平方根：算術平方根とその性質

数 \(a\) の平方根とは、その二乗が \(a\) に等しくなる数のことです。根の抽出と二乗への累乗は互いに逆の操作です： \(7^2 = 49\) から、49 の平方根は 7 であることがすぐにわかります。

しかし、正の数には平方根がちょうど2つあり、それらは符号だけが異なります： \(5^2 = 25\) および \((-5)^2 = 25\)、つまり 25 の平方根は 5 と -5 の両方です。 \(\sqrt{25}\) という表記がただ一つの数を表すように、\(\\sqrt{\phantom{a}}\) 記号は非負の根のみを表すと合意されています。これを算術平方根と呼びます。

この表記には名前があります： \(\sqrt{\phantom{a}}\) 記号は根号、その下の数または式は被約数と呼ばれます。

非負の数 \(a\) の算術平方根とは、その二乗が \(a\) に等しくなる非負の数を指します。これを \(\sqrt{a}\) と表記し、「ルートa」と読みます。

定義には2つの条件が含まれており、どちらも同様に重要です：

• 被約数は非負であること： \(a \ge 0\)；
• 根の値は非負であること： \(\sqrt{a} \ge 0\)。

ここから、\(\sqrt{25} = 5\) であり -5 ではありません。\(\sqrt{0} = 0\)。そして、\(\sqrt{-9}\) という表記は実数においては意味を持ちません — 二乗して負になる数はありません。

最初の条件は、根を含む式の定義域を決定します。例えば、\(\sqrt{x-7}\) は \(x - 7 \ge 0\)、つまり \(x \ge 7\) の場合に意味を持ちます — \(x\) がそれより小さい値の場合、根号内に負の数が入ってしまいます。

定義から、\((\sqrt{a})^2 = a\) (\(a \ge 0\) の場合) も導かれます：根を二乗すると被約数が得られます。これは、根自体を正確に計算できない場合でも機能します： \((\sqrt{31})^2 = 31\)。

根が整数になるのは、被約数が完全平方数である場合のみです。そのため、平方数の表は平方根の表としても機能します。表を両方向に見ます — \(14^2 = 196\) なので \(\sqrt{196} = 14\)。

表は整数だけでなく、次のような場合にも役立ちます：

• 小数： \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\)、なぜなら \(0{,}8^2 = 0{,}64\) だから；
• 分数： \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — 分子と分母それぞれから根を抽出します；
• キリの良い数： \(\sqrt{2500} = 50\)、なぜなら \(2500 = 25 \cdot 100\) で、各因数の根はわかっているからです。

平方根の性質により、各根を個別に抽出せずに式を計算し、答えを簡略化できます。

積の平方根は根の積に等しい： \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) (\(a \ge 0\) かつ \(b \ge 0\) の場合)。例えば、\(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — これは \(\sqrt{144}\) と同じ答えです。

商の平方根は根の商に等しい： \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) (\(a \ge 0\) かつ \(b > 0\) の場合)。例えば、\(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\)。条件 \(b > 0\) は厳密です：ゼロで割ることはできません。

数の二乗の平方根は絶対値に等しい： \(\sqrt{a^2} = |a|\)、これは任意の数 \(a\) に対して真です。ここにこのトピックの主な注意点があります。\(a \ge 0\) の場合、何も変わりません： \(\sqrt{7^2} = 7\)。しかし、\(a\) が負の場合、記号は「まっすぐ」になります： \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\)、-6 ではありません — なぜなら算術平方根は負にはなれないからです。

根の二乗は被約数を返します： \((\sqrt{a})^2 = a\) (\(a \ge 0\) の場合)。

しかし、和と差については同様の性質は存在しません：和の根は根の和に等しくありません。これはこのトピックで最もよくある間違いであり、詳細は後述します。

電卓は常に手元にあるわけではありませんが、学校の課題はほとんどの場合、根が抽出できるように作られています。手順は次のとおりです。

1. 平方数の表で確認する。 数が表にある場合は、答えは準備完了です： \(\sqrt{289} = 17\)。
2. キリの良い因数を分離する。 ゼロを含む数の場合、\(100\)、\(10\,000\) などを分離すると便利です： \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\)。
3. 素因数分解する。 これは普遍的なテクニックです： \(576 = 2^6 \cdot 3^2\)、指数を半分にして \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\) を得ます。
4. 小数を分数に変換する。 \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\)。同時に、桁落ちを防ぎます。
5. 完全平方数でない場合 — 根は無理数です。その場合、記号のまま答えに残す（\(\sqrt{30}\) と書く）か、隣接する平方数の間で評価します。

確認は一瞬です。得られた数を二乗して、被約数が元に戻るか確認します。\(24^2 = 576\) — 正しいです。

根は「生のまま」残されることはまれです — 抽出できるものはすべて根号の外に出します。性質 \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) (\(b \ge 0\) の場合) が機能します。被約数の最大の平方数約数を探します。

• \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)；
• \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)；
• \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\)。

逆の操作は因数の根号内への挿入です： \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) (\(a \ge 0\) の場合)。例えば、\(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)。

負の因数には注意が必要です：マイナスは根号内に入らず、外に残ります。正しい表記は \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\) であり、\(\sqrt{12}\) ではありません。

なぜこれが必要か：因数を取り出した後、同じ被約数を持つ根は同類項となり、加算できます。そして、因数を根号内に挿入することは、2つの根を含む式を比較する最も速い方法です。

被約数が完全平方数でない場合、根は無理数です：その小数展開は無限で非循環的です。例えば、\(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\) であり、正確な値は記号 \(\sqrt{2}\) でのみ記録されます。丸められた答えは、問題で要求された場合にのみ記述されます。

このような根は電卓なしで評価できます：被約数が含まれる2つの連続する完全平方数を見つけます。比較の規則が機能します： \(a \ge 0\) かつ \(b \ge 0\) の場合、\(a < b\) ならば \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — より大きな被約数にはより大きな根が対応します。