A Viète-tétel összekapcsolja a másodfokú egyenlet gyökeit az együtthatóival: a normálalakú \(x^2 + px + q = 0\) egyenlet esetén a gyökök összege \(-p\), a szorzatuk pedig \(q\). Ez lehetővé teszi a gyökök fejben történő meghatározását, diszkrimináns használata nélkül. Ezen az oldalon megtalálod a pontos képleteket a normálalakú és az általános alakú egyenletekre, a fordított Viète-tételt, a gyökkeresés algoritmusát, kidolgozott példákat és egy interaktív gyakorlót.
Mi a Viète-tétel
A Viète-tétel egy szabály, amely összekapcsolja a másodfokú egyenlet gyökeit az együtthatóival. Így fogalmazható meg: ha \(x_1\) és \(x_2\) az \(x^2 + px + q = 0\) normálalakú másodfokú egyenlet gyökei, akkor
Szavakkal: a gyökök összege egyenlő a másodfokú egyenlet lineáris tagjának együtthatójával, ellentétes előjellel, a gyökök szorzata pedig egyenlő a konstans taggal. Az összegnél lévő mínusz jel a téma legfontosabb része: pontosan \(-p\)-t írunk, nem \(p\)-t.
Az általános alakú \(ax^2 + bx + c = 0\) egyenletre (ahol \(a \neq 0\)) a képletek az \(a\)-val való osztással vezethetők le:
A tétel csak akkor működik, ha léteznek valós gyökök, azaz \(D \ge 0\). Ha a diszkrimináns negatív, nincs mit keresni: nem léteznek olyan valós számok, amelyeknek ez az összege és ez a szorzata.
Normálalak és általános alak: mikor kell osztani a-val
Normálalakúnak nevezzük azt a másodfokú egyenletet, amelyben az \(x^2\) együtthatója egy: \(x^2 + px + q = 0\). Éppen erre a formára a legrövidebb a Viète-tétel, ezért a gyökök keresését mindig a normálalakra hozással kezdjük.
Ha \(a \neq 1\), az egyenletet először tagonként elosztjuk \(a\)-val. Például a \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) egyenlet \(3\)-mal való osztás után \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\) lesz, azaz \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Innen \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) és \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Ugyanezt a gondolatot felírhatjuk azonnal az általános alakra is, anélkül, hogy normálalakra hoznánk: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). A leggyakoribb hiba, hogy a „rövid” \(-p\) és \(q\) képleteket alkalmazzák a nem normálalakú egyenletre, és így \(\frac{10}{3}\) helyett \(10\)-et kapnak összegnek.
Fordított Viète-tétel
A Viète-tételnek létezik fordítottja, és éppen ez teszi lehetővé az egyenletek megoldását gyökkereséssel. Így szól: ha az \(m\) és \(n\) számok olyanok, hogy
akkor \(m\) és \(n\) az \(x^2 + px + q = 0\) egyenlet gyökei.
A különbség alapvető. A közvetlen tétel a gyököktől halad az együtthatók felé: a gyökök már ismertek, és megkapjuk a köztük lévő kapcsolatot. A fordított tétel az együtthatóktól halad a gyökök felé: kitaláltunk egy számpárt a megfelelő összeggel és szorzattal, és teljes joggal nevezhetjük őket gyököknek, semmit nem kell tovább bizonyítani.
Ebből következik egy hasznos szabály: ha \(x_1\) és \(x_2\) a gyökök, akkor a polinom szorzattá alakítható: \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Például \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Gyökök keresése Viète-tétellel: algoritmus
A gyökök keresése a tétel legfontosabb gyakorlati alkalmazása. Gyorsabban működik, mint a diszkrimináns, ha a gyökök egész számok, és öt lépésből áll.
Gyökök előjele a p és q együtthatók alapján
Már a keresés előtt megérthetjük, milyen előjelűek lesznek a gyökök — elég megnézni a \(p\) és \(q\) előjelét. Ez jelentősen lerövidíti a keresést: azonnal látszik, hogy két pozitív, két negatív vagy különböző előjelű számot kell-e keresnünk.
| p és q | Gyökök | Példa |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | mindkettő > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | mindkettő < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | különböző előjelűek | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 és −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Viète-tétel vagy diszkrimináns: mit válasszunk
A diszkriminánsos gyökképlet, az \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) mindig működik, de számolást igényel. A Viète-tétel azonnal működik, de csak akkor, ha a gyökök kitalálhatók — általában ezek kis egész számok.
A gyakorlati szabály a következő:
- az egyenlet normálalakú, és \(q\) felbontható néhány kis tényezőre → próbáld meg a Viète-tétellel való keresést, a válasz fejben megkapható;
- az együtthatók nagyok vagy törtek, a gyökök nem találhatók ki 10–15 másodperc alatt → számold ki a diszkriminánst;
- csak a gyökök száma vagy a gyökök előjele kell, de maguk a gyökök nem → elég a \(D\) és a fenti előjel-táblázat.
Hasznos a kombináció is: kiszámoltad a diszkriminánst és megtaláltad a gyököket — ellenőrizd a választ Viète-tétellel. Az összegnek \(-p\)-t, a szorzatnak \(q\)-t kell adnia. Ez az ellenőrzés pár másodpercet vesz igénybe, és kiszűri szinte az összes aritmetikai hibát.
Megoldási példák Viète-tétellel
1. példa. Gyökök keresése: mindkét gyök pozitív
Oldjuk meg: \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
1. lépés. Az egyenlet normálalakú: \(p = -9\), \(q = 20\).
2. lépés. Ellenőrizzük a diszkriminánst: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — két gyök létezik.
3. lépés. Felírjuk az összefüggéseket: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
4. lépés. Végignézzük a 20 felbontásait: \(1\cdot 20\) (összeg 21), \(2\cdot 10\) (összeg 12), \(4\cdot 5\) (összeg 9) — az utolsó pár a megfelelő. Mindkét tényező pozitív, mert \(q > 0\) és \(p < 0\).
5. lépés. Ellenőrzés behelyettesítéssel. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Válasz: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
2. példa. Különböző előjelű gyökök
Oldjuk meg: \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
1. lépés. Az egyenlet normálalakú: \(p = 3\), \(q = -28\).
2. lépés. \(q < 0\), tehát a gyökök különböző előjelűek, és a diszkrimináns biztosan pozitív: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
3. lépés. Összefüggések: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
4. lépés. A 28 felbontásai: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). 3-as különbségre van szükségünk — a 4 és 7 pár a megfelelő. Mivel az összeg negatív, az abszolút értékben nagyobb gyököt negatív előjellel vesszük: \(4\) és \(-7\).
5. lépés. Ellenőrzés. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Válasz: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
3. példa. Általános alakú egyenlet (a ≠ 1)
Oldjuk meg: \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
1. lépés. Az \(a = 3\) együttható miatt a „rövid” \(-p\) és \(q\) képletek nem alkalmazhatók. Az általános alakot használjuk: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
2. lépés. A szorzat 1 — tehát a gyökök egymás reciprokai: ha az egyik \(t\), a másik \(\tfrac{1}{t}\). A \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) összeg \(t = 3\)-at sugall, hiszen \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
3. lépés. Ellenőrzés behelyettesítéssel. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Válasz: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
4. példa. Egyenlet összeállítása a gyökei alapján
Feladat. Állítsunk össze egy normálalakú másodfokú egyenletet, amelynek gyökei \(-4\) és \(6\).
1. lépés. Kiszámoljuk az összeget és a szorzatot: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
2. lépés. A fordított Viète-tétel szerint az együtthatók \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) és \(q = x_1 x_2 = -24\). Itt rejtőzik a fő csapda: \(p\) az összeg ellentétes előjellel.
3. lépés. Felírjuk az egyenletet: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
4. lépés. Ellenőrzés behelyettesítéssel. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Válasz: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Ugyanezt az eredményt adja a \((x + 4)(x - 6) = 0\) szorzattá alakítás.
5. példa. Más válaszának ellenőrzése Viète-tétellel
Feladat. Egy tanuló megoldotta az \(x^2 + 5x + 6 = 0\) egyenletet, és ezt a választ írta: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Ellenőrizzük, hogy hibázott-e.
1. lépés. Viète szerint \(x_1 + x_2 = -p = -5\) és \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\) kellene, hogy legyen.
2. lépés. A megadott válaszban a szorzat stimmel (\(2\cdot 3 = 6\)), de az összeg nem: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Tehát a válasz helytelen: elhagyott egy előjelet.
3. lépés. Keressük a helyes párt: olyan számok kellenek, amelyek szorzata \(6\), összege pedig \(-5\) — ezek a \(-2\) és \(-3\) (mindkettő negatív, mert \(q > 0\) és \(p > 0\)).
4. lépés. Ellenőrzés behelyettesítéssel. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Válasz: a helyes gyökök \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Gyakori hibák a Viète-tétel használatakor
-
Elhagyják a mínuszt az összegnél: $x_1 + x_2 = p$-t írnak $x_1 + x_2 = -p$ helyett.
A mínusz csak az összegnél van, a szorzatot ugyanazzal az előjellel vesszük: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Ellenőrizd egy egyszerű \(x^2 - 5x + 6 = 0\) egyenleten: itt \(p = -5\), a gyökök összege 5, és a gyökök valóban 2 és 3.
-
A $-p$ és $q$ képleteket alkalmazzák nem normálalakú egyenletre: a $2x^2 - 9x + 4 = 0$ esetén azt mondják, „az összeg 9, a szorzat 4”.
Amíg \(a \neq 1\), az általános alak képletei működnek: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). A gyökök itt 4 és \(\tfrac{1}{2}\), nem 4 és 1. Vagy először oszd el az egész egyenletet \(a\)-val.
-
Úgy keresnek gyököket, hogy nem ellenőrzik a diszkriminánst: az $x^2 + x + 1 = 0$ esetén megpróbálnak olyan számpárt találni, amelynek összege $-1$, szorzata pedig $1$.
Először győződj meg róla, hogy vannak gyökök: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), nincsenek valós gyökök, a keresés lehetetlen. A Viète-tétel csak \(D \ge 0\) esetén működik.
-
Csak a szorzat alapján keresnek párt, az összeg ellenőrzése nélkül: az $x^2 - 8x + 12 = 0$ esetén a 3-at és 4-et választják, mert a szorzatuk 12.
Mindkét összefüggést egyszerre kell ellenőrizni. Az \(x^2 - 8x + 12 = 0\) esetén a 12-es szorzatot az (1; 12), (2; 6), (3; 4) párok adják, de a 8-as összeget csak a 2 és 6 pár. Ellenőrzés: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) és \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Egyenlet összeállításakor a gyökök alapján $p$-t az összeggel egyenlőnek veszik: a 2 és 5 gyökökhöz az $x^2 + 7x + 10 = 0$ egyenletet írják.
A \(p\) együttható az összeg ellentettje: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), tehát \(x^2 - 7x + 10 = 0\). A behelyettesítés megerősíti: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Azt hiszik, a Viète-tétel csak egész gyökökre igaz, és nem használják a válasz ellenőrzésére.
Az \(x_1 + x_2 = -p\) és \(x_1 x_2 = q\) összefüggések minden valós gyökre teljesülnek — egész, tört és irracionális számokra is. Egyszerűen a fejben történő keresés kényelmes az egészeknél, a többieknél pedig a tétel egy gyors mód marad a diszkriminánssal talált válasz ellenőrzésére.
Kérdések és válaszok
Hogyan hangzik a Viète-tétel egyszerű szavakkal?
Ha az \(x^2 + px + q = 0\) normálalakú másodfokú egyenletnek vannak gyökei, akkor az összegük egyenlő a másodfokú egyenlet lineáris tagjának együtthatójával, ellentétes előjellel, a szorzatuk pedig egyenlő a konstans taggal: \(x_1 + x_2 = -p\) és \(x_1 x_2 = q\).
Mennyi az $ax^2 + bx + c = 0$ egyenlet gyökeinek összege és szorzata?
Az általános alakú egyenletnél a gyökök összege \(-\dfrac{b}{a}\), a szorzata pedig \(\dfrac{c}{a}\). Ezek a képletek a normálalakú esetből vezethetők le az egész egyenlet \(a\)-val való osztásával.
Miben különbözik a fordított Viète-tétel a közvetlentől?
A közvetlen tétel a gyököktől halad az együtthatók felé: ismerve a gyököket, megkapjuk a \(-p\) összeget és a \(q\) szorzatot. A fordított tétel fordítva működik: ha egy számpár megadja a szükséges összeget és szorzatot, akkor ezek a számok az egyenlet gyökei. Éppen a fordított tétel teszi lehetővé az egyenletek gyökkereséssel való megoldását.
Hogyan keressünk gyököket Viète-tétellel?
Hozd az egyenletet \(x^2 + px + q = 0\) alakra, győződj meg róla, hogy \(D \ge 0\), írd fel az \(x_1 + x_2 = -p\) és \(x_1 x_2 = q\) összefüggéseket, nézd végig a \(q\) tényezőkre bontását, és válaszd azt a párt, amelynek összege \(-p\). Például az \(x^2 + 6x + 8 = 0\) esetén olyan számok kellenek, amelyek szorzata 8, összege \(-6\) — ezek a \(-2\) és \(-4\).
Működik-e a Viète-tétel, ha az $x^2$ együtthatója nem egy?
Igen, de általános alakban: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). A rövid \(-p\) és \(q\) képletek csak a normálalakú egyenletre igazak, ezért \(a \neq 1\) esetén az egyenletet először elosztjuk \(a\)-val.
Mit tegyek, ha a gyökök nem találhatók ki Viète-tétellel?
Ez azt jelenti, hogy a gyökök nem egészek, vagy egyáltalán nincsenek. Számold ki a diszkriminánst: \(D < 0\) esetén nincsenek valós gyökök, \(D \ge 0\) esetén pedig keresd meg a gyököket az \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) képlettel, és csak utána ellenőrizd a választ a Viète-tétellel.
Hogyan határozzam meg a gyökök előjelét egyenletmegoldás nélkül?
A \(p\) és \(q\) előjele alapján, \(D \ge 0\) esetén: ha \(q > 0\) és \(p < 0\) — mindkét gyök pozitív; ha \(q > 0\) és \(p > 0\) — mindkettő negatív; ha \(q < 0\) — a gyökök különböző előjelűek; ha \(q = 0\) — az egyik gyök nulla.
Melyik osztályban tanulják a Viète-tételt?
- osztályban, algebra órán, közvetlenül a másodfokú egyenletek és a diszkrimináns után. Később a másodfokú háromtagú kifejezés szorzattá alakításánál \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), paraméteres gyökök vizsgálatánál, valamint az OKTV és érettségi feladatokban használják.
