다: \(4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\).

밑과 지수가 모두 다르면 보통 밑을 통일합니다. 수들이 같은 수의 거듭제곱임을 이용합니다. 예: \(9^4 = (3^2)^4 = 3^8\), 그리고 \(4^3 \cdot 8^2\)은 \((2^2)^3 \cdot (2^3)^2 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}\)가 됩니다.

0이 아닌 모든 수의 0제곱은 1입니다:

이는 나눗셈 규칙의 결과입니다: \(6^3 : 6^3 = 6^{3-3} = 6^0\), 그런데 같은 나눗셈의 결과는 \(216 : 216 = 1\)입니다. 따라서 \(6^0 = 1\)입니다. \(0^0\)은 정의되지 않습니다.

음수 지수는 역수를 의미합니다:

예: \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\), \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).

유용한 결과: 분수의 음수 지수는 분모와 분자를 뒤집고 지수를 양수로 바꿉니다:

지수의 마이너스 기호가 수를 음수로 만들지는 않습니다. \(2^{-3}\)은 양수 분수 \(\frac{1}{8}\)이지 \(-8\)이 아닙니다. 지수의 부호는 '역수'를 결정할 뿐 결과의 부호를 결정하지 않습니다.

핵심: 표에 있는 8가지 법칙은 0이나 음수 지수에서도 모두 성립합니다. 예: \(x^{-2} \cdot x^{-5} = x^{-7}\).

분수 지수는 거듭제곱근을 나타내는 다른 방법입니다:

분모는 거듭제곱근의 차수, 분자는 피제곱수의 지수를 나타냅니다. 예: \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\), \(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\), \(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\).

제한 사항: 분모 \(n\)이 짝수일 때 밑은 음수가 아니어야 합니다 (\(a \geqslant 0\)). 학교 과정에서 음수의 짝수 거듭제곱근은 다루지 않습니다.

필요한 이유: 분수 지수에서도 같은 법칙이 적용되므로, 거듭제곱근을 지수로 바꾸면 곱셈과 나눗셈이 편리해집니다. 예: \(\sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{4}}\).

밑이 음수일 때 결과의 부호는 지수의 짝홀 여부에 따라 달라집니다:

• 짝수 지수 — 결과는 양수: \((-3)^2 = 9\);
• 홀수 지수 — 결과는 음수: \((-3)^3 = -27\).

괄호 유무를 구분하는 것이 특히 중요합니다: \((-3)^2 = 9\)이지만 \(-3^2 = -9\)입니다. 후자의 경우 3만 제곱하고 마이너스는 그대로 남습니다. 시험에서 가장 자주 틀리는 부분입니다.

-1의 거듭제곱도 기억하세요: \((-1)^{100} = 1\), \((-1)^{101} = -1\) — 짝수 지수는 \(+1\), 홀수 지수는 \(-1\)이 됩니다.

지수와 일반 연산이 섞여 있을 때의 순서: 괄호, 거듭제곱과 거듭제곱근, 곱셈과 나눗셈, 마지막으로 덧셈과 뺄셈 순입니다.

예: \(5 + 2 \cdot 3^2 = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23\). 먼저 제곱을 하고, 그 다음 곱셈과 덧셈을 합니다.