Számok oszthatósági szabályai: táblázat és példák

Az oszthatósági szabály egy olyan szabály, amely alapján megállapítható, hogy egy szám osztható-e maradék nélkül egy másik számmal, anélkül, hogy magát a műveletet elvégeznénk. Elég megnézni az utolsó számjegyeket, vagy összeadni a szám összes számjegyét.

Az oszthatósági szabályok hasznosak mindenhol, ahol gyorsan meg kell érteni egy szám "szerkezetét":

• Törtek egyszerűsítésekor – azonnal látható, mivel lehet egyszerűsíteni a számlálót és a nevezőt;
• Számok prímtényezőkre bontásakor;
• Közös osztó és közös többszörös keresésekor;
• Példák és feladatok megoldásának gyors ellenőrzésekor.

Fontos, hogy ne keverjük össze a két különböző kérdést. „Osztható-e 3726 a 9-cel?” – erre válaszol az oszthatósági szabály: a számjegyek összege 3 + 7 + 2 + 6 = 18 osztható 9-cel, tehát igen. A „mennyi lesz az eredmény?” – ez már maga a művelet: 3726 : 9 = 414. A szabály csak „igen” vagy „nem” választ ad, de azonnal és fejben.

Az összes iskolai oszthatósági szabályt jó, ha egy táblázatban tartod szem előtt. A szín jelzi, hová kell nézni: az utolsó számjegyre, a számjegyek összegére, az utolsó két-három számjegy "farkára", vagy rögtön két szabályra.

A legegyszerűbb csoport: csak az utolsó számjegyet nézzük, a többi nem számít.

• 2-vel oszthatók a páros számok – azok, amelyek 0, 2, 4, 6 vagy 8-cal végződnek;
• 5-tel – a 0 vagy 5-tel végződő számok;
• 10-zel – a 0-val végződő számok.

A szám hossza nem számít: a 987 654 320 osztható 2-vel, 5-tel és 10-zel is, mert 0-ra végződik. A 1435 pedig osztható 5-tel (utolsó számjegye 5), de nem osztható 2-vel vagy 10-zel – páratlan szám.

Ebből egy hasznos következtetés: 10-zel pontosan azok a számok oszthatók, amelyek egyszerre oszthatók 2-vel és 5-tel.

Itt az utolsó számjegy nem döntő – a szám összes számjegyének összege a lényeg:

• egy szám osztható 3-mal, ha a számjegyek összege osztható 3-mal;
• egy szám osztható 9-cel, ha a számjegyek összege osztható 9-cel.

Ha az összeg nagy lett, a szabályt alkalmazhatod rá ismételten: a 899 991 szám számjegyeinek összege 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, a 45 összege pedig 4 + 5 = 9 – tehát az eredeti szám osztható 9-cel és 3-mal is.

A szabályok hasonlóak, de nem helyettesítik egymást. Minden szám, amely osztható 9-cel, osztható 3-mal is – hiszen maga a kilences osztható a hárommal. Az fordítottja nem igaz: a számjegyek összege osztható 3-mal, de nem osztható 9-cel, és akkor a szám csak az egyik szabálynak felel meg a kettő közül. Mindkét esetet részletezzük lentebb.

Az utolsó számjegy itt kevés – több utolsó számjegy "farka" kell:

• 4-gyel osztható az a szám, amelynek utolsó két számjegye által alkotott szám osztható 4-gyel;
• 8-cal – ha az utolsó három számjegy által alkotott szám osztható 8-cal;
• 25-tel – ha az utolsó két számjegy 00, 25, 50 vagy 75.

Miért elég a farok: a 100 osztható 4-gyel és 25-tel is, az 1000 pedig osztható 8-cal. Ezért minden, ami ettől balra van, már önmagában osztható a megfelelő számmal, és nem befolyásolja az eredményt.

Ebből egy fontos következtetés: a párosság nem elegendő a négyhez és a nyolchoz. Egy szám lehet páros, de ha a két- vagy háromjegyű farka nem osztható maradék nélkül, akkor az egész szám sem osztható. A farkok magyarázata – az alábbi betétben.

A hatosnak nincs külön szabálya: 6 = 2 · 3, és a tényezők relatív prímek. Ezért a szabály összetett – egy szám osztható 6-tal, ha egyidejűleg osztható 2-vel és 3-mal.

Ellenőrizzük az 5124-et: utolsó számjegye 4 – páros szám, tehát osztható 2-vel; a számjegyek összege 5 + 1 + 2 + 4 = 12 osztható 3-mal. Mindkét feltétel teljesül → 5124 : 6 = 854.

Csak a párosság nem elég: a 1000 páros, de a számjegyek összege 1, és nem osztható 3-mal, ezért a szám nem osztható 6-tal. Nem működik a fordított fele sem: a 4521 számjegyek összege 12 osztható 3-mal, de maga a szám páratlan – 6-tal sem osztható.

Pontosan így állnak össze a többi összetett szabályok: 12-vel – osztható 3-mal és 4-gyel, 15-tel – 3-mal és 5-tel, 18-cal – 2-vel és 9-cel, 45-tel – 5-tel és 9-cel.

A 11-re vonatkozó oszthatósági szabály a váltakozó előjelű számjegyösszeget használja. A számjegyeket az utolsótól kezdve adjuk össze, felváltva változtatva az előjelet: plusz, mínusz, plusz, mínusz. Ha az eredmény osztható 11-gyel (beleértve a nullát is), akkor az egész szám is osztható 11-gyel.

Ugyanezt a szabályt gyakran másképp fogalmazzák meg: a páratlan helyeken álló számjegyek összegének és a páros helyeken álló számjegyek összegének különbsége osztható kell, hogy legyen 11-gyel. Ez ugyanaz a szabály.