A tizedestört olyan szám, amelynek egész és tört részét vessző választja el: 3,25 vagy 0,7. A tizedestörtekkel végzett műveletek – összeadás, kivonás, szorzás és osztás – szinte ugyanúgy történnek, mint a természetes számoknál; a lényeg, hogy figyeljünk a vesszőre. Ezen az oldalon összegyűjtöttük az összes szabályt írásbeli példákkal, útmutatót a vessző eltolásához, a gyakori hibák elemzését és egy interaktív gyakorlót az önellenőrzéshez.
A tizedestört helyiértékei
A vessző utáni minden számjegynek saját neve és értéke van:
- az első helyiérték a tizedek (0,1);
- a második a századok (0,01);
- a harmadik az ezredek (0,001) és így tovább.
Fontos tulajdonság: ha a tört rész jobb oldalára nullákat írunk, a szám értéke nem változik: 5,7 = 5,70 = 5,700. Ezt a tulajdonságot folyamatosan használni fogjuk – lehetővé teszi a tizedesjegyek számának kiegyenlítését összeadásnál, kivonásnál és összehasonlításnál.
Minden művelet tizedestörtekkel: rövid útmutató
Minden műveletnek megvan a saját fő szabálya a vesszővel kapcsolatban. Az alábbi négy kártya a téma lényege, utána pedig minden műveletet részletesen, példákkal mutatunk be.
Tizedestörtek összeadása és kivonása írásban
Az összeadás és a kivonás ugyanazon szabály szerint történik:
- Írjuk egymás alá a számokat úgy, hogy a vessző szigorúan a vessző alatt legyen – így az azonos helyiértékek kerülnek egymás alá: tizedek a tizedek, századok a századok alá.
- Ha a tizedesjegyek száma eltérő, nullákkal egyenlítjük ki őket.
- Összeadunk vagy kivonunk, nem törődve a vesszőkkel, mintha természetes számok lennének.
- Az eredményben a vesszőt az eredeti számok vesszői alá tesszük.
Az egész számot is felírhatjuk tizedestörtként: 6 = 6,00 – ez segít a 6 − 2,35 típusú példáknál.
Tizedestörtek szorzásának szabálya
A szorzás az egyetlen művelet, ahol nem kell a vesszőket egymáshoz igazítani. A tizedestörtek szorzásának szabálya két lépésből áll:
- Szorozzuk a számokat, nem törődve a vesszőkkel – mint a szokásos természetes számokat.
- Az eredményben jobbról annyi számjegyet választunk le vesszővel, ahány tizedesjegy összesen a két tényezőben volt.
Ha a szorzatban kevesebb számjegy van, mint amennyit le kell választani, balról nullákat írunk elé: 12 × 3 = 36, de a 0,12 × 0,3 esetén három helyiértéket kell leválasztani, ezért az eredmény 0,036.
Gyors önellenőrzés: ha egynél kisebb számmal szorzunk, az eredménynek kisebbnek kell lennie az első tényezőnél. Ha nagyobb lett, akkor a vessző rossz helyen van.
Tizedestörtek osztása
Itt két eset van.
Osztás természetes számmal. Osztunk írásban, ahogy szoktunk, a hányadosban pedig akkor tesszük ki a vesszőt, amikor az osztandó egész része elfogyott: 8,46 : 2 = 4,23.
Osztás tizedestörttel. Először megszabadulunk a vesszőtől az osztóban: a vesszőt az osztandóban és az osztóban is jobbra toljuk ugyanannyi helyiértékkel – azaz mindkét számot megszorozzuk 10-zel, 100-zal vagy 1000-rel. A hányados ettől nem változik, az osztás pedig visszavezethető az első esetre.
Szorzás és osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel
A leggyorsabb műveletek tizedestörtekkel a 10-zel, 100-zal vagy 1000-rel való szorzás és osztás. Írásbeli művelet nem szükséges: elég a vesszőt annyi helyiértékkel eltolni, ahány nulla van a 10-ben, 100-ban vagy 1000-ben. Ha nincs elég számjegy, nullákat írunk hozzá.
Tizedestörtek összehasonlítása
A tizedestörteket helyiértékenként hasonlítjuk össze:
- Először az egész részeket: amelyik számnak nagyobb az egész része, az a nagyobb.
- Ha az egész részek egyenlők – összehasonlítjuk a tizedeket, majd a századokat, majd az ezredeket, amíg különbséget nem találunk.
- Hogy ne keveredjünk el, egyenlítsük ki a számjegyek számát nullákkal: az 5,7 és 5,68 összehasonlítása könnyebb 5,70 és 5,68 formában – hetven század több, mint hatvannyolc, tehát 5,7 > 5,68.
A leírás hossza nem jelent semmit: 0,5 nagyobb, mint 0,4999, bár kevesebb számjegyből áll.
Tizedestörtekkel végzett műveletek: példák megoldással
1. példa. Összeadás: 5,3 + 2,47
1. lépés. Kiegyenlítjük a tizedesjegyek számát: 5,3 = 5,30.
2. lépés. Írásban egymás alá írjuk, vessző a vessző alá.
3. lépés. Összeadunk, mint a természetes számokat: 530 + 247 = 777.
4. lépés. Kitesszük a vesszőt az összeadandók vesszői alá: 7,77.
2. példa. Kivonás egész számból: 6 − 2,35
1. lépés. A 6-ot tizedestörtként írjuk fel: 6 = 6,00.
2. lépés. Írásban egymás alá írjuk: 6,00 − 2,35.
3. lépés. Kivonunk a magasabb helyiértékekből való váltással: 3,65.
Ellenőrzés. 3,65 + 2,35 = 6 – stimmel.
3. példa. Szorzás: 2,5 × 0,04
1. lépés. Szorzunk, nem törődve a vesszőkkel: 25 × 4 = 100.
2. lépés. Megszámoljuk a tizedesjegyeket: egy a 2,5-ben és kettő a 0,04-ben – összesen három.
3. lépés. Leválasztunk három jegyet jobbról: 0,100.
4. lépés. Elhagyjuk a tört rész végén lévő nullákat: 0,1.
Nagyságrend ellenőrzése. A 0,04 kisebb, mint egy, tehát az eredménynek kisebbnek kell lennie 2,5-nél – helyes.
4. példa. Osztás tizedestörttel: 1,44 : 1,2
1. lépés. Az osztót egész számmá tesszük: a vesszőt egy hellyel jobbra toljuk mindkét számban – 14,4 : 12-t kapunk.
2. lépés. Elosztjuk az egész részt: 14 : 12 = 1, maradék 2.
3. lépés. Az egész rész elfogyott – kitesszük a vesszőt a hányadosban és lehozzuk a 4-est: 24 : 12 = 2.
Eredmény: 1,2. Ellenőrzés: 1,2 × 1,2 = 1,44.
Gyakori hibák a tizedestörtekkel végzett műveleteknél
-
Összeadásnál és kivonásnál a számokat jobbra igazítják, mint az egész számokat: a 3,25 + 4,8-at vesszőfigyelem nélkül írják egymás alá, és 3,73-at kapnak.
A vesszőhöz igazítsatok, ne az utolsó számjegyhez: 4,8 = 4,80, és akkor 3,25 + 4,80 = 8,05. A tizedeknek a tizedek, a századoknak a századok alatt kell állniuk.
-
Szorzásnál megpróbálják a vesszőket egymáshoz igazítani, vagy a szorzatban a vesszőt a tényezők vesszői alá teszik.
Szorzásnál a vesszőket egyáltalán nem kell igazítani. Szorozzatok, mint az egész számokat, és jobbról annyi jegyet válasszatok le, ahány tizedesjegy összesen a tényezőkben volt.
-
Ha a szorzatban kevesebb számjegy van, mint amennyit le kell választani, elveszítik a nullákat: 0,12 × 0,3 = 0,36 a 0,036 helyett.
12 × 3 = 36 – ez csak két számjegy, de hármat kell leválasztani. Írjátok hozzá a hiányzó nullákat balról: 0,036.
-
Tizedestörttel való osztásnál a vesszőt csak az osztóban tolják el: a 4,2 : 0,7-et 4,2 : 7-té alakítják és 0,6-ot kapnak.
A vesszőt mindkét számban ugyanannyi hellyel toljuk el: 4,2 : 0,7 = 42 : 7 = 6. Különben a hányados 10-szer kisebb lesz.
-
A törteket a számjegyek száma alapján hasonlítják össze: azt hiszik, hogy 5,68 nagyobb, mint 5,7, mert hosszabb a leírás.
Egyenlítsétek ki a jegyeket nullákkal és hasonlítsátok össze helyiértékenként: 5,70 és 5,68 – a tizedeknél 7 > 6, tehát 5,7 > 5,68.
-
10-zel, 100-zal, 1000-rel való szorzásnál és osztásnál a vesszőt nem a megfelelő irányba tolják.
A szorzás növeli a számot – a vessző jobbra megy: 3,74 × 10 = 37,4. Az osztás csökkenti – balra: 3,74 : 10 = 0,374. A helyiértékek száma megegyezik a nullák számával.
Kérdések és válaszok
Milyen tizedestörtekkel végzett műveleteket tanulnak 5. osztályban?
- osztályban mind a négy műveletet tanulják – tizedestörtek összeadását, kivonását, szorzását és osztását, valamint összehasonlításukat és kerekítésüket. Általában először az írásbeli összeadást és kivonást tanulják, majd a szorzást és osztást természetes számmal, végül pedig az osztást tizedestörttel.
Változik a tizedestört, ha jobbra nullákat írunk hozzá?
Nem: 5,7 = 5,70 = 5,700 – ez ugyanaz a szám. A nullák hozzáadását arra használják, hogy kiegyenlítsék a tizedesjegyek számát összeadásnál, kivonásnál és összehasonlításnál. De a számjegyek közé nullát beszúrni vagy a szám közepéből kivenni nem szabad – akkor megváltozik az értéke.
Hogyan kell kerekíteni a tizedestörtet?
Keresd meg azt a helyiértéket, ameddig kerekíteni kell, és nézd meg az utána következő számjegyet: ha kisebb, mint 5 – a kerekítendő számjegy nem változik (3,748 ≈ 3,7), ha 5 vagy több – eggyel nő (2,85 ≈ 2,9). Minden utána következő számjegyet elhagyunk.
Hogyan váltsunk át közönséges törtet tizedestörtre?
Oszd el a számlálót a nevezővel: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Nem minden közönséges tört ad véges tizedestörtet: például 1/3 = 0,333… – végtelen szakaszos tizedestört. Véges tizedestört akkor keletkezik, ha a nevező csak kettesekre és ötösökre bontható.
Milyen sorrendben végezzük a műveleteket tizedestörteket tartalmazó kifejezésekben?
A sorrend ugyanaz, mint a természetes számoknál: először a zárójelben lévő műveletek, majd a szorzás és osztás balról jobbra, végül az összeadás és kivonás balról jobbra. A számok tizedes alakja nem befolyásolja a műveleti sorrendet.
Lehet-e kisebb tizedestörtet osztani nagyobbal?
Igen. Ha az osztandó kisebb az osztónál, a hányados egyszerűen kisebb lesz egynél: 0,3 : 0,6 = 3 : 6 = 0,5. A hányados egész részében ilyenkor 0-t írunk, és a vessző után folytatjuk az osztást.
