유리 부등식은 \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) 형태의 부등식을 말하며, 여기서 \(P(x)\)와 \(Q(x)\)는 다항식이고, \(>\) 대신 \(<\), \(\ge\) 또는 \(\le\)가 올 수 있습니다. 이러한 부등식은 구간법으로 풀며, 모든 항을 좌변으로 이항하고, 인수분해하고, 수직선에 분자의 근과 분모의 근을 표시하고, 부호를 결정합니다. 아래에는 정의, 전체 알고리즘, 뚫린 점 규칙, 근의 중복도, 풀이된 예제 및 연습 문제가 포함되어 있습니다.
유리 부등식이란 무엇인가
유리 부등식은 양변이 유리식, 즉 다항식과 다항식의 분수로 표현된 부등식을 말합니다. 모든 항을 한쪽으로 이항하면 항상 다음과 같은 형태로 귀결됩니다.
여기서 \(P(x)\)와 \(Q(x)\)는 다항식이고, \(\vee\)는 \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\) 중 하나의 부호입니다. 우변은 반드시 0이어야 합니다. 이는 구간법이 작동하기 위한 필수 조건입니다.
유리 부등식은 두 가지 유형으로 나뉩니다. 변수가 분자에만 나타나는 경우, 이 부등식을 정수 유리 부등식이라고 합니다. 나눌 것이 없으며 모든 \(x\) 값이 가능합니다. 변수가 분모에 있는 경우, 이 부등식을 분수 유리 부등식(분수 부등식 또는 분수 포함 부등식이라고도 함)이라고 하며, 이때 \(Q(x) \neq 0\)이라는 제한 조건이 즉시 발생합니다.
왜 양변에 분모를 곱하면 안 되는가
분수 부등식을 풀 때 가장 유혹적인 것은 양변에 분모를 곱하여 '분모를 없애는' 것입니다. 방정식에서는 그렇게 해도 되지만, 부등식에서는 안 됩니다. 이유는 간단합니다. 음수를 곱하면 부등호 방향이 바뀌는데, \(Q(x)\)의 부호는 미리 알 수 없기 때문입니다. \(x\)에 따라 달라집니다.
부등식 \(\frac{5}{x-3} < 1\)을 봅시다. \(x-3\)이 양수라고 가정하고 양변에 곱하면 \(5 < x - 3\), 즉 \(x > 8\)이 됩니다. \(x = 0\)을 대입하여 확인해 봅시다: \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — 부등식이 성립합니다. 따라서 0도 해가 되어야 하지만, \(x > 8\)이라는 해에는 포함되지 않습니다. 해를 놓친 것입니다.
올바른 방법은 모든 항을 좌변으로 이항하고 통분하는 것입니다:
마지막 단계에서 양변에 \(-1\)을 곱하고 부등호 방향을 바꾸었습니다. 이는 \(-1\)이 항상 음수이므로 합법적입니다. 이제 구간법을 적용하면 해는 \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\)가 됩니다. 이 해에는 놓쳤던 0도 포함됩니다.
가장 쉽게 기억하는 방법은 다음과 같습니다: 변수를 포함하는 식을 양변에 곱하는 것은 금지, 항을 이항하는 것은 항상 가능. 이항은 부등호 방향을 바꾸지 않습니다.
구간법: 단계별 풀이 알고리즘
구간법은 다음과 같은 속성에 기반합니다: 유리식의 인접한 근 사이에서 그 부호는 일정합니다. 따라서 분자 또는 분모를 0으로 만드는 모든 점을 찾고, 이 점들로 수직선을 나누고, 각 구간의 부호를 결정하면 됩니다. 이는 시험점 하나를 사용하거나 근의 중복도를 이용하는 방식으로 할 수 있습니다.
뚫린 점과 채워진 점: 정의 영역과 부등식의 부호
하나의 괄호에서의 오류는 올바른 풀이를 잘못된 답으로 만들 수 있으므로, 점에 대한 규칙은 별도로 외워야 합니다. 정확히 두 가지 원칙이 적용됩니다.
첫째, 정의 영역(ODZ). 분모의 근은 부등식의 부호와 상관없이 항상 뚫린 점으로 표시됩니다. 이 점에서는 분수가 존재하지 않습니다. 즉, 0으로 나눌 수 없으므로 해당 값은 부등식이 등호 포함(<0xE2><0x89><0xA4> 또는 ≥)이라도 해가 될 수 없습니다.
둘째, 엄격한 부등호인지 아닌지. 분자의 근은 분수를 0으로 만듭니다. 등호 포함 부등호(≤ 또는 ≥)의 경우, 0이 되는 것이 허용되므로 해당 점은 채워진 점으로 표시되고 해에 네모 괄호로 포함됩니다. 엄격한 부등호(< 또는 >)의 경우, 0은 적합하지 않으므로 해당 점은 뚫린 점으로 표시됩니다.
예를 들어, 부등식 \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\)에서 점 \(x = 6\)은 채워진 점(분자의 근, 등호 포함 부등호)이고, 점 \(x = -1\)은 뚫린 점(분모의 근)입니다. 해는 \(x \in (-1; 6]\)입니다.
| 점의 종류 | 표시 방법 |
|---|---|
| 분모의 근, Q(x) = 0 | 뚫린 점 항상, 어떤 부등호든 상관없이 - 정의 영역에 포함되지 않음 |
| 분자의 근, 엄격한 부등호 < 또는 > | 뚫린 점 분수 값이 0이 되어야 하는데, 0이 아닌 다른 부등호가 요구됨 |
| 분자의 근, 등호 포함 부등호 ≤ 또는 ≥ | 채워진 점 0이 되는 것이 허용되므로, 점이 해에 포함됨 |
근의 중복도: 부호가 바뀌는 경우와 바뀌지 않는 경우
구간별 부호가 반드시 번갈아 나타나는 것은 아닙니다. 이것이 가장 흔한 오해입니다. 부호가 번갈아 나타나는 경우는 모든 괄호가 1차식일 때만 해당됩니다. 더 정확한 규칙은 근의 중복도 — 해당 괄호의 지수 — 를 통해 설명됩니다.
홀수 중복도의 근을 지날 때 (지수 1, 3, 5) 식의 부호가 바뀝니다. 짝수 중복도의 근을 지날 때 (지수 2, 4) 부호가 바뀌지 않습니다. 짝수 지수의 괄호는 항상 음수가 아니므로 식의 부호에 영향을 주지 않습니다. 중복도는 분자와 분모 모두 동일하게 계산됩니다.
\((x-9)^2(x+3) > 0\)을 생각해 봅시다. 근은 \(x = 9\) (중복도 2)와 \(x = -3\) (중복도 1)입니다. 9보다 큰 구간에서 식은 양수입니다. 9를 지날 때 - 중복도가 짝수이므로 부호가 유지되어 구간 \((-3; 9)\)에서도 양수입니다. -3을 지날 때 - 중복도가 홀수이므로 부호가 음수로 바뀝니다. 엄격한 부등식의 해는 \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\)입니다. 9에서의 값은 0이므로 뚫린 점입니다. 등호 포함 부등식 \((x-9)^2(x+3) \ge 0\)의 해는 \(x \in [-3; +\infty)\)입니다. 9는 채워진 점이 되어 두 구간을 하나로 연결합니다.
| 근의 중복도 | 부호 변화 |
|---|---|
| 홀수: (x − a), (x − a)3 | 바뀜 |
| 짝수: (x − a)2, (x − a)4 | 유지됨 |
수직선 예시: 부호 결정하기
모든 것을 종합하여 부등식 \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\)을 풀어봅시다. 분자의 근: \(x = -7\). 분모의 근: \(x = 2\)와 \(x = 5\), 이들은 정의 영역을 결정합니다. 세 괄호 모두 1차식이므로 부호는 번갈아 나타납니다. 시험점 \(x = 10\)을 가장 오른쪽 구간에 대입하면 \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\)이 됩니다. 양수(+)로 시작하여 왼쪽으로 이동하며 각 점에서 부호를 바꿉니다.
유리 부등식 풀이 예제
예제 1. 간단한 분수 부등식
풀이: \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
1단계. 우변은 이미 0이고 분수 형태이므로 이항하거나 통분할 필요가 없습니다.
2단계. 정의 영역(ODZ). \(x + 5 \neq 0\), 즉 \(x \neq -5\).
3단계. 근. 분자의 근은 \(x = 3\), 분모의 근은 \(x = -5\)입니다.
4단계. 수직선 위의 점. \(x = 3\)은 채워진 점(분자의 근, 등호 포함 부등호), \(x = -5\)는 뚫린 점(분모의 근)입니다.
5단계. 부호. 시험점 \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) — 오른쪽은 양수(+). 두 괄호 모두 1차식이므로 부호는 번갈아 나타납니다: \((-5; 3)\) 구간은 음수(-), \((-\infty; -5)\) 구간은 양수(+). 확인: \(x = -6\)을 대입하면 \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) — 일치합니다.
6단계. 해. '플러스 또는 영' 부호가 필요합니다: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
예제 2. 우변이 0이 아닌 경우 - 이항하기
풀이: \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
1단계. 1을 좌변으로 이항합니다. \(x-4\)에 곱하면 안 됩니다. 이 식의 부호를 알 수 없기 때문입니다:
2단계. 하나의 분수로 통분합니다.
3단계. 정의 영역(ODZ). \(x \neq 4\).
4단계. 점. \(x = -5\) — 분자의 근, 등호 포함 부등호, 채워진 점. \(x = 4\) — 분모의 근, 뚫린 점.
5단계. 부호. \(x = 5\)일 때 분수는 \(\frac{10}{1} > 0\). 따라서 \((4; +\infty)\) 구간은 양수(+), \((-5; 4)\) 구간은 음수(-), \((-\infty; -5)\) 구간은 양수(+)입니다.
6단계. 해. \(x \in [-5; 4)\). 경계점 확인: \(x = -5\)일 때 분수는 0이므로 ≤ 조건에 맞습니다. \(x = 4\)일 때 분수는 정의되지 않으므로 맞지 않습니다.
예제 3. 짝수 중복도 근과 고립된 점
풀이: \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
1단계. 정의 영역(ODZ). \(x \neq 9\).
2단계. 근과 중복도. \(x = 2\) — 중복도 2 (짝수), \(x = -6\) — 중복도 1, \(x = 9\) — 분모에서 중복도 1.
3단계. 점. \(x = 2\)와 \(x = -6\)은 채워진 점(등호 포함 부등호에서 분자의 근), \(x = 9\)는 뚫린 점(분모의 근).
4단계. 부호. 시험점 \(x = 10\): 분자는 양수, 분모는 1 — 양수(+). 왼쪽으로 이동합니다. 9 (홀수 중복도)를 지날 때 부호가 바뀝니다: \((2; 9)\) 구간은 음수(-). 2 (중복도 짝수)를 지날 때 부호가 바뀌지 않습니다: \((-6; 2)\) 구간도 음수(-). -6 (홀수 중복도)을 지날 때 부호가 바뀝니다: \((-\infty; -6)\) 구간은 양수(+).
5단계. 해. '플러스 또는 영' 부호가 필요한 구간과 0이 되는 모든 점을 선택합니다. 점 \(x = 2\)는 음수 구간 내에 있지만, 해당 점에서 식의 값은 0이므로 해에 별도로 포함됩니다:
이런 '고립된' 점이 해에 나타나는 것은 등호 포함 부등호에서 짝수 중복도 근이 있을 때의 특징입니다.
예제 4. 분수 약분: ODZ 함정
풀이: \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
1단계. 인수분해. 분자는 완전제곱식: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). 분모의 판별식은 \(D = 81 + 40 = 121\), 근은 \(x_1 = \frac{1}{5}\)와 \(x_2 = -2\)이므로 \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\)입니다.
2단계. 약분하기 전 모든 약분 전에 ODZ를 설정합니다. \(5x - 1 \neq 0\) 및 \(x + 2 \neq 0\), 즉 \(x \neq \frac{1}{5}\) 및 \(x \neq -2\).
3단계. 약분합니다. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), 단 \(x \neq \frac{1}{5}\)일 때만 가능합니다. 약분은 뚫린 점을 복구하지 않습니다.
4단계. \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\)을 풉니다. 근: \(\frac{1}{5}\)와 \(-2\). \(x = 1\)일 때 분수는 \(\frac{4}{3} > 0\). 따라서 \((\frac{1}{5}; +\infty)\) 구간은 양수(+), \((-2; \frac{1}{5})\) 구간은 음수(-), \((-\infty; -2)\) 구간은 양수(+)입니다.
5단계. ODZ를 적용합니다. 구간 \((-2; \frac{1}{5}]\)는 부호상으로는 적합하지만, 점 \(\frac{1}{5}\)는 뚫린 점입니다. 원래 부등식에서 \(x = \frac{1}{5}\)일 때 분모 \(5x^2+9x-2\)는 0이 되므로 해당 점에서 분수는 정의되지 않습니다.
해: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — 두 괄호 모두 둥근 괄호입니다.
예제 5. 분자에 이차 삼항식
풀이: \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
1단계. 분자를 인수분해합니다. 근과 계수의 관계에 따라 두 근의 합은 7, 곱은 10이므로 \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\)입니다. 부등식은 \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\) 형태가 됩니다.
2단계. 정의 영역(ODZ). \(x \neq -4\).
3단계. 점. 세 점 모두 뚫린 점입니다: \(-4\)는 분모의 근, \(2\)와 \(5\)는 엄격한 부등호에서 분자의 근입니다.
4단계. 부호. 시험점 \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). 모든 괄호가 1차식이므로 부호는 번갈아 나타납니다: \((5; +\infty)\) 구간은 양수(+), \((2; 5)\) 구간은 음수(-), \((-4; 2)\) 구간은 양수(+), \((-\infty; -4)\) 구간은 음수(-).
5단계. 해. 엄격한 음수(-) 부호가 필요합니다: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). 확인 대입: \(x = -5\)일 때 \(\frac{70}{-1} < 0\), \(x = 3\)일 때 \(\frac{-2}{7} < 0\) — 두 구간 모두 적합합니다.
유리 부등식 풀이 시 흔한 오류
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양변에 분모를 곱하는 경우: $\frac{3}{x-8} > 1$을 $3 > x - 8$로 바꾸고 $x < 11$이라고 씁니다.
식 \(x - 8\)의 부호는 미리 알 수 없는데, 음수를 곱하면 부등호 방향이 바뀝니다. 확인: \(x = 0\)을 대입하면 \(\frac{3}{-8} < 1\) — 0은 해 \(x < 11\)에 포함되지만 실제 해가 아닙니다. 올바른 풀이: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), 즉 \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), 따라서 \(x \in (8; 11)\)입니다.
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등호 포함 부등호일 때 분모의 근을 채워진 점으로 표시하는 경우: $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$에서 분모의 근 7에 네모 괄호를 사용합니다.
분모의 근은 어떤 부등호든 항상 뚫린 점으로 표시됩니다. 해당 점에서 분수는 정의되지 않기 때문입니다. 올바른 해: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — 1에는 네모 괄호, 7에는 둥근 괄호를 사용합니다.
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분수를 약분하고 ODZ를 놓치는 경우: $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$에서 $\frac{x+3}{x-5} \le 0$으로 바꾸고 해에 $x = -3$을 포함시킵니다.
ODZ는 약분하기 전에 원래 분모를 기준으로 설정해야 합니다: \(x \neq -3\) 및 \(x \neq 5\). 약분된 분수 \(\frac{x+3}{x-5}\)는 \([-3; 5)\) 구간에서 음수이거나 0입니다. \(x = 0\)일 때 값은 \(-0.6\)으로 ≤ 조건에 맞습니다. 하지만 \(x = -3\)은 ODZ에 의해 뚫린 점이므로, 해는 \([-3; 5)\)가 아니라 \((-3; 5)\)입니다.
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구간별 부호가 항상 번갈아 나타난다고 생각하는 경우: $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$에서 1의 오른쪽에 음수 부호를 붙입니다.
부호 번갈이는 괄호가 1차식일 때만 유효합니다. 근 \(x = 1\)의 중복도는 2이므로 1을 지날 때 부호가 바뀌지 않습니다. 식은 0이 되는 점 1을 제외한 모든 \((-4; +\infty)\) 구간에서 양수입니다. 해: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\)입니다.
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항을 이항할 때 부등호 방향을 바꾸는 경우: $\frac{x}{x-2} \le 3$을 $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$으로 바꿉니다.
항을 한 변에서 다른 변으로 이항하는 것은 부등호 방향을 바꾸지 않습니다. 단지 이항하는 항의 부호만 바뀝니다. 부등호 방향은 양변을 음수로 곱하거나 나눌 때만 바뀝니다. 올바른 풀이: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), 다음으로 \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), 즉 \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\)입니다.
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분자의 근만 수직선에 표시하고 분모는 '나중에' 확인하는 경우: $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$에서 점 -11만 표시합니다.
수직선에는 분자와 분모의 모든 근을 즉시 표시해야 합니다. 그렇지 않으면 구간이 잘못됩니다. 여기서는 \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\)이므로 점은 -11, -4, 4 세 개입니다. 모든 점은 뚫린 점(엄격한 부등호)이고, 해는 \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\)입니다.
질문과 답변
유리 부등식이란 무엇인가?
양변이 유리식(다항식 및 다항식의 분수)인 부등식입니다. 모든 항을 좌변으로 이항하면 \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) 형태로 귀결되며, 여기서 \(P(x)\)와 \(Q(x)\)는 다항식이고, \(>\) 대신 \(<\), \(\le\) 또는 \(\ge\)가 올 수 있습니다.
유리 부등식은 어떻게 푸는가?
구간법을 사용하여 6단계로 풉니다: 모든 항을 좌변으로 이항하여 우변에 0을 남깁니다. 하나의 분수로 통분하고 분자와 분모를 인수분해합니다. ODZ(\(Q(x) \neq 0\))를 명시합니다. 수직선에 분자와 분모의 근을 표시합니다. 시험점과 근의 중복도를 사용하여 구간별 부호를 결정합니다. 원하는 부호를 가진 구간을 해로 씁니다.
분수 유리 부등식은 정수 유리 부등식과 어떻게 다른가?
정수 유리 부등식은 변수가 분자에만 있는 경우입니다 (예: \((x-1)(x+4) > 0\)). 이때 ODZ는 모든 실수입니다. 분수 유리 부등식은 변수가 분모에 있는 경우입니다 (예: \(\frac{x-1}{x+4} > 0\)). 이때 \(x \neq -4\)라는 제한 조건이 생깁니다. 풀이 알고리즘은 동일하며, 뚫린 점만 달라집니다.
분수 포함 부등식은 어떻게 푸는가?
다른 유리 부등식과 마찬가지로 풉니다. 먼저 모든 항을 좌변으로 이항하고 하나의 분수로 통분해야 합니다. 양변에 분모를 곱해서는 안 됩니다. 예를 들어, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\)은 \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), 즉 \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\)으로 바뀝니다. 분자는 상수이고 음수이므로, 분수가 음수가 아니려면 분모도 음수여야 합니다: \(x + 2 < 0\). 해: \(x \in (-\infty; -2)\)입니다.
왜 부등식의 양변에 분모를 곱하면 안 되는가?
분모의 부호가 \(x\)에 따라 달라지기 때문입니다. 양수 식을 곱하면 부등호 방향이 유지되지만, 음수 식을 곱하면 부등호 방향이 바뀝니다. 미리 어떤 경우인지 알 수 없으므로 일부 해가 손실되거나 잘못된 해가 추가될 수 있습니다. 항을 이항하는 것은 항상 가능하며, 부등호 방향을 바꾸지 않습니다.
부등식에서 ODZ는 어떻게 찾는가?
유리 부등식의 경우, ODZ는 분모가 0이 되지 않는 모든 \(x\) 값입니다. 분모를 0으로 놓고 방정식을 풀어 해당 값을 제외합니다. 분수를 약분하기 전에 원래 분모를 기준으로 ODZ를 설정해야 합니다. 그렇지 않으면 뚫린 점을 놓칠 수 있습니다.
어떤 점이 뚫린 점이고 어떤 점이 채워진 점인가?
분모의 근은 어떤 부등호든 항상 뚫린 점입니다. 분자의 근은 등호 포함 부등호(≤ 또는 ≥)일 때 채워진 점이 되고, 엄격한 부등호(< 또는 >)일 때 뚫린 점이 됩니다. 해 표기에서 뚫린 점은 둥근 괄호로, 채워진 점은 네모 괄호로 표시됩니다.
근의 중복도란 무엇이며 구간법에서 왜 필요한가?
중복도는 해당 괄호가 인수분해에서 몇 번 곱해졌는지를 나타내는 지수입니다. 홀수 중복도의 근을 지날 때 식의 부호가 바뀌고, 짝수 중복도의 근을 지날 때는 부호가 유지됩니다. 이것이 부호가 항상 번갈아 나타나지 않는 이유입니다. 예를 들어 \((x-9)^2(x+3)\)에서 9를 지날 때 부호가 그대로 유지됩니다.
유리 부등식은 몇 학년에 배우는가?
9학년 대수 수업에서 배웁니다. 이차 부등식과 다항식 인수분해를 배운 후에 다룹니다. 구간법은 이후 지수, 로그, 무리 부등식 풀이 및 OGE 및 프로필 ЕГЭ 문제에 활용됩니다.
