A nevezetes azonosságok olyan kész algebrai összefüggések, amelyek lehetővé teszik a zárójelek felbontását és a kifejezések tényezőkre bontását hosszas szorzás nélkül. Ezen az oldalon megtalálod mind a hét képlet táblázatát: az összeg és a különbség négyzete, a négyzetek különbsége, az összeg és a különbség köbe, valamint az összegek és különbségek köbe. Minden képletet levezetéssel és példákkal mutatunk be, a végén pedig egy interaktív gyakorlófeladat vár, ahol azonnal kipróbálhatod a tudásodat.
Mik azok a nevezetes azonosságok?
A nevezetes azonosságok olyan összefüggések, amelyeket egyszer kell gondosan levezetni, majd megjegyezni az eredményt. Így a későbbiekben nem kell minden alkalommal újra elvégezni a zárójelbontást: elég felismerni a „mintát”, és behelyettesíteni a saját számaidat vagy betűidet.
A 7. osztályos algebrában a nevezetes azonosságokat két irányban használjuk:
- balról jobbra — a zárójelek gyors felbontásához, egy kifejezés négyzetre vagy köbre emeléséhez;
- jobbról balra — a kifejezés tényezőkre bontásához (ez szükséges törtek egyszerűsítéséhez és egyenletek megoldásához).
Összesen hét képletet érdemes megjegyezni. Alább egy összefoglaló táblázatot találsz, majd az egyes képletek részletes elemzését.
Nevezetes azonosságok táblázata
Mind a hét nevezetes azonosságot kényelmesen áttekintheted egyetlen táblázatban. Az \(a\) és \(b\) betűk itt bármilyen kifejezést jelölhetnek: számot, változót vagy akár egy olyan egytagú kifejezést is, mint a \(2x\).
| Képlet | Jelölés |
|---|---|
| Összeg négyzete | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Különbség négyzete | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Négyzetek különbsége | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Összeg köbe | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Különbség köbe | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Összegek köbe | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Különbségek köbe | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Összeg és különbség négyzete
Az összeg négyzete úgy keletkezik, ha az \((a+b)\) kifejezést megszorozzuk önmagával:
Szavakkal: az összeg négyzete egyenlő az első tag négyzetével, plusz az első és a második tag kétszeres szorzatával, plusz a második tag négyzetével. Ugyanígy vezethető le a különbség négyzete – a középső tag előjele mínusz lesz:
A legfontosabb, hogy ne hagyjuk ki a középső \(2ab\) tagot: éppen emiatt \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Az összeg és a különbség négyzeténél csak a \(2ab\) előtti előjel különbözik, az \(a^2\) és \(b^2\) szélső tagok mindig pozitívak.
Példa. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Az összeg négyzetének szemléletes geometriai jelentése is van: ez egy \((a+b)\) oldalú nagy négyzet területe.
Négyzetek különbsége
Ha összeszorozzuk ugyanazon kifejezések összegét és különbségét, a középső tagok kiejtik egymást:
Így kapjuk a négyzetek különbségének képletét: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Ez a leghasznosabb azonosság a tényezőkre bontáshoz: amint meglátsz két négyzet közötti különbséget, azonnal bontsd fel szorzattá.
Példa (zárójelbontás). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Példa (tényezőkre bontás). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Fontos: a négyzetek összege (\(a^2 + b^2\)) ezzel a képlettel nem bontható tényezőkre – csak a különbség működik.
Összeg köbe, különbség köbe, összegek és különbségek köbe
Az összeg és a különbség köbe már négy tagot tartalmaz:
A különbség köbénél az előjelek váltakoznak: \(+\,-\,+\,-\). És ismét egy gyakori csapda: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) – nem lehet csak úgy „szétosztani” a hatványt, a \(3a^2b\) és \(3ab^2\) középső tagokat nem szabad elhagyni.
Példa. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Külön kategóriát képeznek az összegek és különbségek köbe – ezek éppen ellenkezőleg, tényezőkre bontják a kifejezést:
A második tényezőt az összeg vagy különbség hiányos négyzetének nevezik. A középső tag előjele mindig ellentétes az első zárójelben lévő előjellel: az összegek köbénél \(-ab\), a különbségek köbénél \(+ab\).
Példa. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Példák a nevezetes azonosságok alkalmazására
1. példa. Zárójelbontás: összeg négyzete
Feladat. Emeld négyzetre a \((2x+5)^2\) kifejezést.
1. lépés. Felismerjük az összeg négyzetének képletét: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), ahol \(a = 2x\), \(b = 5\).
2. lépés. Kiszámoljuk az egyes tagokat:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Megoldás. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
2. példa. Összevonás a négyzetek különbsége képlettel
Feladat. Határozd meg a \((3x-4)(3x+4)\) szorzatot.
1. lépés. Ugyanazon kifejezések különbségének és összegének szorzata előtt állunk – ez a négyzetek különbsége \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), ahol \(a = 3x\), \(b = 4\).
2. lépés. Négyzetre emeljük az egyes kifejezéseket: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Megoldás. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
3. példa. Tényezőkre bontás
Feladat. Bontsd tényezőkre az \(x^2 - 36\) és \(x^3 + 27\) kifejezéseket.
Négyzetek különbsége. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Összegek köbe. Észrevesszük, hogy \(27 = 3^3\), tehát \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Alkalmazzuk az \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) képletet, ahol \(a = x\), \(b = 3\):
Figyelj a \(-3x\) előjelre a hiányos négyzetben – az összegek köbénél a középső tag előjele negatív.
4. példa. Összeg köbe
Feladat. Bontsd fel a \((x+2)^3\) zárójelet.
1. lépés. Az összeg köbének képlete: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), ahol \(a = x\), \(b = 2\).
2. lépés. Kiszámoljuk a tagokat sorrendben:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Megoldás. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Gyakori hibák a nevezetes azonosságoknál
-
Elfelejtik a kétszeres szorzatot: azt írják, $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
Az összeg és a különbség négyzetében mindig van egy középső \(2ab\) tag: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Könnyű ellenőrizni – bontsd fel az \((a+b)(a+b)\) szorzást írásban, és a középső tag magától megjelenik.
-
Összekeverik az előjeleket a különbség négyzeténél és a négyzetek különbségénél.
A különbség négyzeténél a mínusz csak a középső tagnál van: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (a szélsők pozitívak). A négyzetek különbségénél viszont a mínusz a két négyzet között áll: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Ezek különböző képletek.
-
„Szétosztják” a hatványt a köbnél: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Ezt nem szabad. Az összeg köbe négy tagot tartalmaz: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Az \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) képlet valami egészen más (összegek köbe), az a tényezőkre bontásról szól.
-
A hiányos négyzetnél az összegek/különbségek köbénél kétszeres szorzatot ($2ab$) írnak.
A hiányos négyzet az \(a^2 \pm ab + b^2\) alakú, kettes nélkül az \(ab\) előtt. Az előjel ellentétes az első zárójel előjelével: összegek köbe \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), különbségek köbe \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Megpróbálják tényezőkre bontani a négyzetek összegét ($a^2 + b^2$).
Csak a négyzetek különbsége bontható tényezőkre: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). A négyzetek összege (\(a^2 + b^2\)) az iskolai tananyagban nem bontható tényezőkre.
Kérdések és válaszok
Összesen hány nevezetes azonosság van?
Hét: összeg négyzete, különbség négyzete, négyzetek különbsége, összeg köbe, különbség köbe, összegek köbe és különbségek köbe. Mindegyik megtalálható a fenti táblázatban.
Mennyi az összeg négyzete?
Az első tag négyzetéhez hozzáadjuk az első és második tag kétszeres szorzatát, majd a második tag négyzetét: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). A különbség négyzeténél a középső tag előjele mínusz: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Hogyan bontható tényezőkre a négyzetek különbsége?
Az \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) képlettel. Például \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Elég észrevenni, hogy mindkét tag teljes négyzet, és mínusz áll közöttük.
Miért nem egyenlő az $(a+b)^2$ az $a^2 + b^2$ kifejezéssel?
Mert az \((a+b)(a+b)\) összeszorzásakor megjelenik még két egyforma \(ab\) tag, amelyek a \(2ab\) középső tagot adják. Ezt nem szabad elhagyni: helyesen \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Mi a különbség az összeg köbe és az összegek köbe között?
Az összeg köbe \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) – ez a zárójelbontás. Az összegek köbe \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) – éppen ellenkezőleg, a kifejezés tényezőkre bontása. Ezek különböző képletek, ne keverd össze őket.
Melyik osztályban tanulják a nevezetes azonosságokat?
Általában 7. osztályban, algebra órákon: először az összeg és különbség négyzete, a négyzetek különbsége, majd a köbös képletek. Ezeket később aktívan használják kifejezések egyszerűsítésére, törtek rövidítésére és egyenletek megoldására.
