Az arány két viszony egyenlősége, például \(2:3 = 8:12\). Az arányok megoldásához csupán egy eszközre van szükségünk – az arány alapvető tulajdonságára: a szélső tagok szorzata egyenlő a középső tagok szorzatával. Az iskolában ezt „szorzás átlósan” szabálynak nevezik. Lentebb olvashatsz arról, hogy mi az arány és az arányosság, hogyan találjuk meg az ismeretlen tagot, miben különbözik az egyenes arányosság a fordítottól, feladatok megoldását receptekről, léptékről és árakról, valamint százalékos feladatokat és egy 10 feladatból álló gyakorló felületet.
Mi az arány és az arányosság
Két szám aránya a hányadosuk. A \(2:3\) arány (ejtsd: „kettő a háromhoz”) megmutatja, hányszor nagyobb az egyik szám a másiknál, vagy milyen részét teszi ki az egyik a másiknak. Kétféleképpen is felírhatjuk: \(2:3\) vagy \(\frac{2}{3}\) tört alakban – ez ugyanaz.
Az arány két viszony egyenlősége:
Az arányban összesen négy szám van, és ezeknek nevük is van. A felírás szélén álló számok a szélső tagok, a középen álló számok a középső tagok. Az arány helyes, ha mindkét viszony ugyanannyi.
Az arány alapvető tulajdonsága: a „szorzás átlósan” szabály
Az arány alapvető tulajdonsága: a szélső tagok szorzata egyenlő a középső tagok szorzatával.
Miért van ez így? Szorozzuk meg az \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) egyenlőség mindkét oldalát \(b \cdot d\)-vel. Bal oldalon a \(b\) kiesik, jobb oldalon a \(d\), és pontosan \(a \cdot d = c \cdot b\) marad. Nincs varázslat – csak a rendezett egyenlőségek tulajdonsága.
Ezt nevezik a diákok „arányok átlós szorzásának”: a számokat átlósan, „keresztbe” szorozzák. A tulajdonság fordítva is működik: ha négy számra (egyik sem nulla) teljesül, hogy \(a \cdot d = b \cdot c\), akkor ezekből felírható egy helyes arány.
Ebből máris két képességünk lesz: ellenőrizni, hogy helyes-e az arány, és megtalálni benne az ismeretlen számot.
Hogyan találjuk meg az arány ismeretlen tagját
Az alapvető tulajdonságból két rövid szabály vezethető le:
- ismeretlen szélső tag = középső tagok szorzata : ismert szélső tag;
- ismeretlen középső tag = szélső tagok szorzata : ismert középső tag.
Ezeket nem kell bemagolni. Elég egy univerzális módszer: szorozzuk átlósan, kapunk egy „szám \(\cdot\, x\) = szám” alakú egyenlőséget, és osztunk. Nézzük meg lépésről lépésre az \(x : 7 = 12 : 21\) arányt.
Az utolsó lépés – az ellenőrzés – öt másodperc, és szinte minden számolási hibát kiszűr, ezért nem érdemes kihagyni.
Egyenes és fordított arányosság
Két mennyiséget egyenesen arányosnak nevezünk, ha az egyiknek a többszörösére növelésekor a másik is annyiszor nő. Ha kétszer több füzetet vettünk, kétszer annyit fizettünk. Az ilyen mennyiségek aránya állandó.
A mennyiségek fordítottan arányosak, ha az egyiknek a többszörösére növelésekor a másik annyiszor csökken. Ha kétszer több munkás van, kétszer annyi nap alatt készül el ugyanaz a munka. Az ilyen mennyiségek szorzata állandó.
A fő különbség az arány felírásakor mutatkozik meg. Egyenes arányosságnál „ahogy van” állítjuk fel: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Fordított arányosságnál a második viszonyt megfordítjuk: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Miért? Fordított arányosságnál a szorzat állandó: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Osszuk el mindkét oldalt \(a_2 \cdot b_1\)-gyel – és éppen \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\)-et kapunk. Tehát a „megfordítás” nem egy varázsige, amit meg kell jegyezni, hanem annak következménye, hogy a szorzat marad állandó, nem pedig az arány.
| Jelleg | Egyenes | Fordított |
|---|---|---|
| Kapcsolat | több → több | több → kevesebb |
| Állandó | arány a : b | szorzat a × b |
| Felírás | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Példa | 3 ceruza — 90 Ft, 5 ceruza — 150 Ft | 4 festő — 9 nap, 6 festő — 6 nap |
Hogyan állítsunk fel arányt egy feladathoz: recept, lépték, ár
A szöveges „arányos” feladatokat egy forgatókönyv szerint oldjuk meg:
- Írjuk ki a feltételt két oszlopba úgy, hogy az azonos mennyiségek egymás alá kerüljenek (adagok az adagok alá, grammok a grammok alá).
- Jelöljük az ismeretlent \(x\)-szel.
- Határozzuk meg az arány típusát: gondolatban növeljük meg az első mennyiséget, és nézzük meg, a második nő vagy csökken.
- Állítsunk fel arányt – fordított arányosságnál fordítsuk meg a második viszonyt.
- Oldjuk meg átlós szorzással, és ellenőrizzük, hogy az eredmény ésszerű-e.
Mutassuk be recepttel. 4 adag palacsintához 300 g liszt kell – mennyi liszt kell 6 adaghoz? Több az adag, tehát több a liszt is: egyenes arányosság, az arányt „ahogy van” állítjuk fel:
6 adaghoz 450 g liszt kell. Az eredmény ésszerű: másfélszer több adag lett, és másfélszer több liszt is kellett hozzá.
Pontosan így oldjuk meg a léptékfeladatokat (a térképen lévő távolság úgy aránylik a terepen lévő távolsághoz, mint 1 a léptékszámhoz), és az árfeladatokat (az áru mennyisége úgy aránylik a mennyiséghez, mint az ár az árhoz). A teljes megoldásokat az alábbi példákban találod.
Százalékok arányon keresztül
A százalék a szám századrésze, ezért minden egyszerű százalékos feladat aránnyá alakítható:
Valahol a négy szám közül az egyik ismeretlen – ezt keressük átlós szorzással.
Rész keresése. Mennyi lesz 240 15%-a? Felírjuk: \(x : 240 = 15 : 100\), tehát \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\), és \(x = 36\).
Egész keresése. A 21 szám egy bizonyos szám 35%-a. Felírjuk: \(21 : x = 35 : 100\), tehát \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\), és \(x = 60\).
Százalék keresése. Hány százaléka 18 az 45-nek? Felírjuk: \(18 : 45 = p : 100\), tehát \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\), és \(p = 40\), azaz 40%.
Egy módszer – három különböző feladattípus, semmi mást nem kell memorizálni. Külön kell kezelni a „hány százalékkal nőtt vagy csökkent a mennyiség” kérdést: itt először kiszámoljuk a változást, majd elosztjuk a kezdeti értékkel – ez már a százalékos változás képlete, nem pedig egy egyszerű arány.
Arányok megoldásának példái lépésről lépésre
1. példa. Ismeretlen középső tag
Feladat. Keressük meg az arány ismeretlen tagját: \(15 : x = 45 : 24\).
1. lépés. Meghatározzuk, melyik tag hol van. Szélső tagok: 15 és 24, középső tagok: \(x\) és 45.
2. lépés. Alkalmazzuk az alapvető tulajdonságot: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), azaz \(360 = 45x\).
3. lépés. Osztunk: \(x = 360 : 45 = 8\).
Ellenőrzés. \(15 : 8 = 1{,}875\) és \(45 : 24 = 1{,}875\) – az arányok egyenlők.
Válasz: \(x = 8\).
2. példa. Egyenes arányosság: ár és mennyiség
Feladat. Hat füzet 210 Ft-ba kerül. Mennyibe kerül 10 ugyanolyan füzet?
1. lépés. Több füzet – több a költség, tehát az arány egyenes.
2. lépés. Felírjuk a feltételt úgy, hogy az azonos mennyiségek egymás mellé kerüljenek, és „ahogy van” állítjuk fel az arányt:
3. lépés. Átlós szorzás: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), tehát \(x = 2100 : 6 = 350\).
Ellenőrzés. Egy füzet ára \(210 : 6 = 35\) Ft, tízé pedig \(35 \cdot 10 = 350\) Ft. Megfelel.
Válasz: 350 Ft.
3. példa. Fordított arányosság: munkások és napok
Feladat. Nyolc munkás 15 nap alatt végez el egy megrendelést. Hány nap alatt végez el ugyanazt a megrendelést 12 munkás, ha ugyanolyan sebességgel dolgoznak?
1. lépés. Több a munkás – kevesebb nap kell. Az arány fordított.
2. lépés. Felírjuk az arányt, megfordítva a második viszonyt:
Itt \(x\) a 12 munkásra jutó napok száma, a 15 pedig a 8 munkásra jutó napok száma: felcserélődtek, mert az arány fordított.
3. lépés. Átlós szorzás: \(8 \cdot 15 = 12x\), azaz \(120 = 12x\) és \(x = 10\).
Ellenőrzés. Az állandó szorzat: \(8 \cdot 15 = 120\) és \(12 \cdot 10 = 120\). Megfelel, és az eredmény ésszerű – kevesebb nap kellett.
Válasz: 10 nap.
4. példa. Térkép léptéke
Feladat. A térkép léptéke \(1 : 200\,000\). A települések közötti távolság a térképen 7 cm. Mekkora a távolság közöttük a terepen?
1. lépés. Az \(1 : 200\,000\) lépték azt jelenti: 1 cm a térképen 200 000 cm-nek felel meg a terepen. Ez egy kész viszony.
2. lépés. Felírjuk az arányt:
3. lépés. Átlós szorzás: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), azaz \(x = 1\,400\,000\) cm.
4. lépés. Átváltjuk kényelmes egységekre: egy kilométerben 100 000 cm van, ezért \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) km.
Válasz: 14 km.
5. példa. Százalékok arányon keresztül
Feladat. Az osztályban 25 tanuló van, 60%-uk ment kirándulni. Hányan mentek kirándulni?
1. lépés. Az egész a 25 tanuló, amihez 100% tartozik. Az ismeretlen rész \(x\) tanuló, amihez 60% tartozik.
2. lépés. Felírjuk az „rész : egész = százalék : 100” arányt:
3. lépés. Átlós szorzás: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), tehát \(x = 15\).
Ellenőrzés. 15 tanuló 25-ből \(15 : 25 = 0{,}6\), azaz pontosan 60%.
Válasz: 15 tanuló.
Gyakori hibák arányok megoldásakor
-
A számokat „hosszában”, nem pedig átlósan szorozzák: az 5 : 2 = 20 : 8 arányban 5 · 2-t és 20 · 8-at számolnak.
Az alapvető tulajdonság a szélső tagokat köti össze a középső tagokkal, azaz az átlósan elhelyezkedő számokat: 5 · 8 = 40 és 2 · 20 = 40. A szorzatok megegyeznek – az arány helyes. Az 5 · 2 és 20 · 8 pedig nem egyenlő, és semmire sem utalnak.
-
Fordított arányosságú feladatnál „egyenes” arányt állítanak fel. Hat szivattyú 10 óra alatt tölti meg a medencét; a 6 : 15 = 10 : x felírás 25 órát ad 15 szivattyú esetén.
Több szivattyú – kevesebb idő kell, de több jött ki: tehát az arányt nem a megfelelő irányban állították fel. A második viszonyt meg kell fordítani: 6 : 15 = x : 10, ekkor 15x = 60 és x = 4 óra. Mindig ellenőrizd az eredményt a józan ész alapján.
-
Átlós szorzás után fordítva osztanak: a 8x = 96 egyenlőségből x = 8 : 96-ot kapnak.
Az x megtalálásához a szorzatot elosztjuk az x melletti szorzótényezővel: x = 96 : 8 = 12. Hasznos szokás – visszahelyettesíteni a talált számot: 8 · 12 = 96, minden rendben.
-
Nem egyeztetik az egységeket. A léptékkel kapcsolatos feladatban 1 : 50 000 esetén 3 cm-t a térképen „1,5” válaszként adják meg egységek nélkül, vagy méternek nevezik.
Először azokban az egységekben számolunk, amelyekben a lépték van megadva: 3 · 50 000 = 150 000 cm. És csak azután váltunk át: 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. A válaszban az egységek ugyanolyan fontosak, mint maga a szám.
-
Összekeverik az arányt és az arányosságot: az arány felállítására kért feladatnál egy viszonyt írnak: „12 : 4”.
Az arány két szám hányadosa: 12 : 4 = 3. Az arányosság két viszony egyenlősége, benne kötelezően négy szám és egyenlőségjel szerepel: 12 : 4 = 30 : 10 (ellenőrizzük: 12 · 10 = 120 és 4 · 30 = 120).
Kérdések és válaszok
Miben különbözik az arány az arányosságtól?
Az arány két szám hányadosa, például 12 : 4. Az arányosság két viszony egyenlősége, benne négy szám van: 12 : 4 = 30 : 10. Az arány arra a kérdésre válaszol, hogy „hányszor”, az arányosság pedig azt állítja, hogy két ilyen összehasonlítás azonos eredményt ad.
Mik az arányosság szélső és középső tagjai?
Az a : b = c : d felírásban a szélső tagok azok, amelyek a széleken állnak, azaz a és d. A középső tagok azok, amelyek középen állnak, azaz b és c. Ha az arányosság tört alakban van felírva, a szélső tagok az első tört számlálója és a második tört nevezője, a középső tagok pedig az első tört nevezője és a második tört számlálója.
Hogyan ellenőrizhetjük, hogy egy arányosság helyes-e?
Szorozzuk átlósan, és hasonlítsuk össze a szorzatokat. Például a 9 : 12 = 15 : 20 arányra kiszámoljuk 9 · 20 = 180 és 12 · 15 = 180 – a számok megegyeznek, tehát az arányosság helyes. Ha a szorzatok eltérnek, az arányosság nem helyes.
Meg lehet változtatni az arányosság tagjainak helyét?
Igen, ha a szabályok szerint tesszük. Egy helyes arányosságban felcserélhetjük a szélső tagokat, felcserélhetjük a középső tagokat, vagy megfordíthatjuk mindkét oldalt – az arányosság helyes marad. A 4 : 6 = 10 : 15 arányból 4 : 10 = 6 : 15 vagy 6 : 4 = 15 : 10 lesz – az átlós szorzat mindenhol 60. De csak egy számot felcserélni nem lehet.
Mit jelent az „arányosság átlós szorzása”?
Ez az arányosság alapvető tulajdonságának népies elnevezése. A számokat átlósan, „keresztbe” szorozzák: a szélsőt a szélsővel és a középsőt a középsővel. Ebből egy ismeretlent tartalmazó egyenlet keletkezik, amelyet egy osztással oldunk meg. Nincs külön „kereszt módszer” az alapvető tulajdonságon kívül.
Hogyan állapítsuk meg, hogy egy feladatban egyenes vagy fordított arányosságról van-e szó?
Gondolatban növeljük meg az első mennyiséget kétszeresére, és nézzük meg a másodikat. Ha az is kétszeresére nőtt – az arány egyenes, az arányt „ahogy van” állítjuk fel. Ha felére csökkent – az arány fordított, a második viszonyt meg kell fordítani. További jel: az egyenes arányosságnál a mennyiségek aránya állandó, a fordítottnál a szorzatuk.
Hogyan oldjunk meg százalékos feladatokat arányon keresztül?
Állítsunk fel „rész : egész = százalék : 100” arányt, és keressük meg az ismeretlent átlós szorzással. Például 350 12%-a: kapunk x : 350 = 12 : 100, tehát 100x = 4200 és x = 42. Ugyanezzel a módszerrel keressük meg az egészet az ismert részből, és magát a százalékot is.
