傾き切片形：y = mx + bの解説

すべての直線（垂直な線を除く）は、傾き切片形で表すことができます：

直線ごとに変化するのは \(m\) と \(b\) の2つの文字だけです。方程式から次のように読み取ります：

• \(m\) — 傾き。 直線の急峻さと傾く方向を表します。傾きは「変化の割合（rise over run）」を意味し、右に1進むごとにどれだけ上下に動くかを示します。
• \(b\) — y切片。 直線が縦軸（y軸）と交わる \(y\) の値、つまり点 \((0, b)\) です。\(x = 0\) のとき、\(mx\) の項が消えて \(y = b\) となります。

例えば、\(y = 2x + 3\) では、傾き \(m = 2\)、y切片 \(b = 3\) なので、直線はy軸上の \((0, 3)\) を通り、右に1進むごとに2単位上昇します。

\(y = mx + b\) からグラフを描くのは、値の表を使わずに3つの簡単なステップで行えます：

1. y切片をプロットする。 y軸上の \((0, b)\) に点を打ちます。これが開始点です。
2. 傾きを使って2点目を見つける。 \(m\) を分数 \(\frac{\text{上昇}}{\text{右方向}}\) として書きます。最初の点から、上に（上昇）右に（右方向）移動します。\(2\) のような整数は \(\frac{2}{1}\) と考えます。
3. 直線を引く。 2点を通るように直線を引き、両方向に伸ばします。

下のグリッドは \(y = 2x + 1\) のグラフです：y切片は \((0, 1)\) で、傾き \(2 = \frac{2}{1}\) は「上に2、右に1」進んで次の点 \((1, 3)\) に到達することを意味します。

方程式から。 すでに \(y = mx + b\) の形であれば、\(x\) に掛かっている数字が傾き \(m\) で、定数項がy切片 \(b\) です。符号に注意してください：\(y = -3x - 4\) では、傾き \(m = -3\)、y切片 \(b = -4\) です。もし方程式が別の形（例：\(2x + y = 5\)）であれば、まず \(y\) について解きます：\(y = -2x + 5\) となり、\(m = -2\)、\(b = 5\) となります。

2点から傾きを求める。 2点 \((x_1, y_1)\) と \((x_2, y_2)\) が与えられたとき、傾きは \(y\) の変化量を \(x\) の変化量で割ったものです：

点 \((1, 2)\) と \((3, 8)\) の場合：\(m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\)。分子と分母で座標を同じ順序で引き算してください。そうしないと符号が逆転してしまいます。

方程式を書くには、傾き \(m\) とy切片 \(b\) を求め、それを \(y = mx + b\) に代入するだけです。

• 傾きとy切片が与えられている場合。 \(m = -2\)、\(b = 5\) なら、方程式は \(y = -2x + 5\) です。完了です。
• 傾きと1点が与えられている場合。 傾きと点 \((x, y)\) を \(y = mx + b\) に代入し、\(b\) について解きます。例：傾き \(m = 4\) で \((2, 3)\) を通る場合、\(3 = 4(2) + b\) となり、\(b = 3 - 8 = -5\) なので方程式は \(y = 4x - 5\) です。
• 2点が与えられている場合。 まず上の公式で傾きを求め、次に1点を使って \(b\) を解きます。手順は前と同じです。

傾きの符号を見れば、その直線がどちらに向かうかが一目でわかります。