2次方程式：公式、判別式、解法

\(3x^2 - 7x + 2 = 0\) を解け。

ステップ1. 標準形になっています：\(a = 3, b = -7, c = 2\)。

ステップ2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) なので解は2つ。

ステップ3. \(\sqrt{D} = 5\) なので \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\)：\(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2, x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)。

ステップ4. 代入による検算。 \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\)。

答え： \(x_1 = 2, x_2 = \dfrac{1}{3}\)。

\(4x^2 - 12x + 9 = 0\) を解け。

ステップ1. \(a = 4, b = -12, c = 9\)。

ステップ2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) なので解は1つ。

ステップ3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\)。

ステップ4. 検算。 \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\)。

答え： \(x = 1{,}5\)。左辺は完全平方式 \((2x - 3)^2\) なので、解が1つになることに注目してください。

\(2x^2 + 3x + 5 = 0\) を解け。

ステップ1. \(a = 2, b = 3, c = 5\)。

ステップ2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\)。

ステップ3. 判別式が負なので、実数の範囲で \(\sqrt{D}\) をとることはできません。解の公式を使う必要はなく、ここで終了です。

答え： 実数解なし。これは間違いではなく、正しい答えです。関数 \(y = 2x^2 + 3x + 5\) のグラフは \(x\) 軸と交わりません。

\(3x^2 - 27 = 0\) を解け。

ステップ1. 定数項を移項：\(3x^2 = 27\)。

ステップ2. 3で割る：\(x^2 = 9\)。

ステップ3. 2乗して9になる数は2つ：\(x = 3\) と \(x = -3\)。符号を忘れるのが最も多いミスです。

ステップ4. 検算。 \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\)。

答え： \(x_1 = 3, x_2 = -3\)。\(2x^2 + 8 = 0\) と比較してください：こちらは \(x^2 = -4\) となり、実数解はありません。

\(5x^2 - 15x = 0\) を解け。

ステップ1. 共通因数でくくる：\(5x(x - 3) = 0\)。

ステップ2. 積が0になるのは、どちらかの因数が0のとき：\(5x = 0\) または \(x - 3 = 0\)。

ステップ3. よって \(x_1 = 0, x_2 = 3\)。

ステップ4. 検算。 \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\)。

答え： \(x_1 = 0, x_2 = 3\)。もし方程式を \(x\) で割ってしまうと \(x = 3\) しか残らず、解 \(x = 0\) が消えてしまいます。未知数を含む式で割ってはいけません。

\(5x^2 - 22x + 8 = 0\) を解け。

ステップ1. \(b = -22\) は偶数なので \(k = -11\)、\(a = 5, c = 8\)。

ステップ2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\)、\(\sqrt{D_1} = 9\)。

ステップ3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\)：\(x_1 = 4, x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\)。

ステップ4. 検算。 \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\)。

答え： \(x_1 = 4, x_2 = 0{,}4\)。通常の判別式だと \(D = 324\) となり、答えは同じですが計算に時間がかかります。

\((x - 3)(x + 5) = 9\) を解け。

ステップ1. 括弧を展開：\(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\)、つまり \(x^2 + 2x - 15 = 9\)。

ステップ2. 9を左辺に移項：\(x^2 + 2x - 24 = 0\)。ここで初めて係数を書き出します：\(a = 1, b = 2, c = -24\)。

ステップ3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\)、\(\sqrt{D} = 10\)、\(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\)：\(x_1 = 4, x_2 = -6\)。

ステップ4. 元の方程式で検算。 \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\)。

答え： \(x_1 = 4, x_2 = -6\)。よくある間違いは、各括弧を9と等置することです。「積が0」というルールは0の場合にしか使えません。

\(2x^2 - 5x - 3\) を因数分解せよ。

ステップ1. 式を0と等置して解を求める：\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\)、\(\sqrt{D} = 7\)、\(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\)：\(x_1 = 3, x_2 = -\dfrac{1}{2}\)。

ステップ2. 公式 \(a(x - x_1)(x - x_2)\) に代入：\(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\)。

ステップ3. 2を2番目の括弧に入れると便利：\((x - 3)(2x + 1)\)。

ステップ4. 展開して検算。 \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\)。

答え： \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\)。

\(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\) を解け。

ステップ1. \(t = x^2\) (\(t \ge 0\)) と置換。方程式は \(t^2 - 13t + 36 = 0\) になる。

ステップ2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\)、\(\sqrt{D} = 5\)、\(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\)：\(t_1 = 9, t_2 = 4\)。

ステップ3. どちらも非負なので \(x\) に戻す：\(x^2 = 9\) から \(x = \pm 3\)、\(x^2 = 4\) から \(x = \pm 2\)。

ステップ4. 検算。 \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\)。負の値でも偶数乗なので同じ結果になります。

答え： \(x = \pm 2, x = \pm 3\) — 4つの解。