乗法公式とは、式を展開したり因数分解したりする際に、長い計算を省略できる便利な代数恒等式です。このページでは、和の平方、差の平方、平方の差、和の立方、差の立方、立方和、立方差の計7つの公式を一覧表にしました。それぞれの公式の導出と例題を解説し、最後にはすぐに練習できるインタラクティブなドリルを用意しています。
乗法公式とは
乗法公式とは、多項式の掛け算を一度丁寧に行い、その結果を覚えておくことで、毎回計算しなくても済むようにした「型」のことです。一度型を覚えれば、自分の数や文字を代入するだけで計算できます。
中学数学の代数では、乗法公式を主に2つの方向で使います：
- 左から右へ — 括弧を素早く展開して、式の2乗や3乗を計算する。
- 右から左へ — 多項式を因数分解する（分数の約分や方程式の解法に必要）。
全部で7つの公式を覚えます。以下に一覧表と、それぞれの公式の詳しい解説をまとめました。
乗法公式一覧表
7つの乗法公式を1つの表にまとめました。ここで \(a\) と \(b\) は、数、変数、あるいは \(2x\) のような単項式など、どんな式でも当てはまります。
| 公式 | 式 |
|---|---|
| 和の平方 | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| 差の平方 | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| 平方の差 | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| 和の立方 | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| 差の立方 | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| 立方和 | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| 立方差 | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
和の平方と差の平方
和の平方 \((a+b)\) を自分自身と掛けると次のようになります：
言葉で言うと：和の平方＝（第1項の2乗）＋（第1項と第2項の積の2倍）＋（第2項の2乗）となります。差の平方も同様に導出でき、真ん中の項の符号がマイナスになります：
重要なのは、真ん中の \(2ab\) を忘れないことです。これがあるため \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\) となります。和の平方と差の平方の違いは \(2ab\) の前の符号だけで、両端の \(a^2\) と \(b^2\) は常にプラスです。
例. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
和の平方には視覚的な幾何学的意味があり、一辺が \((a+b)\) の大きな正方形の面積として表せます。
平方の差
同じ式の和と差を掛けると、真ん中の項が打ち消し合います：
これが平方の差の公式です：\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)。これは因数分解において最も便利な公式で、2つの平方の差を見つけたらすぐに積の形に分解できます。
例（展開）. \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
例（因数分解）. \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
注意：和の平方 \(a^2 + b^2\) はこの公式では因数分解できません。差の場合のみ有効です。
和の立方、差の立方、立方和、立方差
和の立方と差の立方には4つの項が含まれます：
差の立方では符号が \(+\,-\,+\,-\) と交互に入れ替わります。ここでもよくある間違いは \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) で、単に指数を分配することはできません。真ん中の \(3a^2b\) と \(3ab^2\) を忘れないようにしましょう。
例. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
立方和と立方差は、逆に式を因数分解する際に使います：
2番目の括弧は「不完全な平方」と呼ばれます。その真ん中の項の符号は、最初の括弧の符号と常に逆になります。立方和なら \(-ab\)、立方差なら \(+ab\) です。
例. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
乗法公式の適用例
例1. 展開：和の平方
問題. \((2x+5)^2\) を展開しなさい。
ステップ1. 和の平方の公式 \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) を使います。ここで \(a = 2x\), \(b = 5\) です。
ステップ2. 各項を計算します：
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
答え. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
例2. 平方の差の公式にまとめる
問題. \((3x-4)(3x+4)\) を計算しなさい。
ステップ1. 同じ式の差と和の積なので、平方の差の公式 \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) を使います。ここで \(a = 3x\), \(b = 4\) です。
ステップ2. 各項を2乗します：\(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
答え. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
例3. 因数分解
問題. \(x^2 - 36\) と \(x^3 + 27\) を因数分解しなさい。
平方の差. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
立方和. \(27 = 3^3\) なので \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\) となります。公式 \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) に \(a = x\), \(b = 3\) を代入します：
不完全な平方の \(-3x\) の符号に注意してください。立方和の場合、真ん中の項はマイナスになります。
例4. 和の立方
問題. \((x+2)^3\) を展開しなさい。
ステップ1. 和の立方の公式 \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) を使います。ここで \(a = x\), \(b = 2\) です。
ステップ2. 順番に計算します：
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
答え. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
乗法公式でよくある間違い
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積の2倍を忘れる：$(a+b)^2 = a^2 + b^2$ と書いてしまう。
和や差の平方には必ず真ん中の項 \(2ab\) があります：\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。確認するには \((a+b)(a+b)\) を筆算で展開してみれば、真ん中の項が自然と出てきます。
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差の平方と平方の差の符号を混同する。
差の平方では、マイナスは真ん中の項にしかつきません：\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)（両端はプラス）。一方、平方の差では、マイナスは2つの平方の間にあります：$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)。これらは別の公式です。
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立方の指数を分配する：$(a+b)^3 = a^3 + b^3$ としてしまう。
これは間違いです。和の立方には4つの項があります：\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)。公式 \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) は全く別のもの（立方和）で、因数分解のための公式です。
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立方和/差の不完全な平方に積の2倍 $2ab$ を入れてしまう。
不完全な平方とは \(a^2 \pm ab + b^2\) であり、\(ab\) の前に2はつきません。符号は最初の括弧と逆になります：立方和 \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\)、立方差 \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\) です。
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和の平方 $a^2 + b^2$ を因数分解しようとする。
因数分解できるのは平方の差 \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) だけです。和の平方 \(a^2 + b^2\) は、中学数学の範囲では因数分解できません。
Q&A
乗法公式は全部でいくつありますか？
7つです：和の平方、差の平方、平方の差、和の立方、差の立方、立方和、立方差。すべて上の表にまとめてあります。
和の平方の計算結果は？
第1項の2乗＋積の2倍＋第2項の2乗：\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) です。差の平方では真ん中の項がマイナスになります：\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。
平方の差を因数分解するには？
公式 \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) を使います。例えば \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\)。両方の項が平方数で、間にマイナスがあることを確認するだけです。
なぜ $(a+b)^2$ は $a^2 + b^2$ ではないのですか？
\((a+b)(a+b)\) を掛けると、さらに2つの同じ項 \(ab\) が現れ、それが真ん中の項 \(2ab\) になるからです。これを忘れてはいけません：正しくは \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) です。
和の立方と立方和の違いは？
和の立方 \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) は括弧を展開するためのものです。立方和 \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) は逆に式を因数分解するためのものです。これらは別の公式なので混同しないようにしましょう。
乗法公式はいつ習いますか？
通常、中学2年生の代数で習います：まず和と差の平方、平方の差を学び、次に立方の公式を学びます。これらは後の式の簡略化、分数の約分、方程式の解法で頻繁に使われます。
