Il teorema del coseno collega i tre lati di un triangolo e uno dei suoi angoli: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Funziona in qualsiasi triangolo, quindi in 9ª classe è proprio questo teorema a sostituire il teorema di Pitagora dove non c'è un angolo retto. Permette di trovare il terzo lato se si conoscono gli altri due e l'angolo compreso, e tramite il corollario \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) — qualsiasi angolo date tre lati e il tipo di triangolo. Nella pagina — la formulazione e tutte e tre le forme della formula, la dimostrazione, la tabella dei coseni, il promemoria "seni o coseni", l'analisi di problemi OGE e un simulatore per l'autoverifica.
Teorema del coseno: formulazione e formula
Il teorema del coseno funziona in qualsiasi triangolo — non ha bisogno di un angolo retto. Collega tre lati e un angolo, quindi permette di trovare un lato se si conoscono gli altri due lati e l'angolo compreso.
Formulazione. Il quadrato di un lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio prodotto di questi lati per il coseno dell'angolo compreso tra essi.
Qui \(a\), \(b\), \(c\) sono i lati del triangolo, e \(C\) è l'angolo tra i lati \(a\) e \(b\); il lato \(c\) si trova opposto a questo angolo. Le lettere possono essere scelte liberamente — la formula è simmetrica, quindi ha tre formulazioni equivalenti:
La regola principale di sostituzione: prendiamo l'angolo che è compreso tra i due lati del prodotto, e troviamo il lato opposto ad esso. Se si prende un angolo "adiacente", tutti i numeri saranno presi dalle condizioni del problema, e la risposta — errata.
Perché il teorema di Pitagora è un caso particolare del teorema del coseno
Sostituiamo nella formula un angolo retto, cioè \(C = 90°\). Il coseno di un angolo retto è zero, quindi il terzo termine si annulla completamente:
Si ottiene esattamente il teorema di Pitagora, noto dall'8ª classe. Per questo il teorema del coseno è chiamato la sua generalizzazione: Pitagora è un "caso particolare per 90°", mentre il teorema del coseno funziona per tutti gli angoli.
Il termine \(-2ab\cos C\) è utile da intendere come un correttivo per l'angolo non retto:
- l'angolo è acuto, \(\cos C > 0\) — il correttivo viene sottratto, il lato \(c\) risulta più corto di quanto darebbe Pitagora;
- l'angolo è retto, \(\cos C = 0\) — nessun correttivo, rimane \(c^2 = a^2 + b^2\);
- l'angolo è ottuso, \(\cos C < 0\) — il correttivo viene aggiunto, il lato \(c\) risulta più lungo.
Dimostrazione del teorema del coseno
La dimostrazione scolastica più breve è quella con le coordinate. Posizioniamo il vertice \(C\) nell'origine e il lato \(b = CA\) lungo l'asse x. Allora le coordinate dei vertici sono:
- \(C(0;\ 0)\) — origine;
- \(A(b;\ 0)\) — punto sull'asse x a distanza \(b\) dall'origine;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — vertice a distanza \(a\) dall'origine con un angolo \(C\) rispetto all'asse x.
Il lato \(c\) è la lunghezza del segmento \(AB\). La calcoliamo con la formula della distanza tra due punti:
Sviluppiamo i quadrati:
Raggruppiamo i termini con \(a^2\) e applichiamo l'identità trigonometrica fondamentale \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Come volevasi dimostrare. Nota: non è stato necessario che l'angolo \(C\) fosse acuto. Se è ottuso, il coseno è negativo, la coordinata \(a\cos C\) si sposta a sinistra dell'asse y, ma tutti i calcoli rimangono gli stessi — quindi il teorema è valido per qualsiasi triangolo.
Corollario: come trovare un angolo date tre lati
Dal teorema del coseno si ricava il coseno stesso — questo è il suo corollario principale. Permette di trovare l'angolo quando si conoscono tutti e tre i lati:
Al numeratore — la somma dei quadrati dei due lati adiacenti all'angolo, meno il quadrato del lato opposto. Al denominatore — il doppio prodotto dei lati adiacenti. Per gli altri angoli le formule sono le stesse:
Ordine di risoluzione:
- scegliere l'angolo cercato e determinare quale lato gli è opposto — il suo quadrato va al numeratore con segno meno;
- calcolare la frazione (il denominatore è sempre positivo, il segno è dato solo dal numeratore);
- tramite la tabella dei valori o l'arcocoseno trovare l'angolo stesso.
Un trucco utile: iniziare dal lato maggiore. Il lato maggiore ha opposto l'angolo maggiore, e solo questo può essere retto o ottuso — gli altri due angoli in un triangolo sono sempre acuti.
Coseni degli angoli ottusi: tabella dei valori
Nei problemi scolastici gli angoli sono quasi sempre "tabulari": 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Per gli angoli acuti il coseno è positivo, per l'angolo retto è zero, e per gli angoli ottusi — negativo. I valori per gli angoli ottusi si ottengono dai valori per gli angoli acuti tramite la regola di riduzione \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): ad esempio, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Cosa significa in pratica: per un angolo ottuso, l'espressione \(-2ab\cos C\) diventa un più — meno per meno. Per l'angolo di \(120°\) la formula è:
È proprio qui che si perdono punti più spesso: si sostituisce \(0{,}5\) invece di \(-0{,}5\) e si ottiene un lato più corto di entrambi quelli dati. Questo è palesemente impossibile — il lato opposto a un angolo ottuso è il lato più lungo del triangolo.
| Angolo | Coseno |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Come determinare il tipo di triangolo date tre lati
Il teorema del coseno permette di conoscere il tipo di triangolo senza misurare gli angoli con il goniometro. Il segno della frazione \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) dipende solo dal numeratore: il denominatore \(2ab\) è sempre positivo. Quindi, basta confrontare il quadrato del lato maggiore con la somma dei quadrati degli altri due.
Sia \(c\) il lato maggiore, allora l'angolo \(C\) opposto è il maggiore:
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → l'angolo \(C\) è acuto. Gli altri angoli sono minori di esso, quindi tutti e tre gli angoli sono acuti — il triangolo è acutangolo;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — il triangolo è rettangolo (questo è il teorema di Pitagora inverso);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → l'angolo \(C\) è ottuso — il triangolo è ottusangolo.
Non è necessario controllare gli altri angoli: in un triangolo c'è solo un angolo retto o ottuso. E non dimenticare la disuguaglianza triangolare: se il lato maggiore non è minore della somma degli altri due, un triangolo con tali lati non esiste affatto.
Teorema dei seni o del coseno: come scegliere
Entrambi i teoremi risolvono lo stesso problema — trovare lati e angoli sconosciuti di un triangolo — ma si attivano con diversi set di dati. Il teorema dei seni collega un lato e l'angolo a esso opposto:
Da qui la regola di scelta: se nelle condizioni del problema è già presente una coppia "lato e angolo opposto" — si applica il teorema dei seni; se tale coppia manca — si inizia con il teorema del coseno. Il promemoria per i quattro set di dati scolastici è nella tabella.
Spesso un problema si risolve in due passaggi: prima il teorema del coseno dà il terzo lato, e poi il teorema dei seni trova rapidamente gli angoli rimanenti.
| Cosa è noto | Cosa si applica |
|---|---|
| LALDue lati e l'angolo compreso | Teorema del cosenosi trova il terzo lato |
| LLLTutti e tre i lati | Teorema del cosenosi trova qualsiasi angolo e il tipo di triangolo |
| ALAUn lato e due angoli | Teorema dei senisi trovano gli altri due lati |
| LLADue lati e l'angolo opposto a uno di essi | Teorema dei senisi trova l'angolo opposto |
Teorema del coseno nei problemi OGE
Nell'esame OGE di matematica, il teorema del coseno compare nei problemi di geometria piana — sia nella prima parte che nei problemi con risposta estesa. I temi tipici sono:
- Trovare un lato date due lati e l'angolo compreso — applicazione diretta della formula, più spesso con angoli di 60° o 120°.
- Trovare un angolo o il suo coseno date tre lati — corollario \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Se nel problema è scritto "trova \(\cos\angle A\)", non è necessario calcolare l'arcocoseno: la risposta è proprio quella frazione, che va scritta.
- Diagonali di un parallelogramma. Una diagonale divide il parallelogramma in due triangoli, con due lati e l'angolo compreso noti. Gli angoli adiacenti di un parallelogramma sommano a 180°, quindi i loro coseni sono opposti: contro l'angolo acuto si trova la diagonale minore, contro l'angolo ottuso — quella maggiore.
- Tipo di triangolo date tre lunghezze — confronto tra \(a^2 + b^2\) e \(c^2\).
- Mediana di un triangolo. La formula \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) si ricava applicando due volte il teorema del coseno ai due angoli adiacenti alla base.
Consiglio per l'esame: prima di calcolare, segna sul disegno l'angolo "compreso" tra i lati noti. Se tale angolo non c'è — il teorema del coseno non è ancora applicabile, devi cercare un'altra strada.
Esempi di risoluzione di problemi sul teorema del coseno
Esempio 1. Trovare un lato date due lati e un angolo di 60°
Problema. In un triangolo \(ABC\), i lati \(a = 7\) e \(b = 15\), l'angolo compreso \(C = 60°\). Trova il lato \(c\).
Passaggio 1. L'angolo \(C\) è compreso tra i lati \(a\) e \(b\) — questo è esattamente il caso per cui il teorema è stato ideato:
Passaggio 2. Sostituiamo i numeri, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Passaggio 3. Estraiamo la radice: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Risposta: \(13\). Verifica per senso logico: l'angolo di \(60°\) è acuto, quindi il lato opposto non è il più lungo — ed è vero, \(13 < 15\).
Esempio 2. Angolo ottuso: meno per meno
Problema. In un triangolo \(ABC\) è noto: \(AB = 6\), \(BC = 10\), angolo \(B = 120°\). Trova il lato \(AC\).
Passaggio 1. L'angolo \(B\) è compreso tra i lati \(AB\) e \(BC\), e il lato \(AC\) gli è opposto:
Passaggio 2. L'angolo è ottuso, quindi \(\cos 120° = -0{,}5\). Il meno davanti al prodotto e il meno del coseno danno un più:
Passaggio 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Risposta: \(14\). Verifica: contro l'angolo ottuso si trova il lato più lungo — \(14\) è maggiore sia di \(6\) che di \(10\).
Esempio 3. Trovare un angolo date tre lati
Problema. I lati di un triangolo misurano \(3\), \(5\) e \(7\). Trova il suo angolo maggiore.
Passaggio 1. L'angolo maggiore si trova opposto al lato maggiore, cioè opposto al lato \(7\). Chiamiamolo \(C\), allora \(c = 7\), e i lati adiacenti \(a = 3\) e \(b = 5\).
Passaggio 2. Applichiamo il corollario:
Passaggio 3. Il coseno è negativo — l'angolo è ottuso. Dalla tabella dei valori \(\cos 120° = -0{,}5\), quindi \(C = 120°\).
Risposta: \(120°\). Tra l'altro, si è scoperto che il triangolo è ottusangolo.
Esempio 4. Determinare il tipo di triangolo
Problema. Determina il tipo di triangolo con lati \(6\), \(7\) e \(10\).
Passaggio 1. Verifichiamo la disuguaglianza triangolare: \(6 + 7 = 13 > 10\) — il triangolo esiste. Il lato maggiore è \(10\).
Passaggio 2. Confrontiamo la somma dei quadrati dei due lati minori con il quadrato del lato maggiore:
Passaggio 3. \(85 < 100\), quindi il numeratore della frazione è negativo e \(\cos C < 0\) — l'angolo opposto al lato \(10\) è ottuso. Se si vuole, si può trovare anche l'angolo stesso:
Risposta: il triangolo è ottusangolo. Nota: a occhio non si vede — i lati sono quasi uguali, ma l'angolo ha già superato i \(90°\).
Esempio 5. Problema di livello OGE: diagonale di un parallelogramma
Problema. I lati di un parallelogramma misurano \(5\) e \(8\), l'angolo acuto è \(60°\). Trova la diagonale minore.
Passaggio 1. La diagonale divide il parallelogramma in un triangolo in cui sono noti due lati (\(5\) e \(8\)) e l'angolo compreso. La diagonale minore si trova opposta all'angolo acuto di \(60°\).
Passaggio 2. Calcoliamo:
Passaggio 3. Verifica. L'altra diagonale si trova opposta all'angolo di \(120°\) (gli angoli adiacenti di un parallelogramma sommano a \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), quindi \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). La somma dei quadrati delle diagonali è \(49 + 129 = 178\), e il doppio della somma dei quadrati dei lati è \(2(25 + 64) = 178\). Coincide, quindi il calcolo è corretto.
Risposta: \(7\).
Errori comuni nei problemi sul teorema del coseno
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Si prende il coseno di un angolo ottuso con segno positivo. Per i lati $4$ e $9$ con angolo di $120°$ compreso, si scrive $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ e si ottiene $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), e meno per meno dà più: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), quindi \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Verifica rapida: contro l'angolo ottuso si trova il lato più lungo, quindi la risposta deve essere maggiore di \(9\).
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Si sostituisce un angolo che non è compreso tra i lati dati: nelle condizioni del problema è dato un angolo, e lo si prende "così com'è", senza guardare il disegno.
Nella formula \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\), i lati \(a\) e \(b\) formano l'angolo \(C\), e il lato \(c\) gli è opposto. Se l'angolo noto è adiacente al lato cercato, questa formula non è adatta — serve una delle altre due o il teorema dei seni.
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Si dimentica di estrarre la radice e si scrive il quadrato del lato come risposta: si ottiene $c^2 = 225$ e si scrive "il lato misura 225".
La formula dà sempre il quadrato del lato. L'ultimo passaggio è obbligatorio: \(c = \sqrt{225} = 15\). Rileggi la domanda del problema prima di scrivere la risposta.
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Si confonde l'ordine dei termini nel corollario e si scrive $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Il numeratore corretto è \(a^2 + b^2 - c^2\): somma dei quadrati dei lati adiacenti meno il quadrato del lato opposto. Se si scambiano i termini, il segno della frazione cambia in opposto, e invece di un angolo ottuso di \(120°\) si ottiene un angolo acuto di \(60°\).
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Si trova l'angolo usando il modulo del coseno: si ottiene −0,25, e si scrive come risposta un angolo acuto, come se il coseno fosse +0,25.
Un coseno negativo corrisponde sempre a un angolo ottuso. Non si deve perdere il segno: cos 60° = 0,5, mentre cos 120° = −0,5; l'arcocoseno di un numero negativo è maggiore di 90°.
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Si cerca di risolvere un problema "due lati e angolo compreso" con il teorema dei seni e ci si blocca alla prima riga.
Il teorema dei seni richiede una coppia già pronta "lato e angolo opposto". Con due lati e l'angolo compreso tale coppia non c'è — prima il teorema del coseno dà il terzo lato, e solo dopo interviene il teorema dei seni.
Domande e risposte
Come suona il teorema del coseno?
Il quadrato di un lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio prodotto di questi lati per il coseno dell'angolo compreso tra essi: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Il teorema è valido per qualsiasi triangolo, non solo per quelli rettangoli.
Come trovare un lato di un triangolo date due lati e l'angolo compreso?
Sostituire i dati nella formula c² = a² + b² − 2ab·cos C ed estrarre la radice. Ad esempio, con lati 4 e 6 e angolo di 60° compreso: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, quindi c = √28 ≈ 5,3.
Come trovare un angolo di un triangolo se si conoscono tre lati?
Tramite il corollario del teorema del coseno: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), dove c è il lato opposto all'angolo cercato. Ad esempio, per i lati 2, 3 e 4, il coseno dell'angolo maggiore è (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, cioè l'angolo è ottuso, circa 104°.
Perché il teorema di Pitagora è un caso particolare del teorema del coseno?
Perché con un angolo retto cos 90° = 0, e il termine −2ab·cos C si annulla. Dalla formula rimane c² = a² + b² — questo è il teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo.
Il teorema del coseno funziona in un triangolo ottusangolo?
Sì, e funziona senza modifiche. Un angolo ottuso ha coseno negativo, quindi il termine −2ab·cos C diventa positivo e viene aggiunto alla somma dei quadrati. È proprio per questo che il lato opposto all'angolo ottuso risulta essere il più lungo.
Quando applicare il teorema dei seni e quando il teorema del coseno?
Il teorema dei seni è necessario quando nelle condizioni del problema è già presente una coppia "lato e angolo opposto" — ad esempio, sono dati un lato e due angoli. Il teorema del coseno si usa quando tale coppia manca: sono dati due lati e l'angolo compreso, o tutti e tre i lati. Spesso un problema si risolve in due passaggi: prima il coseno, poi i seni.
Come determinare il tipo di triangolo date tre lati?
Confrontare il quadrato del lato maggiore c² con la somma dei quadrati degli altri due. Se a² + b² > c² — il triangolo è acutangolo, se a² + b² = c² — rettangolo, se a² + b² < c² — ottusangolo. Il segno di questa differenza coincide con il segno del coseno dell'angolo maggiore.
In quale classe si studia il teorema del coseno?
In 9ª classe durante le lezioni di geometria, nel tema "Relazioni tra lati e angoli di un triangolo" — insieme al teorema dei seni. Successivamente viene utilizzato costantemente nei problemi OGE ed EGE di geometria piana e in stereometria.
