I triangoli simili sono triangoli della stessa forma ma di dimensioni diverse: i loro angoli sono rispettivamente uguali e i lati corrispondenti sono proporzionali. Il numero che indica quante volte un triangolo è più grande dell'altro è chiamato rapporto di similitudine \(k\). Tre criteri aiutano a dimostrare la similitudine, e i rapporti tra perimetri e aree seguono una regola semplice: i perimetri stanno in rapporto \(k\), e le aree in rapporto \(k^2\). In questa pagina: definizione e notazione della similitudine con l'ordine corretto dei vertici, tutti e tre i criteri, similitudine dei triangoli rettangoli e altezza dall'angolo retto, analisi di problemi OGE «trova il lato» e un simulatore interattivo.
Cosa sono i triangoli simili e il rapporto di similitudine
Due triangoli si dicono simili se sono soddisfatte due condizioni contemporaneamente:
- i loro angoli sono rispettivamente uguali — a ogni angolo del primo triangolo corrisponde un angolo uguale nel secondo;
- i loro lati corrispondenti sono proporzionali — tutti e tre i rapporti danno lo stesso numero.
Lati corrispondenti (o omologhi) — sono i lati che giacciono opposti ad angoli uguali. Sono proprio loro a formare le coppie tra cui si calcola il rapporto.
La similitudine si indica con il segno \(\sim\):
Rapporto di similitudine \(k\) — è proprio quel rapporto uguale tra i lati corrispondenti:
Se \(k > 1\), il secondo triangolo è più grande del primo; se \(k < 1\) — più piccolo; con \(k = 1\) i triangoli sono semplicemente uguali, poiché l'uguaglianza è un caso particolare di similitudine.
L'ordine dei vertici nella notazione non è una formalità
La notazione \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) si legge rigorosamente per posizione: \(A\) corrisponde ad \(A_1\), \(B\) a \(B_1\), \(C\) a \(C_1\). Da qui si deduce immediatamente quali angoli sono uguali (\(\angle A = \angle A_1\)) e quali lati sono corrispondenti (\(AB\) e \(A_1B_1\), \(BC\) e \(B_1C_1\), \(AC\) e \(A_1C_1\)).
Se si scambiano le lettere e si scrive \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), si ottiene un'affermazione diversa: ora \(\angle A = \angle B_1\), e il lato corrispondente ad \(AB\) diventa \(B_1A_1\). Non si può impostare una proporzione basandosi sui lati «posizionati in modo simile» — solo per le posizioni nella notazione. Pertanto, la prima cosa da fare è elencare le coppie di angoli uguali e poi adattare l'ordine delle lettere sotto di esse.
Tre criteri di similitudine dei triangoli
Non è necessario verificare tutte e sei le condizioni della definizione: la similitudine si dimostra con uno dei tre criteri. Ognuno è un set minimo di dati da cui segue automaticamente sia l'uguaglianza di tutti gli angoli sia la proporzionalità di tutti i lati.
Come scegliere il criterio. Guarda cosa è dato nel problema: se riguarda gli angoli, il primo; se riguarda due lati e l'angolo compreso, il secondo; se riguarda tutti e tre i lati, il terzo.
- Primo criterio (per due angoli) — è il cavallo di battaglia del corso scolastico: quasi tutti i problemi OGE si risolvono con questo. Il terzo angolo non deve essere verificato, è uguale automaticamente: la somma degli angoli di un triangolo è sempre \(180°\). Cerca coppie di angoli uguali già pronte — angolo comune a due triangoli, angoli opposti al vertice, alterni interni e corrispondenti rispetto a rette parallele, due angoli retti.
- Secondo criterio (per due lati e l'angolo compreso) richiede che l'angolo sia esattamente tra questi due lati. Se l'angolo uguale si trova opposto a uno di essi, il criterio non funziona e la similitudine non è dimostrata.
- Terzo criterio (per tre lati) — quando non ci sono angoli nell'enunciato, ma solo lunghezze. Elenca i lati di ciascun triangolo in ordine crescente e dividi il più piccolo per il più piccolo, il medio per il medio, il più grande per il più grande: così le coppie non si confonderanno. La similitudine esiste solo se tutti e tre i rapporti coincidono.
Per non confondere i criteri di similitudine con i criteri di uguaglianza, tieni a mente la differenza: nell'uguaglianza i lati devono coincidere, nella similitudine devono essere proporzionali.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Rapporto tra perimetri e aree dei triangoli simili
La similitudine ha due conseguenze che vengono chieste più spesso, e una di queste è l'insidia principale dell'argomento.
I perimetri stanno in rapporto \(k\). Ogni lato del secondo triangolo è \(k\) volte più grande del lato corrispondente del primo, quindi anche la somma dei lati aumenta esattamente \(k\) volte:
Allo stesso modo, «\(k\) volte» si comportano tutte le grandezze lineari: altezze, mediane, bisettrici, raggi delle circonferenze inscritte e circoscritte, linee medie.
Le aree stanno in rapporto \(k^2\). L'area dipende da due dimensioni contemporaneamente: sia la base che l'altezza aumentano di \(k\) volte, e il loro prodotto aumenta di \(k \cdot k\) volte:
Supponiamo \(k = 5\). Allora il perimetro è 5 volte più grande (ad esempio, da 14 cm è diventato 70 cm), e l'area — già 25 volte più grande (da 6 cm² è diventato 150 cm²). La differenza è enorme, e sostituire \(k\) al posto di \(k^2\) è l'errore più comune all'esame.
Procedimento inverso. Se nel problema viene dato il rapporto tra le aree, il rapporto di similitudine si ottiene estraendo la radice quadrata: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Ad esempio, le aree stanno in rapporto \(16 : 1\), quindi i lati stanno in rapporto \(4 : 1\).
| k | Perimetri P₂ : P₁ | Aree S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| qualsiasi | k : 1 | k² : 1 |
Similitudine dei triangoli rettangoli e altezza dall'angolo retto
Per i triangoli rettangoli, il primo criterio si semplifica: gli angoli retti sono già uguali, quindi basta l'uguaglianza di un angolo acuto affinché i triangoli siano simili. Da ciò segue anche il criterio per due cateti: se i cateti di un triangolo sono proporzionali ai cateti dell'altro, i triangoli sono simili (questo è il secondo criterio, poiché l'angolo tra i cateti è retto).
La configurazione più utile dell'intero argomento è l'altezza condotta dal vertice dell'angolo retto. Essa divide il triangolo in due, e tutti e tre i triangoli risultanti sono simili tra loro.
Perché: il triangolo \(AHC\) ha un angolo retto in \(H\) e l'angolo \(A\) in comune con il triangolo grande, quindi \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Il triangolo \(CHB\) ha un angolo retto in \(H\) e l'angolo \(B\) in comune, quindi \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Da ciò segue che anche i due triangolini sono simili tra loro.
Da queste similitudini si ottengono le formule della media geometrica (chiamate anche segmenti proporzionali in un triangolo rettangolo):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — l'altezza è la media geometrica dei segmenti in cui divide l'ipotenusa;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) e \(BC^2 = HB \cdot AB\) — un cateto è la media geometrica dell'intera ipotenusa e della sua proiezione su di essa.
La cosa principale è non confondere quale segmento è «proprio»: il cateto \(AC\) ha proiezione \(AH\), il cateto \(BC\) ha proiezione \(HB\). La proiezione è sempre adiacente allo stesso estremo dell'ipotenusa del cateto.
Problemi OGE sulla similitudine: come trovare un lato
Quasi tutti i problemi sulla similitudine si risolvono con un unico algoritmo:
- Trova una coppia di angoli uguali — angolo comune, opposti al vertice, alterni interni rispetto a rette parallele o due angoli retti.
- Scrivi la similitudine nell'ordine corretto dei vertici — in modo che gli angoli uguali si trovino nelle stesse posizioni.
- Imposta una proporzione tra i lati corrispondenti (prendi i lati che si trovano nelle stesse posizioni nella notazione).
- Esprimi l'incognita e calcola; alla fine, verifica la risposta in base al senso — il lato del triangolo più piccolo deve risultare più piccolo.
Le configurazioni tipiche nell'OGE sono poche, e vale la pena riconoscerle a prima vista:
- Una retta parallela a un lato. Una retta stacca dal triangolo un triangolino simile all'originale. Sottigliezza chiave: nella proporzione va il rapporto tra i lati interi dal vertice comune (\(BM : BA\)), non tra i segmenti (\(BM : MA\)).
- «Farfalla». Due segmenti si intersecano, e i loro estremi sono uniti da rette parallele — si ottengono due triangoli simili, uno rispetto all'altro.
- Altezza dall'angolo retto — configurazione della sezione precedente; nell'OGE si usa per trovare l'altezza, un cateto o un segmento dell'ipotenusa.
- Ombra e altezza di un oggetto. I raggi solari sono paralleli, quindi l'oggetto con la sua ombra e l'albero con la sua ombra formano triangoli rettangoli simili.
- Linea media — caso particolare con \(k = 2\): è parallela a un lato e lunga la metà di esso.
angolo B comune, angoli in M e A corrispondenti
angoli in O opposti al vertice, angoli A e C alterni interni
Esempi di risoluzione di problemi sulla similitudine dei triangoli
Esempio 1. Trovare i lati tramite il rapporto di similitudine
Problema. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Sappiamo che \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) e \(PQ = 21\). Trova \(QR\) e \(PR\).
Passo 1. Analizziamo la notazione per posizione: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Quindi le coppie corrispondenti sono: \(MN\) e \(PQ\), \(NK\) e \(QR\), \(MK\) e \(PR\).
Passo 2. Calcoliamo il rapporto di similitudine con l'unica coppia in cui entrambi i lati sono noti:
Passo 3. Gli altri lati del secondo triangolo sono 3 volte più grandi dei lati corrispondenti:
Risposta: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Verifica: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — tutti i rapporti coincidono.
Esempio 2. Dimostrare la similitudine con il secondo criterio
Problema. Nei triangoli \(ABC\) e \(DEF\) si sa: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), e gli angoli \(A\) e \(D\) sono uguali. Dimostra che i triangoli sono simili.
Passo 1. Verifichiamo la condizione principale del secondo criterio: l'angolo \(A\) è compreso tra i lati \(AB\) e \(AC\), l'angolo \(D\) — tra \(DE\) e \(DF\). Gli angoli tra i lati dati — il criterio è applicabile.
Passo 2. Calcoliamo i rapporti dei lati corrispondenti:
Passo 3. Due coppie di lati sono proporzionali con lo stesso rapporto \(k = 3\), gli angoli tra di essi sono uguali — per il secondo criterio \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Risposta: i triangoli sono simili, \(k = 3\). Nota: se gli angoli uguali fossero stati \(B\) e \(D\), il criterio non sarebbe stato applicabile — l'angolo \(B\) non giace tra \(AB\) e \(AC\).
Esempio 3. Retta parallela a un lato (problema OGE)
Problema. Nel triangolo \(ABC\), il punto \(M\) si trova sul lato \(AB\), il punto \(N\) — sul lato \(BC\), tale che \(MN \parallel AC\). Sappiamo che \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Trova \(AC\).
Passo 1. Poiché \(MN \parallel AC\), gli angoli \(BMN\) e \(BAC\) sono uguali come corrispondenti, e l'angolo \(B\) è comune. Per il primo criterio \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (ordine dei vertici: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Passo 2. Troviamo il lato intero dal vertice comune: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Questa è la sottigliezza principale — nella proporzione va \(BA\), non \(MA\).
Passo 3. Impostiamo la proporzione tra i lati corrispondenti:
Passo 4. Da qui \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Risposta: \(AC = 20\). Il rapporto di similitudine qui è 4: il triangolo grande è quattro volte più grande di quello tagliato.
Esempio 4. Perimetri e aree
Problema. I perimetri di due triangoli simili sono 18 cm e 45 cm. L'area del triangolo più piccolo è 16 cm². Trova l'area del triangolo più grande.
Passo 1. I perimetri stanno in rapporto al rapporto di similitudine:
Passo 2. Le aree stanno in rapporto al quadrato del rapporto di similitudine: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Passo 3. Moltiplichiamo l'area del triangolo più piccolo per \(k^2\):
Risposta: 100 cm². Se avessimo moltiplicato per \(k = 2{,}5\), avremmo ottenuto 40 cm² — un errore tipico che fa perdere tutti i punti.
Esempio 5. Altezza dal vertice dell'angolo retto
Problema. Nel triangolo rettangolo \(ABC\) con angolo retto in \(C\), viene condotta l'altezza \(CH\) all'ipotenusa. Sappiamo che \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Trova l'altezza \(CH\) e l'area del triangolo.
Passo 1. L'altezza dall'angolo retto è la media geometrica dei segmenti dell'ipotenusa, perché \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Passo 2. Estraiamo la radice: \(CH = 6\) cm.
Passo 3. L'ipotenusa \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. Calcoliamo l'area usando l'ipotenusa e l'altezza ad essa condotta:
Risposta: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
Esempio 6. Altezza di un albero tramite l'ombra
Problema. Un palo verticale alto 2 m proietta un'ombra lunga 1,5 m. Nello stesso momento, l'ombra di un albero è lunga 9 m. Qual è l'altezza dell'albero?
Passo 1. I raggi solari sono paralleli, quindi l'angolo di incidenza del raggio è lo stesso per il palo e per l'albero. Il palo con la sua ombra e l'albero con la sua ombra formano triangoli rettangoli con un angolo acuto uguale — quindi sono simili.
Passo 2. Impostiamo la proporzione «altezza alla propria ombra»:
Passo 3. Esprimiamo l'altezza incognita:
Risposta: 12 m. Verifica in base al senso: l'ombra dell'albero è 6 volte più lunga dell'ombra del palo, quindi anche l'albero è 6 volte più alto: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Errori comuni nei problemi sulla similitudine dei triangoli
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Si ritiene che le aree dei triangoli simili stiano in rapporto $k$: con $k = 3$ si aumenta l'area di tre volte.
Le aree stanno in rapporto al quadrato del rapporto di similitudine: con \(k = 3\) l'area è \(3^2 = 9\) volte più grande. Come \(k\) stanno solo le grandezze lineari — lati, perimetro, altezze, mediane. Regola-promemoria: l'area si misura in unità quadrate, quindi anche il rapporto di similitudine entra in essa al quadrato.
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Si ignora l'ordine dei vertici: dalla notazione $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ si imposta la proporzione $AB : LM$.
La corrispondenza dei vertici è determinata dalle posizioni nella notazione: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Il lato corrispondente ad \(AB\) sarà \(KL\), e a \(BC\) — \(LM\). Prima di scrivere la proporzione, elenca le coppie di vertici in colonna — ci vogliono cinque secondi e si eliminano la maggior parte degli errori.
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Si dimostra la similitudine con un solo angolo uguale o con due lati proporzionali senza l'angolo.
Un angolo uguale non basta: due triangoli possono avere un angolo uguale pur avendo forme completamente diverse. Serve un criterio completo — due angoli, oppure due lati e l'angolo compreso, oppure tutti e tre i lati.
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Nel secondo criterio si prende un angolo che non giace tra i lati dati.
Il secondo criterio funziona solo con l'angolo tra i due lati dati. Se sono noti \(AB\), \(AC\) e l'angolo \(B\) è uguale, il criterio non è applicabile — cerca un'altra via: una coppia di angoli uguali o il terzo lato.
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Si inverte il rapporto di similitudine: si trova $k$ come «lato più piccolo / lato più grande», e poi si moltiplica per esso per ottenere il lato del triangolo più grande.
Decidi tu stesso la direzione: se \(k\) è il rapporto tra i lati del secondo triangolo e del primo, allora i lati del primo si moltiplicano per \(k\), e i lati del secondo si dividono per \(k\). La verifica finale in base al senso: il lato del triangolo più piccolo deve risultare più piccolo.
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Nel problema con una retta parallela a un lato, si imposta una proporzione tra i segmenti: $BM : MA = MN : AC$.
I triangoli simili sono \(BMN\) e \(BAC\), e i loro lati corrispondenti sono \(BM\) e \(BA\) (il lato intero dal vertice comune), non il segmento \(MA\). Prima trova \(BA = BM + MA\), e solo dopo imposta la proporzione.
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Si confonde la similitudine con l'uguaglianza e nella risposta si scrive che i lati sono semplicemente uguali.
L'uguaglianza è un caso particolare di similitudine con \(k = 1\). Se \(k \ne 1\), i triangoli hanno solo angoli uguali, mentre i lati differiscono di \(k\) volte. Anche i criteri sono diversi: per l'uguaglianza sono LAL, ALA, LLL con lati coincidenti, per la similitudine — lati proporzionali.
Domande e risposte
Quali triangoli sono chiamati simili?
Sono chiamati simili i triangoli i cui angoli sono rispettivamente uguali e i cui lati corrispondenti sono proporzionali. In parole povere, sono triangoli della stessa forma ma di dimensioni diverse. La similitudine si scrive con il segno ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Cos'è il rapporto di similitudine dei triangoli?
Il rapporto di similitudine \(k\) è un numero uguale al rapporto tra i lati corrispondenti di triangoli simili: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Indica quante volte un triangolo è più grande dell'altro. Con \(k = 1\) i triangoli sono uguali.
Quanti criteri di similitudine dei triangoli ci sono e quali sono?
Ci sono tre criteri. Il primo — per due angoli: due angoli di un triangolo sono uguali a due angoli dell'altro. Il secondo — per due lati e l'angolo compreso: due lati sono proporzionali e gli angoli tra essi sono uguali. Il terzo — per tre lati: tutte e tre le coppie di lati corrispondenti sono proporzionali.
Come stanno in rapporto le aree dei triangoli simili?
Le aree dei triangoli simili stanno in rapporto al quadrato del rapporto di similitudine: S₂ : S₁ = k². Ad esempio, con \(k = 4\) l'area è 16 volte più grande. Viceversa: se le aree stanno in rapporto 25 : 1, allora i lati stanno in rapporto 5 : 1.
Come stanno in rapporto i perimetri dei triangoli simili?
I perimetri stanno in rapporto al rapporto di similitudine: P₂ : P₁ = k. Allo stesso modo si comportano tutti gli elementi lineari — altezze, mediane, bisettrici, linee medie, raggi delle circonferenze inscritte e circoscritte.
In cosa differisce la similitudine dei triangoli dall'uguaglianza?
Nei triangoli uguali coincidono sia gli angoli che i lati, quindi le figure possono essere sovrapposte. Nei triangoli simili coincidono solo gli angoli, mentre i lati sono proporzionali con un rapporto \(k\). L'uguaglianza è un caso particolare di similitudine con \(k = 1\).
Come si dimostra la similitudine dei triangoli rettangoli?
Basta l'uguaglianza di un angolo acuto: gli angoli retti sono già uguali, quindi funziona il primo criterio. Secondo metodo — proporzionalità dei cateti: l'angolo tra i cateti è retto, quindi è applicabile il secondo criterio di similitudine.
Perché l'altezza dall'angolo retto genera tre triangoli simili?
L'altezza \(CH\) dal vertice dell'angolo retto \(C\) divide il triangolo \(ABC\) nei triangoli \(AHC\) e \(CHB\). \(AHC\) ha un angolo retto in \(H\) e l'angolo \(A\) in comune con \(ABC\), \(CHB\) ha un angolo retto in \(H\) e l'angolo \(B\) in comune, quindi entrambi sono simili all'originale, e di conseguenza tra loro. Da qui si ottengono le formule \(CH^2 = AH \cdot HB\), \(AC^2 = AH \cdot AB\) e \(BC^2 = HB \cdot AB\).
In quale classe si studia la similitudine dei triangoli?
In classe 8 durante le lezioni di geometria — subito dopo l'argomento sui segmenti proporzionali. Lì si studiano anche i tre criteri di similitudine, il rapporto tra le aree e l'applicazione della similitudine ai triangoli rettangoli. Successivamente, l'argomento viene utilizzato in classe 9 e nei problemi OGE.
