A négyzetes egyenlet az \(ax^2 + bx + c = 0\) alakú egyenlet, ahol \(a \neq 0\). A gyökök számát a \(D = b^2 - 4ac\) diszkrimináns határozza meg, magukat a gyököket pedig az \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) képlettel kapjuk meg. Ezen az oldalon mindent megtalálsz a témában: standard alak és együtthatók, hiányos egyenletek három típusa, a diszkrimináns és a három eset, a gyökök képlete és annak „páros” változata, redukált egyenlet és Vieta-formulák, szorzattá alakítás és bikvadratikus egyenletek – lépésről lépésre haladó példákkal, gyakori hibák elemzésével és interaktív gyakorlóval.
Mi az a négyzetes egyenlet?
A négyzetes egyenlet az
$\(ax^2 + bx + c = 0\)$
alakú egyenlet, ahol \(x\) az ismeretlen, \(a\), \(b\), \(c\) pedig számok (együtthatók), és \(a \neq 0\). Ezt a felírást standard alaknak nevezzük: bal oldalon a tagok csökkenő hatvány szerint követik egymást, jobb oldalon pedig nulla áll.
Az \(a \neq 0\) feltétel nem formalitás. Az \(ax^2\) tag teszi az egyenletet négyzetessé: ha \(a = 0\), akkor \(bx + c = 0\) marad, ami egy közönséges lineáris egyenlet egy gyökkel. Ezért paraméteres feladatoknál először mindig ellenőrzik, hogy a legmagasabb fokú együttható nem nulla-e.
Az egyenletet szinte mindig át lehet alakítani standard alakra: zárójelek felbontása, minden tag átrendezése a bal oldalra és hasonló tagok összevonása. Például az \(5x^2 = 3x - 2\) átrendezés után \(5x^2 - 3x + 2 = 0\) lesz, amiből \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). A „kvadratikus egyenlet” szó pontosan ugyanazt jelenti – ez csak egy másik elnevezés.
Teljes és hiányos négyzetes egyenletek
Ha mindhárom együttható nullától különböző, az egyenletet teljesnek nevezzük. Ha \(b\) vagy \(c\) (vagy mindkettő) nulla – hiányos. Pontosan háromféle hiányos egyenlet létezik, és egyik sem igényel diszkriminánst: mindegyik egy-két sor alatt megoldható, és ez a leggyorsabb módja az időmegtakarításnak egy dolgozaton.
A kulcsfontosságú ötlet az \(ax^2 + bx = 0\) esetében a közös tényező kiemelése. Az \(x(ax + b)\) szorzat akkor és csak akkor nulla, ha legalább az egyik tényező nulla, innen azonnal megkapjuk a két gyököt. Az \(ax^2 + c = 0\) esetében más az ötlet: kifejezzük \(x^2\)-et, és megnézzük a kapott szám előjelét – egy valós szám négyzete nem lehet negatív.
| Egyenlet típusa | Hogyan oldjuk meg |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Vigyük át c-t jobbra, és osszuk el a-val: x2 = −c/a. Vonjunk gyököt, de ne felejtsük el a másik előjelet.x = 5 és x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Emeljünk ki x-et: x(ax + b) = 0. A szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényező nulla.x = 0 és x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Osszuk el a-val, és vonjunk gyököt nullából. A gyök mindig pontosan egy.x = 0 |
Diszkrimináns: hogyan számoljuk ki és hány gyöke lesz
A diszkrimináns egy olyan szám, amit a teljes egyenlet együtthatóiból számolunk ki:
Maga a szó azt jelenti, hogy „megkülönböztető”: a diszkrimináns nem old meg semmit, csak három helyzetet különböztet meg – két gyök van, egy gyök van, vagy egyáltalán nincs gyök. Ezért a „hány gyöke van az egyenletnek” kérdésre a gyökök kiszámítása nélkül is válaszolhatunk.
Számoljuk ki \(D\)-t pontosan: \(b^2\) mindig pozitív, még akkor is, ha maga \(b\) negatív, az \(a\) és \(c\) előjelei pedig úgy vesznek részt a \(4ac\) szorzatban, ahogy vannak. Vegyük az \(x^2 + 4x - 5 = 0\) egyenletet: itt \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), tehát \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). A diszkrimináns pozitív, és két gyök lesz.
Négyzetes egyenlet gyökeinek képlete
Ha \(D \ge 0\), a gyököket a téma fő képletével kapjuk meg:
A \(\pm\) jel két számítást jelent: egyszer összeadással, másszor kivonással. Ha \(D = 0\), mindkét számítás ugyanazt az eredményt adja \(x = -\dfrac{b}{2a}\) – ezt a gyököt kétszeres gyöknek nevezzük.
Két helyen hibáznak leggyakrabban: a számlálóban a \(b\) előtti mínusz áll (ha \(b = -7\), akkor ez \(+7\)), a nevezőben pedig \(2a\), nem csak 2. Ha \(a = 1\), nem látszik a különbség, ezért a hiba pont ott jön elő, ahol a legmagasabb fokú együttható eltér az egytől.
Oldjuk meg a \(2x^2 - 9x - 5 = 0\) egyenletet: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), tehát \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) és \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Páros második együttható: képlet D₁-gyel
Ha \(b\) páros szám, célszerű \(b = 2k\) alakban felírni, és kiszámolni a „csökkentett” diszkriminánst:
A számítások során szereplő számok négyszer kisebbek lesznek (\(D = 4D_1\)), és a \(D_1\) előjele ugyanaz, mint \(D\)-é – ez azt jelenti, hogy a gyökök számáról szóló következtetés nem változik.
Példa: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Itt \(b = 8\), tehát \(k = 4\), és \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Ekkor \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) és \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). A szokásos képlettel \(D = 100\) lett volna – az eredmény ugyanaz, de több aritmetikai műveletet kellett volna végezni.
Redukált egyenlet és Vieta-formulák
Az \(a = 1\) együtthatójú egyenletet redukáltnak nevezzük, és \(x^2 + px + q = 0\) alakban írjuk fel. Bármelyik négyzetes egyenlet redukálttá alakítható az \(a\)-val való osztással: például a \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) egyenlet 4-gyel osztva \(x^2 - 3x + 2 = 0\) lesz.
A redukált alak azért értékes, mert rá érvényesek a Vieta-formulák: a gyökök összege \(-p\), a szorzatuk pedig \(q\). Az \(x^2 - 7x + 10 = 0\) egyenlethez két olyan szám kell, amelyek összege 7, szorzata pedig 10 – ezek a 2 és az 5, és nem kellett diszkriminánst számolni.
A Vieta-formulák szerinti próbálgatás akkor hasznos, ha a gyökök egész számok és kicsik, továbbá ellenőrzi a diszkriminánssal kapott választ: az összegnek \(-p\)-t, a szorzatnak \(q\)-t kell adnia. A képletek az általános alakra, a fordított tételre és a próbálgatás algoritmusára egy külön anyagban találhatóak – Vieta-formulák.
Másodfokú polinom szorzattá alakítása
Ha az \(x_1\) és \(x_2\) gyököket megtaláltuk, a másodfokú polinomot szorzattá alakíthatjuk:
Az \(a\) tényezőt nem szabad elfelejteni – nélküle az egyenlőség nem lesz helyes. Az átalakítás ellenőrzése mindig egyszerű: bontsuk fel a zárójeleket, és hasonlítsuk össze az eredeti polinommal. Például az \(x^2 + 2x - 8\) gyökei 2 és \(-4\), ezért \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
A fordított irány is működik: ha a polinomot sikerült fejben szorzattá alakítani, a gyökök azonnal láthatóak, és nincs szükség diszkriminánsra. Itt a négyzetre emelés képletei segítenek – például az \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) azonnal adja a \(4\) és \(-4\) gyököket.
A harmadik módszer a gyökök képletének elkerülésére a teljes négyzet kiemelése. Az \(x^2 + 6x + 5 = 0\) egyenletben az első két tagot kiegészítjük egy binomiális négyzetté: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), ami azt jelenti, hogy \((x + 3)^2 = 4\), ahonnan \(x + 3 = \pm 2\), és \(x = -1\) vagy \(x = -5\). Pontosan ezzel a módszerrel vezetjük le általános alakban a gyökök képletét.
Négyzetesre redukálható egyenletek: bikvadratikus egyenletek
A bikvadratikus egyenlet \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) alakú: csak páros kitevők szerepelnek. Megoldása \(t = x^2\) helyettesítéssel történik, azzal a feltétellel, hogy \(t \ge 0\) – egy valós szám négyzete nem lehet negatív.
A helyettesítés után egy közönséges négyzetes egyenletet kapunk: \(at^2 + bt + c = 0\). Ezt diszkriminánssal oldjuk meg, majd minden nemnegatív \(t\) gyökre visszaállunk az \(x = \pm\sqrt{t}\) összefüggésre. Innen ered a gyökök száma: legfeljebb négy.
Például az \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) egyenlet a \(t = x^2\) helyettesítés után \(t^2 - 5t + 4 = 0\) egyenletet adja, amelynek gyökei \(t = 1\) és \(t = 4\). Mindkettő pozitív, ezért \(x = \pm 1\) és \(x = \pm 2\) – összesen négy gyök. Ha valamelyik \(t\) negatív lett volna, azt egyszerűen elvetettük volna.
Ugyanezzel a módszerrel oldjuk meg a törtes-racionális egyenleteket (miután közös nevezőre hoztuk és elvetettük a tiltott értékeket), valamint a \(t = x^2 + 3x\) típusú helyettesítésekkel megoldható egyenleteket.
Négyzetes egyenletek megoldási példái
1. példa. Teljes egyenlet, D > 0
Oldjuk meg a \(3x^2 - 7x + 2 = 0\) egyenletet.
1. lépés. Az egyenlet már standard alakban van: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
2. lépés. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) – két gyök lesz.
3. lépés. \(\sqrt{D} = 5\), tehát \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
4. lépés. Ellenőrzés behelyettesítéssel. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Válasz: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
2. példa. Diszkrimináns nulla
Oldjuk meg a \(4x^2 - 12x + 9 = 0\) egyenletet.
1. lépés. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
2. lépés. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) – egy gyök van.
3. lépés. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
4. lépés. Ellenőrzés. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Válasz: \(x = 1{,}5\). Figyeld meg: a bal oldal egy teljes négyzet \((2x - 3)^2\), ezért lett a gyök egyetlen.
3. példa. Negatív diszkrimináns
Oldjuk meg a \(2x^2 + 3x + 5 = 0\) egyenletet.
1. lépés. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
2. lépés. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
3. lépés. A diszkrimináns negatív, tehát nem vonható \(\sqrt{D}\) valós számok körében. A gyökök képletét nem kell alkalmazni – a megoldás itt véget ér.
Válasz: nincsenek valós gyökök. Ez egy teljes értékű válasz, nem pedig hiba jele: a \(y = 2x^2 + 3x + 5\) függvény grafikonja egyszerűen nem metszi az x-tengelyt.
4. példa. Hiányos egyenlet ax² + c = 0 alakban
Oldjuk meg a \(3x^2 - 27 = 0\) egyenletet.
1. lépés. Átrendezzük a szabad tagot: \(3x^2 = 27\).
2. lépés. Osztunk 3-mal: \(x^2 = 9\).
3. lépés. A négyzet 9 mindkét számnál: \(x = 3\) és \(x = -3\). A második előjelet veszítik el leggyakrabban.
4. lépés. Ellenőrzés. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Válasz: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Hasonlítsd össze a \(2x^2 + 8 = 0\) egyenlettel: ott \(x^2 = -4\), és nincsenek valós gyökök.
5. példa. Hiányos egyenlet ax² + bx = 0 alakban
Oldjuk meg a \(5x^2 - 15x = 0\) egyenletet.
1. lépés. Kiemeljük a közös tényezőt: \(5x(x - 3) = 0\).
2. lépés. A szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényező nulla: \(5x = 0\) vagy \(x - 3 = 0\).
3. lépés. Ebből \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
4. lépés. Ellenőrzés. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Válasz: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Ha az eredeti egyenletet elosztjuk \(x\)-szel, csak \(x = 3\) marad – az \(x = 0\) gyök elveszik. Nem szabad ismeretlent tartalmazó kifejezéssel osztani.
6. példa. Páros második együttható
Oldjuk meg az \(5x^2 - 22x + 8 = 0\) egyenletet.
1. lépés. \(b = -22\) páros, tehát \(k = -11\), és \(a = 5\), \(c = 8\).
2. lépés. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
3. lépés. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
4. lépés. Ellenőrzés. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Válasz: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). A szokásos diszkrimináns \(D = 324\) lett volna – ugyanaz az eredmény, de tovább tartott volna a számolás.
7. példa. Először alakítsuk standard alakra
Oldjuk meg a \((x - 3)(x + 5) = 9\) egyenletet.
1. lépés. Bontsuk fel a zárójeleket: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), azaz \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
2. lépés. Vigyük át a kilencest balra: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Csak most írhatjuk ki az együtthatókat: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
3. lépés. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
4. lépés. Ellenőrzés az eredeti egyenletben. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Válasz: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Gyakori hiba itt, ha minden zárójelet 9-cel egyenlítünk ki: a „szorzat nulla” szabály csak nullára működik.
8. példa. Polinom szorzattá alakítása
Alakítsuk szorzattá a \(2x^2 - 5x - 3\) polinomot.
1. lépés. Egyenlősítsük a polinomot nullával, és keressük meg a gyököket: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
2. lépés. Helyettesítsük be az \(a(x - x_1)(x - x_2)\) képletbe: \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
3. lépés. A kettest célszerű a második zárójelbe vinni: \((x - 3)(2x + 1)\).
4. lépés. Ellenőrzés zárójelek felbontásával. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Válasz: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
9. példa. Bikvadratikus egyenlet
Oldjuk meg az \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\) egyenletet.
1. lépés. Helyettesítés \(t = x^2\), ahol \(t \ge 0\). Az egyenlet \(t^2 - 13t + 36 = 0\) alakra alakul.
2. lépés. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
3. lépés. Mindkét érték nemnegatív, ezért térjünk vissza \(x\)-hez: az \(x^2 = 9\) egyenletből \(x = \pm 3\), az \(x^2 = 4\) egyenletből pedig \(x = \pm 2\) adódik.
4. lépés. Ellenőrzés. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). A negatív értékeknél a páros kitevők ugyanazokat a számokat adják.
Válasz: \(x = \pm 2\) és \(x = \pm 3\) – négy gyök.
Gyakori hibák négyzetes egyenletek megoldásakor
-
A diszkriminánst anélkül számolják ki, hogy az egyenletet standard alakra hozták volna: a $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ egyenletre rögtön $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$ értéket vesznek.
Először mindent átrendezünk balra és összevonjuk a hasonló tagokat: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), azaz \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Csak ebből \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). A gyökök képlete csak standard alakkal működik.
-
Elfelejtik az előjelet $b$ négyzetre emelésekor: az $x^2 + 5x - 6 = 0$ egyenletre $D = -81 - 56$ írnak.
Bármely szám négyzete nemnegatív: \((-9)^2 = 81\), nem \(-81\). Helyesen \(D = 81 - 56 = 25\), a gyökök \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), azaz 7 és 2. Ellenőrzés: \(49 - 63 + 14 = 0\) és \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
A számlálóban $b$ helyett $-b$ marad: az $x^2 + 5x - 6 = 0$ egyenletre $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$ számolnak.
A képletben \(-b\) áll, ezért ha \(b = 5\), a számlálóban \(-5\) lesz: \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), ahonnan \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Behelyettesítés igazolja: \(1 + 5 - 6 = 0\) és \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
Ha $D = 0$, azt írják, hogy „nincsenek gyökök”: az $x^2 + 14x + 49 = 0$ egyenlet diszkriminánsa nulla, és a megoldást itt befejezik.
Csak \(D < 0\) esetén nincsenek gyökök. Ha \(D = 0\), pontosan egy gyök van: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Ellenőrzés: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
A $4x^2 - 9x = 0$ egyenletet $x$-szel osztják, és egyetlen gyököt kapnak: $x = 2{,}25$.
Nem szabad ismeretlent tartalmazó kifejezéssel osztani: \(x\) lehet nulla, és így elveszik a \(x = 0\) gyök. Helyesen ki kell emelni a tényezőt: \(x(4x - 9) = 0\), ahonnan \(x_1 = 0\) és \(x_2 = 2{,}25\). Ellenőrzés: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
Az $x^2 = 16$ egyenletnél csak $x = 4$-et írnak.
A négyzet 16 mind a 4, mind a -4 számnál. Mindkét gyököt fel kell írni: \(x = \pm 4\). Biztosabb standard alakra hozva megoldani \(x^2 - 16 = 0\), azaz \((x - 4)(x + 4) = 0\) – így mindkét tényező azonnal látható.
-
Nem ellenőrzik az $a \neq 0$ feltételt egy paraméteres egyenletnél: a $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ egyenletnél rögtön kiszámolják a diszkriminánst.
Ha \(m = 2\), a legmagasabb fokú együttható nulla lesz, és az egyenlet lineárissá válik: \(3x - 1 = 0\) egyetlen gyökkel \(x = \dfrac{1}{3}\). Az \(m = 2\) esetet külön vizsgálják, a gyökök képletét pedig csak \(m \neq 2\) esetén alkalmazzák.
Kérdések és válaszok
Mi az a négyzetes egyenlet?
Ez az \(ax^2 + bx + c = 0\) alakú egyenlet, ahol \(a\), \(b\), \(c\) számok és \(a \neq 0\). Az ismeretlen a második hatványon szerepel benne, ezért lehet két, egy vagy egyáltalán nem is lehet gyöke.
Hogyan néz ki a négyzetes egyenlet standard alakja?
A standard (általános) alak az \(ax^2 + bx + c = 0\): minden tag balra van gyűjtve, csökkenő hatvány szerint, jobb oldalon pedig nulla áll. Bármelyik négyzetes egyenletet erre alakítjuk át a diszkrimináns kiszámítása előtt.
Hogyan számoljuk ki a diszkriminánst?
A \(D = b^2 - 4ac\) képlettel, behelyettesítve az együtthatókat az előjeleikkel együtt. Például az \(x^2 + 3x - 10 = 0\) egyenletre \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), a gyökök pedig \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), azaz 2 és \(-5\).
Mi a négyzetes egyenlet gyökeinek képlete?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), vagy rövidebben \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Akkor alkalmazzuk, ha \(D \ge 0\); a nevezőben pontosan \(2a\) áll, nem csak 2.
Hány gyöke lehet egy négyzetes egyenletnek?
Legfeljebb kettő. Ha \(D > 0\), két gyök van, ha \(D = 0\), egy gyök (kétszeres), ha \(D < 0\), nincsenek valós gyökök.
Mi az a hiányos négyzetes egyenlet?
Ez az az egyenlet, amelyben \(b = 0\), \(c = 0\), vagy mindkettő: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Mindhárom diszkrimináns nélkül megoldható – a tag átrendezésével vagy az \(x\) kiemelésével.
Hogyan oldjunk meg négyzetes egyenleteket diszkrimináns nélkül?
Három út létezik: gyökök próbálgatása Vieta-formulákkal a redukált egyenletre, szorzattá alakítás és teljes négyzet kiemelése. A leggyorsabb a próbálgatás, ha a gyökök kicsi egész számok.
Mi a teendő, ha a diszkrimináns negatív?
Írjuk le, hogy nincsenek valós gyökök, és fejezzük be a megoldást. A negatív diszkrimináns normális válasz: a hozzá tartozó parabola grafikonja nem metszi az x-tengelyt. Ilyenkor a gyökök csak a komplex számok körében léteznek, de ezeket később tanuljuk.
Hogyan ellenőrizzük a talált gyököket?
Helyettesítsük be minden gyököt az eredeti egyenletbe – helyes egyenlőségnek kell keletkeznie. A redukált egyenletnél van egy gyors ellenőrzés Vieta-formulákkal: a gyökök összege \(-p\), a szorzatuk \(q\).
A négyzetes és a kvadratikus egyenlet ugyanazt jelenti?
Igen, ez két elnevezése ugyanannak az \(ax^2 + bx + c = 0\) objektumnak. Ne keverd össze a kvadratikus függvénnyel, az \(y = ax^2 + bx + c\) -vel: az egyenlet gyökei éppen azok az x-koordináták, ahol a függvény grafikonja metszi az x-tengelyt.
Melyik osztályban tanítják a négyzetes egyenleteket?
A 8. osztályban algebrából: először a hiányos egyenleteket, majd a diszkriminánst, a gyökök képletét és a Vieta-formulákat. Később a téma a kvadratikus függvénynél, egyenlőtlenségeknél, az OKR és az Érettségi feladataiban jelenik meg.
