La circonferenza definisce due tipi principali di angoli: l'angolo al centro, con il vertice nel centro, e l'angolo alla circonferenza, con il vertice sulla circonferenza stessa. La relazione tra loro è semplice: l'angolo al centro è uguale all'arco su cui insiste, mentre quello alla circonferenza ne è la metà. In questa pagina troverai definizioni, il teorema dell'angolo alla circonferenza con tutti i corollari, disegni esplicativi, risoluzioni guidate di problemi e un simulatore interattivo per metterti subito alla prova.
Tipi di angoli nella circonferenza: al centro e alla circonferenza
Tracciando due segmenti da un punto all'interno di una circonferenza, si ottiene un angolo. A seconda della posizione del vertice, distinguiamo due tipi principali di angoli:
- Angolo al centro: un angolo con il vertice nel centro \(O\) della circonferenza. I suoi lati sono raggi.
- Angolo alla circonferenza: un angolo il cui vertice giace sulla circonferenza e i cui lati intersecano la circonferenza (ovvero sono corde).
Ognuno di questi angoli insiste su un arco, ovvero la parte di circonferenza che si trova all'interno dell'angolo. È proprio l'arco a collegare l'angolo al centro e quello alla circonferenza: entrambi si esprimono tramite la sua misura in gradi.
Se il vertice dell'angolo si trova all'interno del cerchio (ma non nel centro) o all'esterno, non si tratta di un angolo alla circonferenza né al centro: per tali angoli esistono formule specifiche, che vedremo alla fine della pagina.
∠AOC = arco AC = 120°
∠ABC = ½ arco AC = 60°
Teorema dell'angolo alla circonferenza e sua ampiezza
L'angolo al centro è uguale all'arco su cui insiste: così si definisce la misura in gradi di un arco. Se \(\angle AOC = 120°\), allora anche l'arco \(AC\) misura \(120°\).
Teorema dell'angolo alla circonferenza: un angolo alla circonferenza è uguale alla metà dell'arco su cui insiste:
Da qui deriva la relazione fondamentale tra angoli alla circonferenza e al centro: l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro che insiste sullo stesso arco:
L'ampiezza dell'angolo alla circonferenza non dipende dalla posizione del vertice sulla circonferenza, ma solo dall'arco su cui insiste. Per questo motivo, il disegno qui sotto va memorizzato come lo schema base dell'argomento: l'arco verde e i due angoli che vi insistono.
Angoli alla circonferenza e al centro: proprietà e corollari
Dal teorema dell'angolo alla circonferenza derivano direttamente le proprietà su cui si basano la maggior parte dei problemi scolastici:
- Gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali. Ognuno di essi è uguale alla metà dello stesso arco, quindi sono uguali tra loro, ovunque si trovino i loro vertici.
- L'angolo alla circonferenza che insiste su un diametro è retto. Il diametro divide la circonferenza in due semicirconferenze da \(180°\), quindi tale angolo misura \(180° : 2 = 90°\). Vale anche l'inverso: se un angolo alla circonferenza è retto, allora insiste su un diametro.
- Un angolo alla circonferenza può essere ottuso. Se l'arco è maggiore di \(180°\), l'angolo è maggiore di \(90°\) — la formula "metà dell'arco" funziona senza eccezioni.
Queste proprietà funzionano anche "al contrario": ad esempio, dall'uguaglianza di angoli che insistono sullo stesso segmento, si può dimostrare che quattro punti giacciono sulla stessa circonferenza.
Angoli alla circonferenza e circoscritti: quadrilatero inscritto
Se tutti e quattro i vertici di un quadrilatero giacciono su una circonferenza, esso si dice inscritto (e la circonferenza si dice circoscritta ad esso). Gli angoli di tale quadrilatero sono angoli alla circonferenza, quindi vale lo stesso teorema.
- La somma degli angoli opposti di un quadrilatero inscritto è \(180°\). Gli angoli \(A\) e \(C\) insistono su due archi che insieme formano l'intera circonferenza (\(360°\)), quindi \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- L'angolo esterno di un quadrilatero inscritto è uguale all'angolo interno opposto. L'angolo esterno è supplementare al suo angolo interno adiacente — esattamente come l'angolo opposto.
- La proprietà della somma degli angoli è anche un criterio: se in un quadrilatero la somma degli angoli opposti è \(180°\), allora è possibile circoscrivere una circonferenza attorno ad esso. Per questo motivo, ogni rettangolo può essere inscritto in una circonferenza, mentre un rombo (che non sia un quadrato) no.
Accanto agli angoli alla circonferenza, nei problemi si incontrano spesso gli angoli circoscritti — angoli tra due tangenti condotte da un punto esterno alla circonferenza. L'angolo circoscritto è uguale alla semidifferenza degli archi che esso interseca sulla circonferenza.
Esempi di risoluzione di problemi sugli angoli alla circonferenza
Esempio 1. Angolo alla circonferenza dato l'arco
Problema. L'angolo alla circonferenza \(ABC\) insiste su un arco \(AC\) di \(120°\). Trova \(\angle ABC\).
Passaggio 1. Ricordiamo il teorema: l'angolo alla circonferenza è uguale alla metà dell'arco su cui insiste.
Passaggio 2. Sostituiamo: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Risposta: \(60°\).
Esempio 2. Angolo al centro dato quello alla circonferenza
Problema. L'angolo alla circonferenza \(ABC\) misura \(40°\). Trova l'angolo al centro \(AOC\) che insiste sullo stesso arco \(AC\).
Passaggio 1. L'angolo al centro è il doppio di quello alla circonferenza che insiste sullo stesso arco: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Passaggio 2. Calcoliamo: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Abbiamo anche trovato l'arco: \(AC = 80°\).
Risposta: \(80°\).
Esempio 3. Angolo che insiste su un diametro
Problema. \(AC\) è il diametro della circonferenza, il punto \(B\) giace sulla circonferenza, \(\angle BAC = 35°\). Trova \(\angle BCA\).
Passaggio 1. L'angolo \(ABC\) insiste sul diametro \(AC\), quindi \(\angle ABC = 90°\) — il triangolo \(ABC\) è rettangolo.
Passaggio 2. La somma degli angoli interni di un triangolo è \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Risposta: \(55°\).
Esempio 4. Quadrilatero inscritto
Problema. Il quadrilatero \(ABCD\) è inscritto in una circonferenza, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Trova gli angoli \(C\) e \(D\).
Passaggio 1. La somma degli angoli opposti di un quadrilatero inscritto è \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Passaggio 2. Analogamente, \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Verifica. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — la somma degli angoli del quadrilatero torna.
Risposta: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Errori comuni nei problemi sugli angoli nella circonferenza
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Confondere l'angolo alla circonferenza con quello al centro: per un angolo con il vertice nel centro si prende la metà dell'arco (o viceversa).
Guarda prima il vertice. Se il vertice è nel centro \(O\), è un angolo al centro ed è uguale all'intero arco. Se il vertice è sulla circonferenza, è un angolo alla circonferenza ed è uguale alla metà dell'arco.
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Prendere l'arco sbagliato: per l'angolo alla circonferenza si considera l'arco su cui giace il suo vertice.
L'angolo alla circonferenza insiste sull'arco che si trova "dentro" l'angolo — il vertice si trova sempre sull'altro arco. Nella notazione \(\angle ABC\), l'angolo insiste sull'arco \(AC\) che non contiene il punto \(B\).
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Moltiplicare o dividere per 2 nella direzione sbagliata: dall'angolo alla circonferenza a quello al centro si divide invece di moltiplicare.
Ricorda: quello alla circonferenza è "piccolo" (metà arco), quello al centro è "grande" (intero arco). Dall'angolo alla circonferenza a quello al centro si moltiplica per 2, dal centro alla circonferenza si divide per 2.
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Considerare come angolo alla circonferenza qualsiasi angolo i cui lati intersecano la circonferenza — ad esempio, l'angolo tra corde che si intersecano all'interno del cerchio.
Per essere un angolo alla circonferenza, il vertice deve trovarsi sulla circonferenza stessa. Un angolo con il vertice all'interno del cerchio è uguale alla semisomma degli archi intersecati, con il vertice all'esterno alla semidifferenza: queste sono formule diverse.
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In un quadrilatero inscritto, uguagliare a $180°$ la somma degli angoli adiacenti invece di quelli opposti.
La proprietà vale solo per i vertici opposti: \(\angle A + \angle C = 180°\) e \(\angle B + \angle D = 180°\). Gli angoli adiacenti di un quadrilatero inscritto possono avere qualsiasi valore.
Domande e risposte
Quanto misura un angolo alla circonferenza?
Un angolo alla circonferenza è uguale alla metà dell'arco su cui insiste. Ad esempio, se l'arco misura 120°, l'angolo alla circonferenza misura 60°. Questo è il teorema dell'angolo alla circonferenza, la formula principale dell'argomento.
Come sono collegati l'angolo alla circonferenza e quello al centro che insistono sullo stesso arco?
L'angolo al centro è il doppio di quello alla circonferenza: ∠AOC = 2·∠ABC. L'angolo al centro è uguale all'arco stesso, mentre quello alla circonferenza ne è la metà.
Perché l'angolo alla circonferenza che insiste su un diametro misura 90°?
Il diametro sottende una semicirconferenza — un arco di 180°. L'angolo alla circonferenza è la metà dell'arco: 180° : 2 = 90°. Per questo motivo, ogni triangolo che ha un lato coincidente con il diametro della circonferenza circoscritta è rettangolo.
Un angolo alla circonferenza può essere ottuso?
Sì. Se l'arco su cui insiste l'angolo è maggiore di 180°, l'angolo è ottuso: ad esempio, a un arco di 210° corrisponde un angolo alla circonferenza di 105°. In ogni caso, l'angolo alla circonferenza è sempre minore di 180°.
Cos'è un angolo circoscritto e in cosa differisce da quello alla circonferenza?
Un angolo circoscritto è formato da due tangenti condotte alla circonferenza da un punto esterno. Il suo vertice si trova fuori dalla circonferenza ed è uguale alla semidifferenza degli archi intersecati. Nell'angolo alla circonferenza, il vertice si trova sulla circonferenza ed è uguale alla metà di un solo arco.
Quali altri tipi di angoli esistono nella circonferenza?
Oltre a quelli al centro e alla circonferenza, si considerano l'angolo tra corde (vertice all'interno del cerchio — semisomma degli archi), l'angolo tra secanti da un punto esterno (semidifferenza degli archi) e l'angolo tra tangente e corda (metà dell'arco compreso). Tutti si esprimono tramite gli archi della circonferenza.
