比例の解き方：基本性質と問題解決

2つの数の比とは、それらの商のことです。比 \(2:3\)（「2対3」と読みます）は、一方の数がもう一方の数より何倍大きいか、または一方の数がもう一方の数のどれだけの割合を占めるかを示します。2つの方法で表すことができます：\(2:3\) または分数 \(\frac{2}{3}\) — これらは同じ意味です。

比例とは、2つの比が等しいことです：

比例には合計4つの数があり、それぞれに名前があります。表記の端にある数—端の項、中央にある数—中の項。両方の比が同じ数に等しい場合に、比例は正しいと言えます。

比例の基本性質： 端の項の積は中の項の積に等しい。

なぜそうなるのでしょうか？ 等式 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) の両辺に \(b \cdot d\) を掛けます。左辺では \(b\) が、右辺では \(d\) が約分され、ちょうど \(a \cdot d = c \cdot b\) が残ります。魔法ではありません—等式の通常の性質です。

これはまさに生徒たちが「比例をクロスで解く」と呼ぶものです。数は対角線上に、クロスして掛けられます。この性質は逆にも成り立ちます。4つの数（どれもゼロではない）に対して \(a \cdot d = b \cdot c\) が成り立つ場合、それらから正しい比例を立てることができます。

ここからすぐに2つのスキルが得られます：比例が正しいかどうかを確認すること、そしてその中の未知数を見つけることです。

基本性質から2つの簡単な法則が得られます：

• 未知の端の項 = 中の項の積 ÷ 未知の端の項;
• 未知の中の項 = 端の項の積 ÷ 未知の中の項。

これらを暗記する必要はありません。1つの普遍的な方法で十分です。クロスして掛け、方程式「数 \(\cdot\, x\) = 数」の形にし、割ります。比例 \(x : 7 = 12 : 21\) で段階的に見ていきましょう。

最後のステップである確認は5秒で済み、ほぼすべての計算ミスを見つけることができるので、省略すべきではありません。

2つの量を直接比例の関係にあると呼びます。一方の量が数倍になると、もう一方の量も同じ数倍になる場合です。ノートを2倍多く買えば、支払う金額も2倍になります。このような量では、それらの比は一定です。

量がお互いに反比例の関係にあるのは、一方の量が数倍になると、もう一方の量が同じ数倍に減少する場合です。2倍の作業員がいれば、同じ仕事にかかる日数は半分になります。このような量では、それらの積は一定です。

主な違いは、比例を立てる瞬間に現れます。直接比例の関係では、そのまま立てます：\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\)。反比例では、2番目の比が逆数になります：\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\)。

なぜでしょうか？ 反比例の関係では、積が一定です：\(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\)。両辺を \(a_2 \cdot b_1\) で割ると、ちょうど \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\) になります。したがって、「逆数にする」というのは、覚えるべき呪文ではなく、比ではなく積が一定であることの結果なのです。

「比例」の文章問題は、1つのシナリオで解かれます：

1. 条件を2つの列に書き出し、同じ単位の量が互いの下にくるようにします（ポーションはポーションの下に、グラムはグラムの下に）。
2. 求めたいものを \(x\) で表します。
3. 関係の種類を判断します。最初の量を心の中で増やしてみて、2番目の量が増えるか減るかを確認します。
4. 比例を立てます。反比例の場合は、2番目の比を逆数にします。
5. クロスして解き、得られた答えが妥当かどうかを確認します。

レシピで例を見てみましょう。パンケーキ4人分には小麦粉300gが必要です。6人分にはどれだけの小麦粉が必要でしょうか？ 人数が多いので、小麦粉も多く必要です。関係は直接比例なので、比例はそのまま立てます：

6人分には小麦粉450gが必要です。答えは妥当です。人数が1.5倍になったので、小麦粉も1.5倍必要になりました。

縮尺の問題（地図上の距離と実際の距離の比は、1と縮尺の数と同じ）や価格の問題（商品の数量と数量の比は、価格と価格の比と同じ）も同様に解かれます。完全な解説は以下の例をご覧ください。

パーセントは数の100分の1なので、どんな簡単なパーセンテージの問題も比例に変換できます：

ここで、4つの数のうち1つが未知数です。それをクロス乗算で見つけます。

部分を見つける。 240の15%はいくらですか？ \(x : 240 = 15 : 100\) と立てます。したがって、\(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) で、\(x = 36\) です。

全体を見つける。 数21は、ある数の35%を占めます。 \(21 : x = 35 : 100\) と立てます。したがって、\(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) で、\(x = 60\) です。

パーセントを見つける。 18は45の何パーセントを占めますか？ \(18 : 45 = p : 100\) と立てます。したがって、\(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) で、\(p = 40\)、つまり40%です。

1つの方法で3種類の問題を解くことができます。追加で覚えることは何もありません。ただし、「何パーセント増加または減少したか」という質問は別です。この場合、まず変化量を計算し、それを元の値で割ります。これは単純な比例ではなく、パーセンテージ変化の公式です。