有理不等式是形如 \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) 的不等式，其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 是多项式，符号 \(>\) 也可以是 \(<\), \(\ge\) 或 \(\le\)。这类不等式通常使用区间法求解：将所有项移到左侧，分解因式，在数轴上标出分子和分母的零点，并确定各区间的符号。下方提供了定义、完整算法、空心点规则、根的重数说明、详细示例以及带检查功能的练习器。
什么是有理不等式
有理不等式是指两边均为有理表达式（即多项式或多项式分式）的不等式。将所有项移到一侧后，它总是可以化简为以下形式：
其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 是多项式，\(\vee\) 代表 \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\) 中的一个符号。右侧必须为零，这是区间法生效的前提。
有理不等式分为两类。如果变量仅出现在分子中，则称为整式有理不等式：无需除法，任何 \(x\) 值均适用。如果变量出现在分母中，则称为分式有理不等式（也称为分式不等式）——此时会出现限制条件 \(Q(x) \neq 0\)。
为什么不能直接乘以分母
解分式不等式时最容易犯的错误就是通过乘以分母来“消去分母”。在方程中可以这样做，但在不等式中不行。原因很简单：乘以负数时不等号方向会改变，而 \(Q(x)\) 的符号事先未知，它取决于 \(x\) 的取值。
观察不等式 \(\frac{5}{x-3} < 1\)。如果我们假设 \(x-3\) 是正数并乘以它，得到 \(5 < x - 3\)，即 \(x > 8\)。代入 \(x = 0\) 检验：\(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) —— 不等式成立，说明 0 也是解，但它没有包含在 \(x > 8\) 中。解丢失了。
正确的方法是将所有项移到左侧并通分：
最后一步我们乘以了 \(-1\) 并改变了不等号方向——这是合法的，因为 \(-1\) 永远是负数。接下来使用区间法，得到解 \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) —— 其中包含了之前丢失的 0。
最简单的记忆方法是：不能乘以含有变量的表达式，但总是可以移项。移项不会改变不等号方向。
区间法：分步解题算法
区间法基于一个性质：有理表达式在相邻零点之间的符号是恒定的。因此，只需找到所有使分子或分母为零的点，用它们将数轴划分开，并通过测试点或根的重数来确定每个区间的符号。
空心点与实心点：定义域与不等号
一个括号的错误就会导致整个解题失败，因此必须专门掌握点的规则。只有两个核心考量。
第一——定义域。 分母的零点永远是空心点，无论不等号是什么。在该点分式不存在：除数不能为零，因此该数不能是解，即使不等号是不严格的。
第二——严格不等号还是非严格不等号。 分子的零点使分式为零。对于非严格不等号（\(\le\) 或 \(\ge\)），等于零的情况符合要求，因此点是实心的，并用方括号包含在解集中。对于严格不等号（\(<\) 或 \(>\)），零不符合要求，因此点是空心的。
例如，对于不等式 \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\)，点 \(x = 6\) 是实心的（分子零点，非严格不等号），而点 \(x = -1\) 是空心的（分母零点）。解为：\(x \in (-1; 6]\)。
| 点的类型 | 标记方式 |
|---|---|
| 分母零点，Q(x) = 0 | 空心点 总是如此，无论符号如何——定义域中不包含此点 |
| 分子零点，严格不等号 < 或 > | 空心点 分式等于零，但需要严格的符号 |
| 分子零点，非严格不等号 ≤ 或 ≥ | 实心点 等于零的情况符合要求，点包含在解集中 |
根的重数：符号何时改变，何时不变
区间符号并非总是交替变化的——这是该主题中最常见的误解。交替仅在所有括号均为一次方时成立。更准确的规则是通过根的重数（即对应括号的指数）来判断。
穿过奇数重数的根（指数为 1, 3, 5）时，表达式符号改变。穿过偶数重数的根（指数为 2, 4）时，符号不改变：偶数次幂的括号是非负的，不会影响表达式的符号。分子和分母的重数计算方式相同。
以 \((x-9)^2(x+3) > 0\) 为例。根为：\(x = 9\)（重数为 2）和 \(x = -3\)（重数为 1）。在 9 的右侧，表达式为正。穿过 9 时——重数为偶数，符号保持不变，区间 \((-3; 9)\) 内也是正。穿过 -3 时——重数为奇数，符号变为负。严格不等式的解为：\(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\)，点 9 是空心的，因为在该点表达式为零。而对于非严格不等式 \((x-9)^2(x+3) \ge 0\)，解则不同：\(x \in [-3; +\infty)\) —— 9 变为实心，并将两个区间“粘合”成了一个。
| 根的重数 | 穿过时的符号 |
|---|---|
| 奇数：(x − a), (x − a)3 | 改变 |
| 偶数：(x − a)2, (x − a)4 | 不改变 |
数轴示例：确定符号
我们将所有内容汇总到不等式 \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\) 中。分子零点：\(x = -7\)。分母零点：\(x = 2\) 和 \(x = 5\)，它们决定了定义域。三个括号均为一次方，因此符号交替。最右侧区间取测试点 \(x = 10\)，得到 \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) —— 从正号开始，向左移动，每经过一个点改变一次符号。
有理不等式解题示例
示例 1. 简单的分式不等式
解 \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\)。
第 1 步。 右侧已为零，分式已合并——无需移项或通分。
第 2 步。定义域。 \(x + 5 \neq 0\)，即 \(x \neq -5\)。
第 3 步。零点。 分子在 \(x = 3\) 时为零，分母在 \(x = -5\) 时为零。
第 4 步。数轴上的点。 \(x = 3\) 为实心（分子零点，非严格不等号），\(x = -5\) 为空心（分母零点）。
第 5 步。符号。 测试点 \(x = 4\)：\(\frac{1}{9} > 0\) —— 右侧为正。两个括号均为一次方，因此符号交替：在 \((-5; 3)\) 为负，在 \((-\infty; -5)\) 为正。检验：\(x = -6\) 时得到 \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) —— 符合。
第 6 步。解。 需要“正或零”的符号：\(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\)。
示例 2. 右侧不为零——移项
解 \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\)。
第 1 步。将 1 移到左侧。 不能乘以 \(x - 4\)，该表达式符号未知：
第 2 步。通分。
第 3 步。定义域。 \(x \neq 4\)。
第 4 步。点。 \(x = -5\) —— 分子零点，非严格不等号，实心。\(x = 4\) —— 分母零点，空心。
第 5 步。符号。 \(x = 5\) 时分式等于 \(\frac{10}{1} > 0\)。因此在 \((4; +\infty)\) 为正，在 \((-5; 4)\) 为负，在 \((-\infty; -5)\) 为正。
第 6 步。解。 \(x \in [-5; 4)\)。边界点检验：\(x = -5\) 时分式为零 —— 符合 \(\le\)；\(x = 4\) 时分式无定义 —— 不符合。
示例 3. 偶数重数根与孤立点
解 \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\)。
第 1 步。定义域。 \(x \neq 9\)。
第 2 步。零点与重数。 \(x = 2\) —— 重数为 2（偶数），\(x = -6\) —— 重数为 1，\(x = 9\) —— 分母重数为 1。
第 3 步。点。 \(x = 2\) 和 \(x = -6\) 为实心（非严格不等号下的分子零点），\(x = 9\) 为空心。
第 4 步。符号。 测试点 \(x = 10\)：分子为正，分母为 1 —— 正。向左移动。穿过 9（奇数重数）符号改变：在 \((2; 9)\) 为负。穿过 2（偶数重数）符号不改变：在 \((-6; 2)\) 也是负。穿过 -6（奇数重数）符号改变：在 \((-\infty; -6)\) 为正。
第 5 步。解。 选取“正”区间，并加上表达式为零的点。点 \(x = 2\) 位于负区间内，但表达式在该点为零，因此它单独包含在解集中：
解集中出现这样的“孤立点”是偶数重数根在非严格不等号下的典型特征。
示例 4. 分式约分：定义域陷阱
解 \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\)。
第 1 步。分解因式。 分子是完全平方：\(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\)。分母计算判别式：\(D = 81 + 40 = 121\)，根为 \(x_1 = \frac{1}{5}\) 和 \(x_2 = -2\)，因此 \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\)。
第 2 步。定义域——在约分前。 \(5x - 1 \neq 0\) 和 \(x + 2 \neq 0\)，即 \(x \neq \frac{1}{5}\) 和 \(x \neq -2\)。
第 3 步。约分。 \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\)，但仅在 \(x \neq \frac{1}{5}\) 时成立 —— 约分不会使空心点变回实心。
第 4 步。解 \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\)。 零点：\(\frac{1}{5}\) 和 \(-2\)。\(x = 1\) 时分式等于 \(\frac{4}{3} > 0\)。因此在 \((\frac{1}{5}; +\infty)\) 为正，在 \((-2; \frac{1}{5})\) 为负，在 \((-\infty; -2)\) 为正。
第 5 步。恢复定义域。 区间 \((-2; \frac{1}{5}]\) 本符合符号要求，但点 \(\frac{1}{5}\) 是空心的：在原不等式中，分母 \(5x^2+9x-2\) 在 \(x = \frac{1}{5}\) 时为零，分式无定义。
解： \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) —— 两个括号均为圆括号。
示例 5. 分子中的二次三项式
解 \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\)。
第 1 步。分解分子。 根据韦达定理，根之和为 7，积为 10，因此 \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\)。不等式变为 \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\)。
第 2 步。定义域。 \(x \neq -4\)。
第 3 步。点。 三个点均为空心：\(-4\) 是分母零点，\(2\) 和 \(5\) 是严格不等号下的分子零点。
第 4 步。符号。 测试点 \(x = 6\)：\(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\)。所有括号均为一次方，因此符号交替：在 \((5; +\infty)\) 为正，在 \((2; 5)\) 为负，在 \((-4; 2)\) 为正，在 \((-\infty; -4)\) 为负。
第 5 步。解。 需要严格的负号：\(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\)。代入检验：\(x = -5\) 时得到 \(\frac{70}{-1} < 0\)，\(x = 3\) 时得到 \(\frac{-2}{7} < 0\) —— 两个区间均符合。
有理不等式解题中的常见错误
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乘以分母：将 $\frac{3}{x-8} > 1$ 变为 $3 > x - 8$ 并写出 $x < 11$。
表达式 \(x - 8\) 的符号事先未知，乘以负数时不等号方向会改变。检验：\(x = 0\) 时 \(\frac{3}{-8} < 1\) —— 0 不是解，尽管它包含在 \(x < 11\) 中。正确做法：\(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\)，即 \(\frac{11-x}{x-8} > 0\)，从而得到 \(x \in (8; 11)\)。
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将分母零点涂实，因为不等号是非严格的：在 $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ 中对 7 使用方括号。
分母零点永远是空心的，无论符号如何：在该点分式不存在。正确解：\(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) —— 1 处为方括号，7 处为圆括号。
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约分分式并丢失定义域：从 $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ 得到 $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ 并将 $x = -3$ 包含在解中。
定义域必须在约分前根据原分母写出：\(x \neq -3\) 和 \(x \neq 5\)。约分后的分式 \(\frac{x+3}{x-5}\) 在 \([-3; 5)\) 上非正 —— \(x = 0\) 时它等于 \(-0{,}6\)，符合 \(\le\) 的要求。但点 \(-3\) 因定义域而空心，因此解为 \((-3; 5)\)，而不是 \([-3; 5)\)。
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认为区间符号总是交替的，对于 $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ 在 1 的右侧放置负号。
交替仅在括号为一次方时成立。根 \(x = 1\) 的重数为 2，因此符号穿过它时不改变。表达式在整个 \((-4; +\infty)\) 上为正，除了 1 本身（该点为零）。解：\(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\)。
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移项时改变不等号方向：将 $\frac{x}{x-2} \le 3$ 变为 $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$。
从一侧移项到另一侧不会改变不等号方向 —— 仅改变项本身的符号。不等号方向仅在乘以或除以负数时改变。正确做法：\(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\)，进而 \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\)，即 \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\)。
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仅在数轴上标出分子零点，而“稍后”检查分母：对于 $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ 只标出一个点 -11。
必须立即在数轴上标出所有零点 —— 包括分子和分母的，否则区间会出错。此处 \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\)，因此有三个点：\(-11\), \(-4\) 和 \(4\)，而不是一个。全部为空心（严格不等号），解：\(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\)。
问题与解答
什么是有理不等式？
这是两边均为有理表达式（多项式和多项式分式）的不等式。移项到左侧后，它可化简为 \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) 的形式，其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 为多项式，\(>\) 可替换为 \(<\), \(\le\) 或 \(\ge\)。
如何解有理不等式？
通过六步区间法：移项到左侧使右侧为零；通分并分解分子分母；写出定义域 (\(Q(x) \neq 0\))；在数轴上标出分子分母零点；通过测试点和根的重数确定区间符号；写出符合符号的区间解。
分式有理不等式与整式有理不等式有何区别？
整式有理不等式中变量仅在分子中，例如 \((x-1)(x+4) > 0\)，定义域为所有实数。分式有理不等式中变量在分母中，例如 \(\frac{x-1}{x+4} > 0\)，会出现限制条件 \(x \neq -4\)。算法相同 —— 仅空心点不同。
如何解带分式的不等式？
与任何有理不等式一样：首先移项到左侧并通分，而不是消去分母。例如，\(\frac{x}{x+2} \ge 1\) 变为 \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\)，即 \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\)。分子为常数且为负，因此分式仅在分母为负时非负：\(x + 2 < 0\)。解：\(x \in (-\infty; -2)\)。
为什么不能乘以分母？
因为分母的符号取决于 \(x\)：乘以正数时不等号方向不变，乘以负数时不等号方向改变。事先不知道是哪种情况，因此部分解会丢失，部分解会错误增加。移项总是可以的 —— 移项不会改变不等号方向。
如何找到不等式的定义域？
对于有理不等式，定义域是使分母不为零的所有 \(x\) 值。令分母为零，解方程并排除找到的数。必须在约分前根据原分母写出定义域 —— 否则空心点会丢失。
哪些点是空心的，哪些是实心的？
分母零点永远是空心的，无论不等号如何。分子零点在非严格不等号（\(\le\) 或 \(\ge\)）下为实心，在严格不等号（\(<\) 或 \(>\)）下为空心。在解集中，空心点对应圆括号，实心点对应方括号。
什么是根的重数，为什么在区间法中需要它？
重数是括号在分解式中的指数。穿过奇数重数的根时符号改变，穿过偶数重数的根时符号保持不变。这就是为什么符号并不总是简单交替：对于 \((x-9)^2(x+3)\)，在点 9 处符号保持不变。
几年级学习有理不等式？
9年级代数课，在学习二次不等式和多项式分解之后。区间法随后用于指数、对数和无理不等式，以及 OGE 和高考数学题中。
