不等式とは、<、>、≤、または≥の記号で結ばれた2つの式のことを言います。不等式を解くとは、その変数が真の数値不等式に変わるすべての値を見つけることです。解は1つの数値ではなく、数直線上の区間または区間の和集合となります。このページには、すべての種類の不等式に共通する基本事項が集められています。記号の読み方、許される変形、負の数で割るときの記号が反転する理由、そして解を正しく表記する方法です。さらに、詳細な解説と自己確認のための練習問題へのリンク付きで、すべての種類の不等式を概観します。
不等式を解くとは
不等式を解くとは、不等式を真の数値不等式にする変数の値のことです。不等式を解くとは、そのようなすべての値を見つけて、それらを集合として表記することです。
方程式と比較してみてください。方程式 \(2x = 8\) の解は、1つの数値 \(x = 4\) です。不等式 \(2x < 8\) の解は、無限に多くの数値です。3も、0も、-100も、3.999も適しています。それらを1つずつ書き出すことは不可能なので、解は区間として表記されます。\(x < 4\)、つまり \((-\infty;\ 4)\) です。
特定の数値が解であるかどうかを確認するのは簡単です。変数の代わりにその数値を代入して、真の不等式になるかどうかを確認してください。
- 不等式 \(2x < 8\) における \(x = 1\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — 真なので、\(1\) は解です。
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — 偽なので、\(5\) は解ではありません。
2つの不等式が同値であるとは、それらの解集合が一致することです。不等式を解くプロセス全体は、左辺に単一の \(x\) が残るまで、より単純な同値不等式への移行の連鎖です。
不等号：厳密不等号と非厳密不等号
不等号は4つあり、どの記号が使われているかによって、解と表記方法が決まります。厳密不等号の < と > は、境界点自体を解に含みませんが、非厳密不等号の ≤ と ≥ は、境界点を含みます。
この違いは解法全体に及びます。厳密不等号は数直線上に空点（白丸）と解の表記に丸括弧をもたらし、非厳密不等号は塗りつぶされた点と角括弧をもたらします。
| 記号 | 読み方と解における意味 |
|---|---|
| < | より小さい厳密点（白丸）、丸括弧 |
| > | より大きい厳密点（白丸）、丸括弧 |
| ≤ | 以下（より小さいか等しい）非厳密点（黒丸）、角括弧 |
| ≥ | 以上（より大きいか等しい）非厳密点（黒丸）、角括弧 |
同値変形：不等式に対して何ができるか
不等式に対しては、方程式とほぼ同じ操作ができますが、1つの重要な注意点があります。加算と減算は自由に実行できます。両辺に同じ数を加算または減算しても、解集合は変わりません。項を符号を変えて「移項」するのはこの操作です。
一方、乗算と除算は、乗数の符号に依存します。両辺を負の数で乗算または除算する場合、不等号の向きが反転します。 < は > に、≤ は ≥ になり、その逆も同様です。これは数値を見れば明らかです。真の \(3 < 5\) は、-1を掛けると \(-3\) と \(-5\) になり、\(-3 > -5\) となり、数値の順序が逆転します。
左右の辺を入れ替えた場合も同様です。 \(7 < y\) から \(y > 7\) になります。
| 両辺に何をするか | 記号の向き |
|---|---|
| 同じ数または式を加算または減算する | 向きは変わらない |
| 正の数で乗算または除算する | 向きは変わらない |
| 負の数で乗算または除算する | 向きが変わる |
| 左右の辺を入れ替える | 向きが変わる |
| 変数を含む式 (x − 2) で乗算または除算する | 不可 |
解の表記方法：数直線と区間
変数が単独になったら、解はほぼ完成です。あとは表記するだけです。最も便利なのは、まず数直線上に解を示し、そこから区間を読み取ることです。
表記のルールは3つだけで、不等式の種類によって変わりません。
- 丸括弧 — 点は解に含まれない（厳密不等号、白丸）
- 角括弧 — 点は解に含まれる（非厳密不等号、黒丸）
- 無限大の記号には常に丸括弧：\((-\infty;\ 4)\)、\([3;\ +\infty)\) — \([-\infty;\ 4]\) のような表記は存在しません。無限大は数ではなく、到達することはできません。
解が数直線の2つの部分になった場合は、和集合記号 \(\cup\) でつなぎます。例：\((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\)。
不等式の種類と解法
不等式は、変数がどのように含まれているかによって分類されます。1次式か、2乗されているか、分母にあるか、絶対値記号の中にあるかなどです。これが解法を決定するため、あらゆる解法の最初のステップは、不等式の種類を特定することです。その後の一般的な流れは同じです。不等式を「式とゼロの比較」の形にし、その種類に適した方法を適用します。種類と方法のまとめは以下の表にあります。
特に、絶対値の扱いを覚える必要があります。表には含まれていません。 \(a > 0\) の場合、不等式 \(|f(x)| < a\) は連立不等式 \(-a < f(x) < a\)（連立方程式になる）と同値であり、\(|f(x)| > a\) は \(f(x) < -a\) または \(f(x) > a\)（区間の和集合になる）のいずれかになります。もし \(a < 0\) なら、考える必要はありません。絶対値は非負なので、\(|f(x)| < a\) には解がなく、\(|f(x)| > a\) は定義可能なすべての \(x\) で真になります。
無理数不等式（根号を含む）と指数不等式は高校で扱われます。通常の変形に加えて、定義域の操作も必要になります。
個々の種類の詳細な解説：一次不等式、有理数不等式と区間法。二次多項式の根を見つけるには、ビエタの定理が便利です。
| 種類 | 見た目と解法 |
|---|---|
| 一次 | ax + b > 0項を移項し、xの係数で割る |
| 二次 | ax2 + bx + c > 0二次式の根を見つけ、放物線を見る |
| 分数有理数 | P(x) / Q(x) ≥ 0区間法、分母の根は白丸にする |
| 絶対値 | | f(x) | < a定義に従って絶対値を外す |
| 連立 | 波括弧で囲まれた2つの不等式それぞれを解き、共通部分を取る |
不等式の連立と和集合
しばしば、1つの不等式が2つに分解され、その際に得られた集合をどう扱うかが重要になります。
連立不等式（波括弧）は、「両方とも同時に」という意味です。それぞれの不等式を個別に解き、両方の解を同じ数直線上に示し、共通部分 — 重なっている部分 — を取ります。共通部分がない場合、連立不等式には解がありません。
和集合（角括弧）は、「どちらか一方、または両方」という意味です。ここでは和集合 — 少なくとも一方の解で示された部分すべて — を取ります。和集合は、例えば「より大きい」記号の絶対値不等式を解く際に現れます。
特に注意すべきは、\(-3 < 2x + 1 \le 7\) のような二重不等式です。これは連立不等式の短縮形です。変形は3つの部分すべてに同時に適用されます — 引き算、割り算を行います。負の数で割る場合は、両方の記号を同時に反転させます。
不等式の解法の例
例1：数値が解であるかどうかの確認
問題。 不等式 \(3x + 5 \ge 1\) の解は \(x = -1\) ですか？
ステップ1。 \(x\) の代わりに \(-1\) を代入します：\(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\)。
ステップ2。 右辺と比較します：\(2 \ge 1\) — 真の数値不等式です。
答え。 はい、\(x = -1\) は解の1つです。しかし、不等式を解くとは、そのようなすべての数を見つけることであり、1つだけではありません。ここでは解は \(x \ge -\frac{4}{3}\) です。
例2：符号変更を伴う一次不等式
問題。 \(7 - 3x < 1\) を解け。
ステップ1。 \(7\) を右辺に移項します（つまり、両辺から \(7\) を引きます。不等号の向きは変わりません）：\(-3x < 1 - 7\)、つまり \(-3x < -6\)。
ステップ2。 両辺を \(-3\) で割ります。除数が負なので、不等号の向きが反転します：\(x > 2\)。
ステップ3。 数直線上に示します：\(2\) に白丸をつけ、右側をすべて塗りつぶします。
答え。 \(x > 2\)、つまり \(x \in (2;\ +\infty)\)。
例3：二次不等式
問題。 \(x^2 - 4x - 5 \le 0\) を解け。
ステップ1。 二次式の根を見つけます：\(D = 16 + 20 = 36\)、\(\sqrt{D} = 6\)。したがって、\(x_1 = -1\)、\(x_2 = 5\)。
ステップ2。 \(x^2\) の係数は正なので、放物線の枝は上向きです。根の間では二次式は負になり、根の外では正になります。
ステップ3。 \(\le 0\) の記号が必要なので、つまり負の値と根自体（非厳密不等号）です。根とその両端を含む区間を取ります。
答え。 \(x \in [-1;\ 5]\)。
例4：絶対値を含む不等式
問題。 \(|x + 1| > 4\) を解け。
ステップ1。 絶対値が正の数より大きい場合、絶対値の中の式は \(4\) より大きいか、または \(-4\) より小さいかのどちらかです。和集合が得られます：\(x + 1 > 4\) または \(x + 1 < -4\)。
ステップ2。 それぞれを解きます。最初の式から \(x > 3\)、2番目の式から \(x < -5\)。
ステップ3。 これは和集合なので、共通部分ではなく、区間の和集合を取ります。
答え。 \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\)。
例5：連立不等式
問題。 連立不等式 \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\) を解け。
ステップ1。 最初の不等式：\(2x > -4\)。正の数 \(2\) で割るので、向きは変わりません。\(x > -2\)。
ステップ2。 2番目の不等式：\(x \le 4\)。
ステップ3。 両方の解を同じ数直線上に示し、共通部分 — 両方が示された部分 — を取ります。左側の境界は含まれません（厳密不等号）、右側の境界は含まれます（非厳密不等号）。
答え。 \(x \in (-2;\ 4]\)。
不等式を解く際のよくある間違い
-
負の数で両辺を割ったのに、不等号の向きを変えなかった。
両辺を負の数で乗算または除算する場合、不等号の向きは必ず反転します。 \(-5x \ge 10\) は、\(x \ge -2\) ではなく、\(x \le -2\) になります。確認するには代入します。\(x = -3\) の場合、\(15 \ge 10\) となり真なので、正しい解は確かに「以下」です。
-
無限大の記号に角括弧を使った：$[-\infty;\ 7]$。
無限大は数ではなく、「到達」することはできないため、\(\infty\) の周りの括弧は常に丸括弧です：\((-\infty;\ 7]\)。角括弧は、解に含まれる有限の境界にのみ使用されます。
-
括弧の種類と点の種類を混同して、厳密不等号に角括弧を使った。
厳密不等号（<、>）は、境界点を含みません：白丸と丸括弧。非厳密不等号（≤、≥）は、境界点を含みます：黒丸と角括弧。簡単な確認方法：境界点自体を元の不等式に代入して、真になるか確認してください。
-
「分母をなくす」ために、変数を含む式で両辺に乗算した。
そのような式の符号は不明なので、不等号の向きを反転させるべきかどうかわかりません。これは同値ではない変形です。代わりに、すべてを一方の辺に移項し、共通の分母にまとめて、区間法を適用します。
-
解として1つの数値を書いた：「$x = 3$」ではなく。
不等式の解は値の集合です。区間として表記してください：\(x > 3\)、つまり \((3;\ +\infty)\)。1つの数値は解の一部にはなれますが、解そのものではありません。
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連立不等式では和集合を、和集合では共通部分を取った。
連立不等式（波括弧、「かつ」）では共通部分、つまり区間の共通部分を取ります。和集合（角括弧、「または」）では和集合、つまり \(\cup\) 記号でつなぎます。さらに、「\(-2 < x > 5\)」という表記は意味がありません。このような解は、2つの区間の和集合として表記します。
質問と回答
不等式を解くとはどういうことですか？
不等式を解くとは、それが真の数値不等式になる変数のすべての値を見つけ、それらを集合として表記することです。解は、1つの数値ではなく、区間または区間の和集合になります。
不等式にはどのような種類がありますか？
式の形によって、一次不等式（\(ax + b > 0\)）、二次不等式（\(ax^2 + bx + c > 0\)）、分数有理数不等式（変数が分母にある）、絶対値を含む不等式、無理数不等式、指数不等式に分類されます。また、連立不等式と和集合不等式も区別されます。不等号の向きによって、厳密不等号（<、>）と非厳密不等号（≤、≥）に分けられます。
不等号の向きはいつ変わりますか？
2つの場合に変わります。両辺を負の数で乗算または除算するとき、および左右の辺を入れ替えるときです。加算、減算、正の数での除算では、向きは変わりません。
括弧が丸くなるのはいつ、角になるのはいつですか？
丸括弧は、境界点が解に含まれない場合（厳密不等号、数直線上の白丸）に使用されます。角括弧は、境界点が含まれる場合（非厳密不等号、数直線上の黒丸）に使用されます。\(\infty\) と \(-\infty\) の周りの括弧は常に丸括弧です。
不等式の解は方程式の解とどう違いますか？
変形はほぼ同じですが、方程式の解は通常個々の数値で構成されるのに対し、不等式の解は区間全体で構成されます。さらに、不等式には、方程式にはない、負の数で乗算または除算するときの符号変更ルールがあります。
どのような不等式が分数不等式と呼ばれ、どこで扱われますか？
分数不等式（分数有理数不等式）とは、変数が分母にある不等式です。例：\(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\)。分母があるため定義域が生じ、通常の除算では解けません。例を含む段階的なアルゴリズムは、別の資料「有理数不等式と区間法」にあります。
不等式の解法は何年生で学びますか？
一次不等式と数値区間は8年生（メルズリャクの教科書では9年生）で学びます。二次不等式と区間法を用いた分数有理数不等式は8〜9年生で、無理数不等式と指数不等式は高校で学びます。
