Kertotaulu on kaikkien lukujen tulojen tulos 1–10. Tällä sivulla se on kahdessa muodossa: 10 × 10 neliönä (Pythagoraan taulukko) ja sarakkeittain luvuille 2, 3, 4… 9 – molemmat on helppo tulostaa. Lisäksi tarjolla on tekniikoita, joiden avulla taulusta jää opittavaksi alle puolet, sormisääntö yhdeksikölle, yhteys jakolaskuun ja suunnitelma kertotaulun oppimiseksi viikossa. Voit testata itseäsi ”Harjoittelu”-välilehdellä.
Tarkista itseäsi: 10 sarjaa, 12 esimerkkiä kussakin, vihje naapuriesimerkin kautta.
Avaa harjoitusohjelmaMitä on kertolasku
Kertolasku on saman suuruisten luvun yhteenlaskun lyhennetty merkintätapa. Sen sijaan, että kirjoitettaisiin \(4 + 4 + 4\), kirjoitetaan \(4 \times 3\): ”neljä otetaan kolme kertaa”.
Lukuja, joita kerrotaan, kutsutaan tekijöiksi, ja tulosta tulo. Merkinnässä \(4 \times 3 = 12\) tekijät ovat 4 ja 3, tulo on 12.
Kertolasku on kätevintä esittää piste- tai ruutukuviona: kuinka monta riviä ja kuinka monta kussakin. Tällainen kuvio näyttää heti sekä yhteenlaskun että kertolaskun, ja sen, miksi tekijöiden järjestyksen vaihtaminen ei muuta vastausta – riittää, kun kuvan kääntää.
Kertotaulu: Pythagoraan taulukko 1–10
Täydellinen kertotaulu mahtuu yhteen 10 × 10 neliöön – sitä kutsutaan Pythagoraan taulukoksi. Miten sitä käytetään: etsitään ensimmäinen tekijä vasemmasta sarakkeesta, toinen yläriviltä, vastaus on niiden leikkauspisteessä. Esimerkiksi rivi 6 ja sarake 7 kohtaavat kohdassa 42.
Kun katsot taulukkoa tarkemmin, löydät siitä säännönmukaisuuksia. Diagonaalilla ovat neliöt – luvut kerrottuna itsellään. Taulukko on symmetrinen: diagonaalin yläpuolella oleva solu on yhtä suuri kuin sen alapuolella oleva. Ja jokainen rivi on laskentaa tasaisin välein: rivi 3 etenee 3, 6, 9, 12…
Taulukko on kätevä tulostaa ja ripustaa pöydän ylle: neliöt ja toistuvat solut on korostettu värillä.
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
Kertotaulu luvuille 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9 sarakkeittain
Koulussa taulu opetellaan yleensä sarakkeittain: ensin kaikki kertolaskut kahdella, sitten kolmella ja niin edelleen. Ne ovat samoja lukuja kuin Pythagoraan taulukossa, mutta jokainen rivi on kirjoitettu esimerkkeinä. Sarakkeet luvuille 1 ja 10 eivät ole tässä mukana: kertolaskussa yhdellä luku ei muutu, ja kertolaskussa kymmenellä sen perään lisätään nolla.
Sarakkeet ovat hyviä taulun opetteluun osissa. Mutta jos vastaat vain järjestyksessä, on helppo tottua ”laskemaan alusta”. Siksi, kun sarake on opittu, sitä kannattaa harjoitella satunnaisesti.
Kertotaulun oppiminen nopeasti: puolet on jo tuttua
Taulu näyttää sadalta esimerkiltä, mutta todella opittavaa on paljon vähemmän.
- Vaihdannaisuus. \(3 \times 8 = 8 \times 3\). Jos opit toisen, tiedät jo toisen. 100 ruudusta jää 55 erilaista – melkein puolet taulusta ilmaiseksi.
- Kertolasku 0:lla ja 1:llä. Mikä tahansa luku kerrottuna nollalla on nolla. Kerrottuna yhdellä – pysyy itsenään.
- Kertolasku 10:llä. Lisää luvun perään nolla: \(10 \times 4 = 40\).
- Kertolasku 2:lla on kaksinkertaistaminen, luku lasketaan yhteen itsensä kanssa.
- Kertolasku 5:llä on puolet kertolaskusta 10:llä. Kaikki vastaukset päättyvät 0:aan tai 5:een.
Näiden sääntöjen jälkeen sarakkeissa 3–9 jää jäljelle vain vähän esimerkkejä. Jokainen niistä voidaan johtaa jo opitusta – tekniikat alla.
Kertotaulu yhdeksikölle: sormilla ja numeroiden summalla
Yhdeksikön sarake on ”taikaisin”. Siinä on kaksi luotettavaa sääntöä.
Numeroiden summan sääntö. Vastauksissa \(9 \times 2\) – \(9 \times 10\) numeroiden summa on aina 9: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. Ja kymmenien numero on yhdellä pienempi kuin toinen tekijä. Siis \(9 \times 4\): kymmeniä on 3, ja ykkösiä niin monta, että summa on 9, eli 6. Vastaus on 36.
Sormisääntö. Aseta kätesi eteesi, numeroiden sormet vasemmalta oikealle 1–10. Kerroaksesi 9 luvulla, taita sormi, jonka numero vastaa lukua. Sormet taitetun sormen vasemmalla puolella ovat kymmeniä, oikealla puolella ykkösiä. Sääntö toimii tekijöille 1–10.
On myös kolmas tapa, ilman sormia: kerro kymmenellä ja vähennä luku itse.
Kertotaulu luvuille 6, 7 ja 8: neliöt ja naapurit
Näitä sarakkeita pidetään vaikeimpina, mutta kaikkien tekniikoiden jälkeen niistä jää opittavaksi vain muutama uusi esimerkki: 6 × 6, 6 × 7, 6 × 8, 7 × 7, 7 × 8 ja 8 × 8.
Neliöt jäävät helpommin mieleen, koska niitä on vähän ja ne ovat taulukon diagonaalilla: 36, 49, 64. Kun neliöt on opeteltu, naapuriluvut saa yhden askeleen päästä: \(7 \times 8\) on \(7 \times 7\) ja vielä yksi seitsemän: \(49 + 7 = 56\). Samoin \(6 \times 7 = 36 + 6 = 42\).
Toinen tapa on viitoslaskun kautta: \(6 \times 8\) on \(5 \times 8\) ja vielä yksi kahdeksan: \(40 + 8 = 48\).
Luvulle 7 × 8 on myös numerovihje: \(56 = 7 \times 8\) – numerot 5, 6, 7, 8 tulevat peräkkäin.
Kertotaulu ja jakolasku
Jakolasku on kertolaskun käänteistoimitus. Siksi erillistä ”jakolaskutaulua” ei tarvitse opetella: se on jo piilotettu kertotauluun.
Kolmesta luvusta yhdestä esimerkistä muodostuu neljä oikeaa yhtäsuuruutta: kaksi kertolaskua ja kaksi jakolaskua. Jos tiedät, että \(7 \times 8 = 56\), tiedät myös \(56 \div 8 = 7\) ja \(56 \div 7 = 8\).
Miten Pythagoraan taulukkoa käytetään jakolaskuun: etsi jaettava jaettavan riviltä – sarakkeen numero on vastaus.
Kertotaulun oppiminen viikossa: päiväkohtainen suunnitelma
Opiskelujärjestys on tärkeä: ensin helpoimmat sarakkeet ja säännöt, jotka antavat paljon vastauksia kerralla, ja vaikeimmat esimerkit lopuksi, kun niitä on vähän jäljellä. On parempi opiskella vähän joka päivä, 10–15 minuuttia, kuin kerran pitkään.
Aloita jokainen oppitunti lyhyellä edellisen päivän kertaamisella. Vastaa ääneen ja satunnaisesti, ei järjestyksessä. Kirjoita virheet erikseen ylös: se on henkilökohtainen listasi huomiseksi.
Itseään on helppo testata tämän sivun ”Harjoittelu”-välilehdellä: siellä voit valita yksittäisiä sarakkeita – esimerkiksi vain 6, 7 ja 8 – ja harjoitella juuri niitä.
Esimerkkejä selityksineen: miten löytää vastaus, jos unohtaa
Esimerkki 1. Unohtui 6 × 9 – miten palauttaa mieleen
Tapa 1 – kymppien kautta. \(10 \times 6 = 60\), vähennetään yksi kuutonen: \(60 - 6 = 54\).
Tapa 2 – vitosten kautta. \(5 \times 9 = 45\), lisätään vielä yksi yhdeksän: \(45 + 9 = 54\).
Numeroiden summan tarkistus: \(5 + 4 = 9\) – vastaus yhdeksikön sarakkeesta näyttää oikealta.
Vastaus: \(6 \times 9 = 54\).
Esimerkki 2. 4 × 8 kaksinkertaistamalla
Vaihe 1. Kertoa neljällä tarkoittaa kaksinkertaistaa kahdesti.
Vaihe 2. \(8 + 8 = 16\).
Vaihe 3. \(16 + 16 = 32\).
Vastaus: \(4 \times 8 = 32\). Sama luku on myös kohdassa \(8 \times 4\).
Esimerkki 3. Jakolasku taulukon avulla: 72 ÷ 9
Vaihe 1. Esitetään kertolaskukysymys: millä luvulla pitää kertoa 9, jotta saadaan 72?
Vaihe 2. Muistetaan yhdeksikön sarake: luvussa 72 kymmenien numero on 7, joten toinen tekijä on yhdellä suurempi – 8.
Vaihe 3. Tarkistetaan: \(9 \times 8 = 72\).
Vastaus: \(72 \div 9 = 8\).
Esimerkki 4. Tehtävä: kynärasioita
Tehtävä. Yhdessä rasiassa on 6 kynää. Kuinka monta kynää on 4 rasiassa?
Vaihe 1. Sama määrä otetaan monta kertaa – se on kertolasku: \(6 \times 4\).
Vaihe 2. Kaksinkertaistetaan kahdesti: \(6 \to 12 \to 24\).
Vastaus: 24 kynää.
Yleisiä virheitä kertotaulussa
-
Sekoittavat 7 × 8 ja 6 × 8: sanovat ”7 × 8 = 48”.
48 on 6 × 8. Vastaus 7 × 8 on yhden kahdeksikon verran suurempi: 48 + 8 = 56. Vihje: merkinnässä 56 = 7 × 8 numerot 5, 6, 7, 8 tulevat peräkkäin.
-
Sekoittavat luvut 6 × 7, 6 × 8 ja 7 × 8 – luvut 42, 48 ja 56 ”kelluvat”.
Tukeudu neliöihin: 6 × 6 = 36, joten 6 × 7 = 36 + 6 = 42. 7 × 7 = 49, joten 7 × 8 = 49 + 7 = 56. Ja 6 × 8 = 40 + 8 = 48 viitosen kautta. Jokainen kolmesta luvusta saadaan omalla lyhyellä tavallaan.
-
Kertolaskussa nollalla kirjoittavat itse luvun: 5 × 0 = 5.
Jos otetaan nolla viisi kertaa, saadaan nolla. Mikä tahansa luku kerrottuna nollalla on nolla. Luku pysyy itsenään vain kerrottuna yhdellä.
-
Kertolaskussa yhdellä lisäävät yhden: 8 × 1 = 9.
Kertoa yhdellä tarkoittaa ottaa luku kerran, siksi 8 × 1 = 8. Yhden lisääminen on yhteenlaskua, ei kertolaskua.
-
Laskevat yhteen kertomisen sijaan: 4 × 4 = 8.
4 + 4 = 8, mutta 4 × 4 on neljä nelosta: 4 + 4 + 4 + 4 = 16. Sekaannus johtuu siitä, että 2 × 2 = 2 + 2 = 4 – tämä on ainoa tapaus, jossa yhteenlasku ja kertolasku ovat samoja.
-
Tietävät sarakkeen vain järjestyksessä ja laskevat joka kerta alusta: ”7, 14, 21, 28…”.
Se on laskemista, ei taulun osaamista. Kun sarake on opittu, harjoittele sitä satunnaisesti, kunnes vastaus tulee heti. ”Harjoittelu”-välilehdellä esimerkit ovat juuri tällaisia.
Kysymyksiä ja vastauksia
Miten oppia kertotaulu nopeasti?
Älä opettele sataa esimerkkiä järjestyksessä. Ensiksi vaihdannaisuus ja helpot säännöt (×0, ×1, ×2, ×5, ×10) – niiden jälkeen taulusta jää jäljelle alle puolet. Sitten tekniikat ×4 ja ×9, sen jälkeen neliöt ja naapurit luvuille ×6, ×7, ×8. Opiskele 10–15 minuuttia päivässä ja testaa itseäsi satunnaisesti – näin taulu omaksutaan noin viikossa.
Kuinka monta kertotaulun esimerkkiä pitää oikeasti opetella?
Pythagoraan taulukossa on 100 ruutua, mutta vaihdannaisuuden vuoksi erilaisia esimerkkejä on vain 55. Jos jätetään pois kertolaskut 0:lla, 1:llä, 2:lla, 5:llä ja 10:llä, jotka ratkeavat säännöillä, ja yhdeksikön sarake sormisäännöllä, jäljelle jää 15 esimerkkiä. Ja vaikeimpia, joihin tarvitaan tekniikkaa, on noin kymmenen, pääasiassa sarakkeissa 6, 7 ja 8.
Miten Pythagoraan taulukko eroaa kertotaulusta sarakkeittain?
Luvut niissä ovat samoja. Pythagoraan taulukko on 10 × 10 neliö, jossa vastaus on rivin ja sarakkeen leikkauspisteessä; siinä näkyvät hyvin säännönmukaisuudet ja symmetria. Sarakkeet ovat samoja rivejä, kirjoitettuna esimerkkeinä ”7 × 3 = 21”; niitä on helppo opetella osissa.
Miten tulostaa kertotaulu?
Avaa tämä sivu ja valitse selaimen tulostus (tietokoneella Ctrl+P tai ⌘+P). Tulostukseen tulevat sekä Pythagoraan taulukko että saraketaulukko; voit jättää tarpeettomat sivut tulostamatta ilmoittamalla niiden numerot tulostusikkunassa.
Missä luokassa opetellaan kertotaulu?
Yleensä 2.–3. luokalla: ensin tutustutaan kertolaskuun saman suuruisten lukujen yhteenlaskuna, sitten opetellaan taulu sarakkeittain ja yhdistetään se heti jakolaskuun. Tarkka järjestys riippuu koulun opetussuunnitelmasta.
Miksi kertotaulu pitää opetella ulkoa, kun on laskukone?
Koko muu matematiikka perustuu kertotauluun: jakolasku, murtoluvut, supistaminen, allekkain kertominen, yhtälöt. Jos laskee joka kerta alusta, huomio siirtyy aritmetiikkaan, ei itse tehtävään.
Miten oppia kertotaulu lapsen kanssa ilman kyyneliä?
Lyhyitä harjoituksia joka päivä, ei yhtä pitkää. Aloita siitä, mikä onnistuu, ja näytä, että lapsi osaa monet vastaukset jo. Kehu nopeudesta ja oikeista vastauksista, ja vaikeampia esimerkkejä kerrataan useammin. Pelit nopeuteen ja satunnaiset kortit toimivat hyvin.
Miten varmistaa, että kertotaulu on opittu?
Kertotaulu on opittu, jos vastaus mihin tahansa satunnaiseen esimerkkiin tulee heti, ilman uudelleenlaskentaa, ja vastaat samalla nopeudella käänteisiin jakolaskuihin. Voit testata itseäsi ”Harjoittelu”-välilehdellä – siellä näkyy, missä sarakkeissa on virheitä.
