A számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben minden következő tag az előzőnél ugyanazzal a \(d\) számmal (a sorozat differenciájával) nagyobb. Bármely tagja az \(a_n = a_1 + (n-1)d\) képlettel, az első \(n\) tag összege pedig az \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) képlettel határozható meg. Ezen az oldalon áttekintjük a definíciót és a differenciát, mindkét összegképletet, a karakterisztikus tulajdonságot, a tagok ellenőrzését, a mértani sorozattól való különbséget, valamint tipikus feladatokat és egy interaktív gyakorlót az önellenőrzéshez.
Mi az a számtani sorozat
A számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben minden következő tagot az előzőhöz egy állandó szám hozzáadásával kapunk meg. Ezt a számot a sorozat differenciájának nevezzük, és \(d\) betűvel jelöljük.
Definíció egy képlettel: az \(a_1, a_2, a_3, \dots\) sorozatot számtani sorozatnak nevezzük, ha bármely \(n\) sorszámra teljesül az alábbi egyenlőség:
Vegyük a 3, 7, 11, 15, 19, … sorozatot. Az első tag itt \(a_1 = 3\), a differencia pedig \(d = 4\): minden következő szám pontosan 4-gyel nagyobb az előzőnél. Ezért a következő tag 23, a 3 előtt pedig (ha visszafelé folytatnánk) az 1 állna negatív előjellel.
A teljes sorozatot mindössze két szám határozza meg — az első tag (\(a_1\)) és a differencia (\(d\)). Ezt a párost ismerve bármelyik tagot megnevezhetjük, kiszámíthatjuk tetszőleges számú első tag összegét, és ellenőrizhetjük, hogy egy adott szám szerepel-e a sorozatban. A sorozatot \((a_n)\) jellel, a tagjait pedig \(a_1, a_2, a_3\) stb. módon jelöljük, ahol az alsó index mindig a sorszámot jelöli, nem az értéket.
A számtani sorozat differenciája: hogyan találjuk meg a d-t
A differencia mindig a következő tag mínusz az előző tag:
A kivonás sorrendje fontos: ha fordítva vonjuk ki, a differencia előjele ellentétes lesz. A 20, 17, 14, 11, 8 sorozatnál a differencia \(17 - 20 = -3\), nem pedig \(+3\).
A \(d\) előjele teljesen meghatározza a sorozat viselkedését:
- \(d > 0\) — a sorozat növekvő, a tagok nőnek;
- \(d < 0\) — a sorozat csökkenő, a tagok csökkennek;
- \(d = 0\) — minden tag egyenlő, például 6, 6, 6, 6, … Ez is egy számtani sorozat, csak állandó.
Ha két különböző sorszámú tag ismert, a differencia az alábbi képlettel található meg:
Példa. Legyen \(a_4 = 30\) és \(a_{10} = 6\). Ekkor \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), az első tag pedig \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Ellenőrizzük a sorozat elejét: 42, 38, 34, 30 — a negyedik tag valóban 30.
A differenciának nem kell egész számnak lennie: az 1; 1,5; 2; 2,5 sorozatnál a differencia 0,5, és ez egy teljes értékű számtani sorozat.
A számtani sorozat n-edik tagjának képlete
A téma fő képlete lehetővé teszi bármely tag megtalálását anélkül, hogy az összes előzőt felírnánk:
Honnan jön az \(n - 1\)? Ahhoz, hogy az első tagtól az \(n\)-edikig eljussunk, a differenciát nem \(n\)-szer, hanem eggyel kevesebbszer adjuk hozzá: a második tagig egy lépés, a harmadikig kettő, a huszadikig tizenkilenc.
Példa. A 3, 7, 11, 15, 19, … sorozathoz \(a_1 = 3\) és \(d = 4\), tehát
Ez az összevont írásmód nagyon kényelmes: azonnal látszik, hogy \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), az \(a_{100} = 399\). Egyúttal a differenciát is elárulja: bármely számtani sorozat n-edik tagjának képlete lineáris, \(a_n = dn + c\) alakú, és az \(n\) előtti együttható maga a differencia.
Néha az első tag ismeretlen, de egy másik tag adott. Ekkor ugyanaz az elv működik általános alakban: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
A számtani sorozat karakterisztikus tulajdonsága
A sorozat bármely tagja, az első kivételével, egyenlő a szomszédainak számtani közepével:
Éppen ezért nevezik a sorozatot számtani sorozatnak. Ez az egyenlőség fordítva is igaz: ha egy sorozatban minden középső tag a szomszédok félösszege, akkor a sorozat számtani sorozat. Ezt az állítást a számtani sorozat ismérvének nevezik, és a feladatokban arra használják, hogy bizonyítsák, három szám számtani sorozatot alkot.
Példa. A 7, \(x\), 23 számok egy sorozat három egymást követő tagja. Ekkor \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Ellenőrzés: 7, 15, 23 — a differenciák 8 és 8, minden stimmel.
Ugyanezen tulajdonság kényelmesebb alakja: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), azaz a középső tag kétszerese egyenlő a szélső tagok összegével. Ebben az alakban a tulajdonság könnyebben alkalmazható, ha a tagok betűs kifejezésekkel vannak megadva.
A számtani sorozat első n tagjának összege
Az \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) összeget a két képlet egyikével számoljuk:
Az első képlet ötlete az, amelyet a legenda szerint Gauss iskolásként talált meg, amikor az 1-től 100-ig terjedő számokat adta össze. Ha összeadjuk az első tagot az utolsóval, a másodikat az utolsó előttivel és így tovább, minden pár ugyanazt az összeget adja. Innen \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
A második képlet az elsőből származik az \(a_n = a_1 + (n-1)d\) behelyettesítésével — akkor van rá szükség, ha az utolsó tag nem adott, és nem akarjuk külön kiszámolni.
Példa. Számítsuk ki a 3, 7, 11, 15, 19, … sorozat első húsz tagjának összegét.
Az első képlettel: \(a_{20} = 79\), ezért \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
A másodikkal: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
A válaszok megegyeztek — ez a legjobb módja a számítások ellenőrzésének.
Hogyan tudhatjuk meg, hogy egy szám a számtani sorozat tagja-e
A „tagja-e a szám a sorozatnak” kérdés egyenlettel oldható meg. A szám akkor és csak akkor tagja a sorozatnak, ha az \(n\) sorszáma természetes szám: 1, 2, 3 és így tovább. A tört vagy nem pozitív \(n\) azt jelenti, hogy ilyen tag nincs.
1. példa. A 99 tagja-e a 3, 7, 11, 15, 19, … sorozatnak? Az n-edik tag képlete itt \(a_n = 4n - 1\), ezért megoldjuk a \(4n - 1 = 99\) egyenletet, ahonnan \(4n = 100\) és \(n = 25\). A sorszám természetes szám — tehát a 99 benne van a sorozatban, ez a huszonötödik tagja.
2. példa. És a 2026? A \(4n - 1 = 2026\) egyenletből \(4n = 2027\) és \(n = 506{,}75\) adódik. A sorszám tört, ezért a 2026 nem tagja ennek a sorozatnak.
Hasznos tipp a szóbeli becsléshez: az \(a_n = 4n - 1\) képletű sorozat minden tagja 4-gyel osztva 3 maradékot ad. A 2026 2 maradékot ad, ezért „kiesik” a sorozatból.
Tipikus feladatok számtani sorozatokkal
A matematika érettségin (vagy felvételin) a sorozatok minden évben előfordulnak, és szinte minden feladat négy témakörre vezethető vissza.
Tag megtalálása sorszám alapján. Adott \(a_1\) és \(d\) (vagy néhány első tag) — behelyettesítjük az \(a_n = a_1 + (n-1)d\) képletbe.
Sorszám megtalálása érték alapján. Adott egy szám — egyenlővé tesszük vele az n-edik tag képletét, és megoldjuk az egyenletet \(n\)-re.
Összeg megtalálása. Kiszámoljuk az \(S_n\)-t a két képlet valamelyikével; ha hiányzik az \(a_n\), először azt keressük meg.
Tagok számának megtalálása. Az n-edik tag képletéből egy kényelmes következmény adódik: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Külön érdemes megemlíteni a szöveges feladatot, ahol a sorozat egy történetbe van rejtve. Például: egy munkás az első nap 12 alkatrészt készített, minden következő nap pedig 3-mal többet, mint az előző nap; hány alkatrészt készít 15 nap alatt? Itt \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Kiszámoljuk az utolsó tagot: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Ekkor \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) alkatrész.
A legfontosabb tanács az ilyen feladatokhoz: először írja ki külön sorba, mi adott (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) és mit kell megtalálni. A vizsgán elkövetett hibák fele nem a képletek miatt történik, hanem azért, mert a sorszámot összekeverik a tag értékével.
Számtani és mértani sorozat: mi a különbség
Mindkét sorozat olyan szabály, amellyel az egyik tagból megkapjuk a következőt. A különbség a műveletben van: a számtaniban a taghoz hozzáadunk egy állandó \(d\) számot, a mértaniban megszorozzuk egy állandó \(q\) számmal, amelyet a sorozat hányadosának neveznek.
Innen ered a különböző viselkedés. A számtani sorozat egyenletesen nő, „lépcsőzetesen”: 3, 7, 11, 15 — minden lépés 4-et ad hozzá. A mértani lavinaszerűen nő: 3, 6, 12, 24 — minden lépés megduplázza a számot, és tíz lépés után a tag már több mint másfél ezer lesz.
A sorozat típusának ellenőrzése egyszerű: számítsa ki a szomszédos tagok különbségét és hányadosát. Az egyenlő különbségek számtani sorozatra, az egyenlő hányadosok mértani sorozatra utalnak. Ha egyik sem egyezik meg, akkor ön előtt csak egy sorozat áll: például 1, 4, 9, 16 — ezek a természetes számok négyzetei, és ez nem sorozat (a különbségek 3, 5, 7 különbözőek, a hányadosok is).
Az iskolai tananyagban mindkét téma egymás után következik a 9. osztályban, ezért a képleteket könnyű összekeverni. Tartsa észben a támpontot: a számtaniban a \(d\) differenciát hozzáadjuk (vagy kivonjuk), a mértaniban a \(q\) hányadossal szorzunk (vagy osztunk). Minden más csak következmény.
Példák számtani sorozatokkal kapcsolatos feladatok megoldására
1. példa. Első tag és differencia megtalálása két tag alapján
Adott. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Találd meg az \(a_1\), \(d\) és \(a_{20}\) értékét.
1. lépés. A harmadik tagtól a hetedikig pontosan \(7 - 3 = 4\) lépés van, mindegyiknél \(d\)-t adunk hozzá. Tehát \(a_7 = a_3 + 4d\), azaz \(30 = 14 + 4d\), ahonnan \(4d = 16\) és \(d = 4\).
2. lépés. Visszamegyünk az első taghoz: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
3. lépés. Felírjuk az n-edik tag képletét: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
4. lépés. Kiszámoljuk a keresett tagot: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Ellenőrzés. Írjuk fel a sorozat elejét: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. A harmadik tag 14, a hetedik 30 — megegyezik.
Válasz: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
2. példa. Az első 30 tag összege (mindkét képlet)
Adott. A \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) sorozat. Találd meg az \(S_{30}\) értékét.
1. lépés. Meghatározzuk a paramétereket: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
2. lépés. Megtaláljuk a harmincadik tagot: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
3. lépés. Kiszámoljuk az első képlettel: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
4. lépés. Ellenőrzés a második képlettel. Először a számláló: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Majd mint a harmadik lépésben: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Mindkét út 1155-öt adott — tehát a számítás helyes.
Válasz: \(S_{30} = 1155\).
3. példa. A 7-tel osztható kétjegyű számok összege
Feladat. Találd meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amely osztható 7-tel.
1. lépés. Ezek a számok maguk is egy számtani sorozatot alkotnak 7-es differenciával. A legkisebb kétjegyű 7-tel osztható szám a 14, a legnagyobb a 98 (a következő, 105, már háromjegyű). Megkapjuk: \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
2. lépés. Kiszámoljuk a tagok számát: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
3. lépés. Kiszámoljuk az összeget: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
4. lépés. Ellenőrzés a második képlettel. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Válasz: 728.
4. példa. Annak ellenőrzése, hogy egy szám tagja-e a sorozatnak
Feladat. A 145 szám tagja-e a \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\) sorozatnak? És a 142?
1. lépés. A sorozat paraméterei: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), tehát \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
2. lépés. Ellenőrizzük a 145-öt: az \(5n + 2 = 145\) egyenlet \(5n = 143\)-at ad, és \(n = 28{,}6\). A sorszám tört, ezért a 145 nem tagja a sorozatnak.
3. lépés. Ellenőrizzük a 142-t: \(5n + 2 = 142\), ahonnan \(5n = 140\) és \(n = 28\). A sorszám természetes szám — a szám benne van.
4. lépés. Ellenőrzés behelyettesítéssel. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Helyes.
Válasz: A 145 nem tagja a sorozatnak; a 142 tagja, és ez a 28. tagja.
5. példa. Karakterisztikus tulajdonság betűs tagokkal
Feladat. Az \(x\) mely értékére alkotják az \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) számok egy számtani sorozat három egymást követő tagját?
1. lépés. A karakterisztikus tulajdonság szerint a középső tag kétszerese egyenlő a szélső tagok összegével:
2. lépés. Felbontjuk a zárójeleket: \(4x + 2 = 5x - 4\).
3. lépés. Megoldjuk: \(2 + 4 = 5x - 4x\), azaz \(x = 6\).
4. lépés. Ellenőrzés. Behelyettesítjük az \(x = 6\)-ot: az első tag \(6 - 3 = 3\), a második \(2\cdot 6 + 1 = 13\), a harmadik \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Differenciák: \(13 - 3 = 10\) és \(23 - 13 = 10\) — megegyeznek.
Válasz: \(x = 6\), a sorozat 3, 13, 23, 10-es differenciával.
6. példa. Hány negatív tag van a sorozatban
Feladat. Hány negatív tagja van a \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\) sorozatnak?
1. lépés. Paraméterek: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Az n-edik tag képlete: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
2. lépés. Felírjuk a „a tag negatív” feltételt: \(3n - 24 < 0\), ahonnan \(3n < 24\) és \(n < 8\).
3. lépés. A sorszámok természetes számok, tehát az \(n = 1, 2, \dots, 7\) értékek felelnek meg — összesen hét tag.
4. lépés. Határérték ellenőrzése. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — negatív. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — a nulla nem negatív szám, ezért a nyolcadik tagot már nem számoljuk. \(a_9 = 3\) — pozitív.
Válasz: hét negatív tag.
Gyakori hibák a számtani sorozatokkal kapcsolatos feladatokban
-
Az n-edik tag képletében $a_n = a_1 + nd$-t írnak az $a_n = a_1 + (n-1)d$ helyett.
Az első tagtól az n-edikig eggyel kevesebb lépést teszünk, mint a sorszám. Az \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) sorozathoz a tizedik tag \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), nem 45. Gyors képletellenőrzés: helyettesíts be \(n = 1\)-et — pontosan \(a_1\)-nek kell kijönnie.
-
A differenciát fordítva számolják: $d = a_1 - a_2$, és az előjel ellentétes lesz.
A differencia a következő tag mínusz az előző tag: \(d = a_2 - a_1\). A \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) sorozathoz helyes a \(d = 34 - 40 = -6\). A mínusz előjel itt nem hiba, hanem a csökkenő sorozat jele.
-
Az összegképletben elfelejtenek 2-vel osztani vagy $n$-nel szorozni: $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$-t írnak.
A „szélső tagok” párokat összegezzük, ezekből pontosan \(\dfrac{n}{2}\) darab van, ezért a 2-vel való osztás kötelező. A \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) sorozathoz \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) és \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), nem 670.
-
A szám sorozatba tartozásának ellenőrzésekor $n = 0$ vagy negatív $n$ jön ki, és mégis azt válaszolják, hogy „benne van”.
A tag sorszáma természetes szám, a számlálás eggyel kezdődik. Például a \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) sorozathoz a \(10 + 4(n-1) = 6\) egyenlet \(n = 0\)-t ad, ami azt jelenti, hogy a 6 nem tagja a sorozatnak: ez a szám az első tag előtt állna.
-
Összekeverik, mit találtak meg: a tag értékét helyettesítik oda, ahol a sorszám kell, és fordítva.
\(a_n\) az érték, \(n\) a sorszám. Ha a feladat azt kérdezi, „hányadik tag egyenlő 142-vel”, a válasz 28 lesz, nem 142. Hasznos szokás: a megoldás előtt írja ki a „adott: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), keresett: \(n\)” sort.
-
Azt hiszik, hogy a sorozatnak növekednie kell és egész számokból kell állnia.
A differencia lehet negatív (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), tört (1; 1,5; 2; 2,5) és akár nulla (8, 8, 8, …) is. Mindhárom eset érvényes számtani sorozat, és az összes képlet változtatás nélkül működik rájuk.
Kérdések és válaszok
Mi az a számtani sorozat egyszerű szavakkal?
Ez egy olyan számsorozat, amelyben minden következő szám az előzőhöz egy állandó \(d\) szám (a sorozat differenciája) hozzáadásával keletkezik. Például 3, 7, 11, 15, 19, … — egy sorozat 3-as első taggal és 4-es differenciával.
Mi a számtani sorozat n-edik tagjának képlete?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), ahol \(a_1\) az első tag, \(d\) a differencia, \(n\) a sorszám. Ha nem az első, hanem egy másik tag ismert, az általános \(a_n = a_k + (n-k)d\) alak működik.
Hogyan találjuk meg a számtani sorozat differenciáját?
Vonjuk ki bármely tagból az előzőt: \(d = a_n - a_{n-1}\). Ha két különböző sorszámú tag adott, használja a \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\) képletet. Például \(a_5 = 23\) és \(a_9 = 43\) esetén \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), az első tag pedig \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Hogyan találjuk meg a számtani sorozat első tagját?
Az n-edik tag képletéből: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Például, ha \(a_{12} = 60\) és \(d = 4\), akkor \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Ellenőrzés: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Hogyan találjuk meg a számtani sorozat első n tagjának összegét?
Az \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) képlettel, ha az utolsó tag ismert, vagy az \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\) képlettel, ha csak az első tag és a differencia ismert. Mindkettő ugyanazt az eredményt adja, ezért a másodikat kényelmesen használhatjuk az első ellenőrzésére.
Hogyan találjuk meg a számtani sorozat tagjainak számát?
Az n-edik tag képletéből: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Például a \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) sorozatban a differencia 5, ezért \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) tag van.
Miben különbözik a számtani sorozat a mértanitól?
A számtaniban minden taghoz hozzáadjuk a \(d\) differenciát, a mértaniban minden tagot megszorzunk a \(q\) hányadossal. Az n-edik tag képletei: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) szemben a \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\)-gyel. A típus meghatározásához számítsa ki a szomszédos tagok különbségét és hányadosát: egyenlő különbségek — számtani, egyenlő hányadosok — mértani.
Lehet a differencia negatív vagy nulla?
Igen. \(d < 0\) esetén a sorozat csökken (például 20, 17, 14, 11), \(d = 0\) esetén minden tag egyenlő (6, 6, 6, …) — ez egy állandó sorozat. A differencia lehet tört is: 1; 1,5; 2; 2,5 — ez is számtani sorozat.
Melyik osztályban tanulják a számtani sorozatot?
- osztályban algebra órákon, a mértani sorozattal és a számsorozatokkal együtt. A sorozatokkal kapcsolatos feladatok részei az érettséginek: általában meg kell találni egy tagot sorszám alapján, sorszámot érték alapján, a tagok számát vagy az első \(n\) tag összegét.
