Az átlag, a medián, a módusz és a terjedelem négy különböző módszer egy számsorozat leírására. Közülük három — az átlag, a medián és a módusz — a középértékek közé tartozik: megmutatják, milyen egy „tipikus” érték. A negyedik, a terjedelem, azt méri, mennyire szóródnak az adatok. Ezen az oldalon mindegyikhez világos definíciót találsz, pontos útmutatót a kiszámításukhoz (beleértve a páros elemszámú mediánt is), tanácsot a használatukhoz, kidolgozott példákat, gyakori hibákat és egy interaktív kvízt a gyakorláshoz.
Mik az átlag, a medián, a módusz és a terjedelem?
Mindegyik mérőszám más kérdésre ad választ az adataidról:
- Átlag — a számtani közép. Egyetlen számmá egyenlíti ki az összes értéket.
- Medián — a sorba rendezett adatok középső értéke.
- Módusz — az az érték, amely a leggyakrabban fordul elő.
- Terjedelem — a szóródás, a legkisebb és a legnagyobb érték közötti különbség.
Az alábbi táblázat bemutatja, mi micsoda, és hogyan kell kiszámítani. Figyeld meg, hogy csak a módusz foglalkozik a gyakorisággal, és csak a terjedelem írja le a szóródást a középérték helyett.
| Mérőszám | Mit jelent | Hogyan számoljuk |
|---|---|---|
| Átlag | Az átlagos érték | Összeadjuk az összes számot, majd elosztjuk az elemszámmal |
| Medián | A sorba rendezett adatok középső értéke | Sorba rendezzük a számokat; kiválasztjuk a középsőt. Ha két középső szám van, átlagoljuk őket |
| Módusz | A leggyakoribb érték | Megkeressük a leggyakrabban előforduló értéket. Lehet egy, több, vagy egy sem |
| Terjedelem | Az adatok szóródása | Kivonjuk a legkisebb értéket a legnagyobbból |
Hogyan határozzuk meg az átlagot, a mediánt és a móduszt
Számítsuk ki mind a négyet egy adathalmazon, hogy lásd, miben különböznek. Vegyük a 4, 8, 8, 5, 3, 8, 6 számokat (hét érték).
Átlag. Összegzés: 4 + 8 + 8 + 5 + 3 + 8 + 6 = 42. Hét érték van, tehát az átlag 42 ÷ 7 = 6.
Medián. Először rendezzük sorba: 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8. Hét érték esetén a középső a 4. helyen áll, tehát a medián 6. (Mindig rendezz sorba, mielőtt kiválasztod a középsőt — ez a leggyakoribb hiba.)
Módusz. A 8-as érték háromszor szerepel, többször, mint bármelyik másik, tehát a módusz 8.
Terjedelem. A legnagyobb érték 8, a legkisebb 3, tehát a terjedelem 8 − 3 = 5.
Egy adathalmaz, négy különböző válasz — ezért van szükségünk négyféle mérőszámra.
Mikor melyik mérőszámot használjuk
A mérőszámok nem versenyeznek egymással — mindegyik másfajta kérdésre a legalkalmasabb.
- Átlag a mindennapi „átlag”, akkor jó, ha az értékek viszonylag egyenletesek, mint például a teszteredmények vagy a napi hőmérséklet. Gyengéje: egyetlen nagyon nagy vagy nagyon kicsi érték (kiugró érték) messzire elhúzhatja a középtől.
- Medián a középső érték, így a kiugró értékek alig befolyásolják. Ezért adják meg a lakásárakat és a jövedelmeket általában mediánban — egyetlen luxusvilla nem torzítja el a tipikus értéket.
- Módusz az egyetlen mérőszám, amely olyan dolgokra is működik, amiket nem lehet átlagolni, mint például a leggyakrabban eladott cipőméret vagy az osztály kedvenc színe. Egy adathalmaznak lehet egy, több vagy egyetlen módusza sem.
- Terjedelem nem ír le tipikus értéket — azt mutatja meg, mennyire szóródnak az adatok. A kis terjedelem azt jelenti, hogy az értékek közel vannak egymáshoz; a nagy terjedelem azt, hogy távol vannak.
Kidolgozott példák: lépésről lépésre
1. példa. Mind a négy mérőszám egy adathalmazon
Adathalmaz: 7, 3, 7, 10, 3, 6, 3
1. lépés — Sorba rendezés. 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10.
2. lépés — Átlag. Összegzés: 3 + 3 + 3 + 6 + 7 + 7 + 10 = 39. Hét érték van, tehát az átlag 39 ÷ 7 ≈ 5,57.
3. lépés — Medián. Hét érték esetén a középső a 4. a sorba rendezett listában: 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10. A medián 6.
4. lépés — Módusz. A 3-as érték háromszor szerepel, többször, mint bármelyik másik, tehát a módusz 3.
5. lépés — Terjedelem. Legnagyobb mínusz legkisebb: 10 − 3 = 7.
Válasz: átlag ≈ 5,57, medián = 6, módusz = 3, terjedelem = 7.
2. példa. Medián páros elemszámú adathalmaznál
Adathalmaz: 12, 5, 8, 20 (négy érték — páros darabszám).
1. lépés — Sorba rendezés. 5, 8, 12, 20.
2. lépés — A két középső érték megkeresése. Páros elemszámnál nincs egyetlen középső szám. Itt a két középső érték 8 és 12.
3. lépés — Átlagolás. (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. A medián 10 — annak ellenére, hogy a 10 nem szerepelt az eredeti számok között. Ez normális egy páros elemszámú mediánnál.
3. példa. Adathalmaz módusz nélkül
Adathalmaz: 2, 5, 9, 11, 14.
Minden érték pontosan egyszer szerepel, tehát egyetlen érték sem ismétlődik. Ennek az adathalmaznak nincs módusza — ez egy érvényes válasz, nem hiba.
Ezzel szemben a 4, 4, 7, 7, 9 adathalmaznak két módusza van (4 és 7), mert mindkettő a leggyakrabban fordul elő. A két módusszal rendelkező halmazt bimodálisnak nevezzük.
Gyakori hibák, amiket érdemes elkerülni
-
A medián meghatározása a számok sorba rendezése nélkül.
A medián a sorba rendezett számok középső értéke. Mindig rendezd sorba a legkisebbtől a legnagyobbig, mielőtt kiválasztod a középsőt. A 7, 2, 9 sorozatban a medián 7 (sorba rendezve: 2, 7, 9), nem 9.
-
Páros elemszámnál csak az egyik középső szám kiválasztása.
Páros darabszámnál nincs egyetlen középső érték. Vedd a két középső értéket és átlagold őket. Az 5, 8, 12, 20 sorozatnál a medián (8 + 12) ÷ 2 = 10, nem 8 vagy 12.
-
Annak feltételezése, hogy minden adathalmaznak pontosan egy módusza kell, hogy legyen.
Egy adathalmaznak lehet nulla módusza (ha semmi sem ismétlődik) vagy több módusza (ha két vagy több érték holtversenyben a leggyakoribb). Mindkettő helyes válasz — ne erőltess egyetlen móduszt.
-
Az átlag és a medián összekeverése, és ugyanannak kezelése.
Az átlag a számtani közép (összeadunk és osztunk); a medián a sorba rendezett adatok középső értéke. Gyakran különböznek, különösen, ha van kiugró érték. A 2, 3, 4, 100 sorozatnál az átlag 27,25, de a medián csak 3,5.
-
A terjedelem összekeverése a módusszal, vagy a kivonás elfelejtése.
A terjedelem a szóródás mérőszáma: legnagyobb érték mínusz legkisebb érték. Ez egyetlen szám, amely a szóródást írja le, nem a leggyakoribb érték. A 4, 9, 15 sorozatnál a terjedelem 15 − 4 = 11.
Gyakran ismételt kérdések
Mik az átlag, a medián, a módusz és a terjedelem?
Az átlag a számtani közép (összeadjuk az összes értéket és elosztjuk az elemszámmal). A medián a sorba rendezett adatok középső értéke. A módusz a leggyakrabban előforduló érték. A terjedelem a legnagyobb érték mínusz a legkisebb érték. Az átlag, a medián és a módusz a tipikus értéket írja le; a terjedelem azt, mennyire szóródnak az adatok.
Hogyan számoljuk ki egy adathalmaz átlagát?
Add össze az összes számot az összeg megkapásához, majd oszd el az összeget az elemszámmal. Például a 4, 6, 8, 2 átlaga (4 + 6 + 8 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5.
Hogyan számoljuk ki a mediánt, ha páros számú érték van?
Rendezd sorba a számokat, majd vedd a két középső értéket és átlagold őket (add össze és oszd el 2-vel). Az 5, 8, 12, 20 sorozatnál a két középső érték 8 és 12, tehát a medián (8 + 12) ÷ 2 = 10. Az eredmény lehet olyan szám is, amely nem szerepel az eredeti halmazban.
Mi a különbség az átlag és a medián között?
Az átlag az összes érték számtani közepe, így minden szám befolyásolja. A medián csak a sorba rendezett középső érték, így a nagyon nagy vagy nagyon kicsi számok (kiugró értékek) alig befolyásolják. Ha egy adathalmazban vannak kiugró értékek, a medián gyakran tipikusabb értéket ad, mint az átlag.
Lehet egy adathalmaznak több módusza, vagy egy sem?
Igen. Ha egyetlen érték sem ismétlődik, az adathalmaznak nincs módusza. Ha két vagy több érték holtversenyben a leggyakoribb, a halmaznak több módusza van — a két móduszt bimodálisnak nevezzük. A módusz hiánya vagy több módusz megléte teljesen érvényes.
Mik azok a középértékek?
A középértékek olyan számok, amelyek egy adathalmaz középpontját vagy tipikus értékét írják le. A három fő típus az átlag, a medián és a módusz. A terjedelem nem középérték — az a szóródást méri.
