Jaollisuustunnusmerkit ovat sääntöjä, joiden avulla voidaan selvittää, jaako luku tasan jakamatta sitä: riittää katsoa viimeisiä numeroita tai laskea yhteen kaikki luvun numerot. Tällä sivulla on taulukko jaollisuustunnusmerkeistä luvuilla 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 ja 25, havainnollinen selitys tunnusmerkeistä luvuilla 3 ja 9 numeroiden summan avulla, esimerkkejä ratkaisuineen, yleisiä virheitä ja interaktiivinen harjoitusohjelma, jossa voit heti testata itseäsi.
Mikä on jaollisuustunnusmerkki
Jaollisuustunnusmerkki on sääntö, jonka avulla voidaan selvittää, jaako luku tasan toisella luvulla suorittamatta itse jakolaskua. Riittää katsoa viimeisiä numeroita tai laskea yhteen kaikki luvun numerot.
Jaollisuustunnusmerkit auttavat kaikkialla, missä täytyy nopeasti ymmärtää luvun "rakenne":
- murtolukuja supistettaessa – näkee heti, millä supistaa osoittajaa ja nimittäjää;
- lukua jaettaessa alkutekijöihin;
- etsittäessä yhteistä jakajaa ja yhteistä jaettavaa;
- tarkistettaessa nopeasti vastausta laskuissa ja tehtävissä.
On tärkeää olla sekoittamatta kahta eri kysymystä. "Jaako luku 3726 luvulla 9?" – tähän vastaa jaollisuustunnusmerkki: numeroiden summa 3 + 7 + 2 + 6 = 18 jaettuna 9:llä onnistuu, joten kyllä. Ja "kuinka paljon tulee?" – tämä on itse jakolasku: 3726 : 9 = 414. Tunnusmerkki antaa vain vastauksen "kyllä" tai "ei", mutta senkin hetkessä ja päässä.
Jaollisuustunnusmerkkien taulukko
Kaikki koulun jaollisuustunnusmerkit on kätevä pitää silmien edessä yhdessä taulukossa. Väri kertoo, mihin kiinnittää huomiota: viimeiseen numeroon, numeroiden summaan, kahden tai kolmen viimeisen numeron "hännän" tai suoraan kahteen tunnusmerkkiin.
| Mitä | Jaollisuustunnusmerkki | Esimerkki |
|---|---|---|
| 2 | viimeinen numero on 0, 2, 4, 6 tai 8 | 3726 → 6 |
| 3 | numeroiden summa jaollinen 3:lla | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | kaksi viimeistä numeroa jaollisia 4:llä | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | viimeinen numero on 0 tai 5 | 1435 → 5 |
| 6 | jaollinen sekä 2:lla että 3:lla samanaikaisesti | 5124 → 4 ja 12 |
| 8 | kolme viimeistä numeroa jaollisia 8:lla | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | numeroiden summa jaollinen 9:llä | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | viimeinen numero on 0 | 2340 → 0 |
| 11 | numerot lopusta vuorotellen + ja −; summa jaollinen 11:llä | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | kaksi viimeistä numeroa ovat 00, 25, 50 tai 75 | 1875 → 75 |
Jaollisuustunnusmerkit luvuilla 2, 5 ja 10
Helpoin ryhmä: katsotaan vain viimeistä numeroa, muut eivät ole tärkeitä.
- luvulla 2 jaollisia ovat kaikki parilliset luvut – ne, jotka päättyvät numeroon 0, 2, 4, 6 tai 8;
- luvulla 5 – luvut, jotka päättyvät numeroon 0 tai 5;
- luvulla 10 – luvut, jotka päättyvät numeroon 0.
Luvun pituudella ei ole merkitystä: 987 654 320 jaollinen sekä 2:lla, 5:llä että 10:llä, koska se päättyy nollaan. Ja 1435 jaollinen 5:llä (viimeinen numero 5), mutta ei jaollinen 2:lla eikä 10:llä – luku on pariton.
Tästä hyödyllinen johtopäätös: luvulla 10 jaollisia ovat täsmälleen ne luvut, jotka ovat jaollisia sekä 2:lla että 5:llä samanaikaisesti.
Jaollisuustunnusmerkit luvuilla 3 ja 9: numeroiden summa
Tässä viimeinen numero ei merkitse mitään – toimii kaikkien luvun numeroiden summa:
- luku on jaollinen 3:lla, jos sen numeroiden summa on jaollinen 3:lla;
- luku on jaollinen 9:llä, jos sen numeroiden summa on jaollinen 9:llä.
Jos summa on suuri, tunnusmerkkiä voi soveltaa siihen uudelleen: luvun 899 991 numeroiden summa 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, ja luvun 45 summa 4 + 5 = 9 – joten alkuperäinen luku on jaollinen sekä 9:llä että 3:lla.
Tunnusmerkit ovat samankaltaisia, mutta eivät korvaa toisiaan. Jokainen luku, joka on jaollinen 9:llä, on jaollinen myös 3:lla – koska yhdeksän itsessään on jaollinen kolmella. Päinvastoin ei aina päde: numeroiden summa voi olla jaollinen 3:lla eikä jaollinen 9:llä, ja silloin luku läpäisee vain yhden kahdesta tunnusmerkistä. Molemmat tapaukset käsitellään alla.
Jaollisuustunnusmerkit luvuilla 4, 8 ja 25: katsotaan luvun "häntää"
Yksi viimeinen numero ei riitä – tarvitaan useamman viimeisen numeron "häntä":
- luvulla 4 jaollinen on luku, jonka kaksi viimeistä numeroa muodostavat luvun, joka on jaollinen 4:llä;
- luvulla 8 – jos kolme viimeistä numeroa muodostavat luvun, joka on jaollinen 8:lla;
- luvulla 25 – jos kaksi viimeistä numeroa muodostavat 00, 25, 50 tai 75.
Miksi häntä riittää: 100 on jaollinen sekä 4:llä että 25:llä, ja 1000 on jaollinen 8:lla. Siksi kaikki, mikä on vasemmalla puolella, on jo itsessään jaollinen tarvittavalla luvulla eikä vaikuta tulokseen.
Tästä tärkeä seuraus: parillisuus ei riitä neloselle ja kasille. Luku voi olla parillinen, mutta jos sen kahden tai kolmen numeron häntä ei ole jaollinen, niin ei ole jaollinen koko luku. Hännän tarkastelu – alla olevassa liitteessä.
Jaollisuustunnusmerkki luvulla 6
Sille ei ole omaa erillistä sääntöä: 6 = 2 · 3, ja tekijät ovat keskenään jaottomia. Siksi tunnusmerkki on yhdistetty – luku on jaollinen 6:lla, jos se on jaollinen samanaikaisesti 2:lla ja 3:lla.
Tarkistetaan 5124: viimeinen numero 4 – luku on parillinen, joten jaollinen 2:lla; numeroiden summa 5 + 1 + 2 + 4 = 12 on jaollinen 3:lla. Molemmat ehdot täyttyvät → 5124 : 6 = 854.
Pelkkä parillisuus ei riitä: 1000 on parillinen, mutta sen numeroiden summa on 1 eikä jaollinen 3:lla, joten luku ei ole jaollinen 6:lla. Ei toimi myöskään käänteinen puolisko: luvun 4521 numeroiden summa 12 on jaollinen 3:lla, mutta itse luku on pariton – se ei ole jaollinen 6:lla.
Samalla tavalla muodostetaan muut yhdistetyt tunnusmerkit: luvulla 12 – jaollinen 3:lla ja 4:llä, luvulla 15 – 3:lla ja 5:llä, luvulla 18 – 2:lla ja 9:llä, luvulla 45 – 5:llä ja 9:llä.
Jaollisuustunnusmerkki luvulla 11
Jaollisuustunnusmerkki luvulla 11 käyttää vuorottelevaa numeroiden summaa. Numerot lasketaan yhteen, alkaen viimeisestä, vaihtaen merkkiä vuorotellen: plus, miinus, plus, miinus. Jos tulos on jaollinen 11:llä (mukaan lukien nolla), niin koko luku on jaollinen 11:llä.
Tämä sama tunnusmerkki muotoillaan usein toisin: parittomilla paikoilla olevien numeroiden summan ja parillisilla paikoilla olevien numeroiden summan erotuksen on oltava jaollinen 11:llä. Tämä on sama sääntö.
Esimerkkejä jaollisuustunnusmerkeistä
Esimerkki 1. Mille luvuille 7254 on jaollinen
Tehtävä. Määritä, mille luvuista 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 luku 7254 on jaollinen.
Vaihe 1. Luvulla 2. Viimeinen numero 4 – parillinen. Jaollinen: 7254 : 2 = 3627.
Vaihe 2. Luvuilla 5 ja 10. Luku päättyy numeroon 4, ei numeroon 0 tai 5. Ei jaollinen kummallakaan.
Vaihe 3. Luvuilla 3 ja 9. Numeroiden summa: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. Se on jaollinen sekä 3:lla että 9:llä. Siksi 7254 : 3 = 2418 ja 7254 : 9 = 806.
Vaihe 4. Luvulla 6. Luku on jaollinen sekä 2:lla että 3:lla – joten se on jaollinen 6:lla: 7254 : 6 = 1209.
Vaihe 5. Luvulla 4. Kaksi viimeistä numeroa muodostavat 54, ja 54 ei ole jaollinen 4:llä. Ei jaollinen.
Vastaus. 7254 on jaollinen luvuilla 2, 3, 6 ja 9.
Esimerkki 2. Onko luku 4715 jaollinen 3:lla ja 9:llä
Tehtävä. Tarkista luvun 4715 jaollisuus 3:lla ja 9:llä.
Vaihe 1. Lasketaan numeroiden summa: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
Vaihe 2. Luvulla 3. 17 ei ole jaollinen 3:lla (lähimmät jaolliset ovat 15 ja 18). Siksi 4715 ei ole jaollinen 3:lla.
Vaihe 3. Luvulla 9. 17 ei ole jaollinen 9:llä edes vähemmän. Siksi 4715 ei ole jaollinen 9:llä.
Mitä luku kuitenkin osaa. Viimeinen numero 5 → luku on jaollinen 5:llä: 4715 : 5 = 943. Ei jaollinen 2:lla eikä 10:llä – se on pariton.
Vastaus. Luku 4715 ei ole jaollinen eikä 3:lla eikä 9:llä.
Esimerkki 3. Jaollisuus 4:llä ja 8:lla: luku 6248
Tehtävä. Tarkista, onko 6248 jaollinen 4:llä ja 8:lla.
Vaihe 1. Luvulla 4. Otetaan kaksi viimeistä numeroa: 48. Luku 48 on jaollinen 4:llä (48 : 4 = 12), joten myös 6248 on jaollinen: 6248 : 4 = 1562.
Vaihe 2. Luvulla 8. Otetaan kolme viimeistä numeroa: 248. Jaetaan: 248 : 8 = 31 – on jaollinen. Siksi 6248 : 8 = 781.
Varovasti käänteisen päättelyn kanssa. Jaollisuus 4:llä ei takaa jaollisuutta 8:lla: luvun 6244 häntä 44 on jaollinen 4:llä (6244 : 4 = 1561), mutta kolme viimeistä numeroa 244 eivät ole jaollisia 8:lla – luku ei ole jaollinen 8:lla.
Vastaus. 6248 on jaollinen sekä 4:llä että 8:lla.
Esimerkki 4. Jaollisuustunnusmerkki 11:llä: luku 2926
Tehtävä. Tarkista, onko 2926 jaollinen 11:llä.
Vaihe 1. Kirjoitetaan numerot ja asetetaan merkit lopusta alkaen: viimeinen numero plus-merkillä, seuraavat vuorotellen miinus ja plus.
Vaihe 2. Lasketaan vuorotteleva summa: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
Vaihe 3. Tulos 11 on jaollinen 11:llä → myös koko luku on jaollinen.
Tarkistus jakolaskulla. 2926 : 11 = 266.
Vastaus. 2926 on jaollinen 11:llä.
Esimerkki 5. Supistetaan murtoluku jaollisuustunnusmerkkien avulla
Tehtävä. Supista murtoluku 270/378.
Vaihe 1. Lasketaan numeroiden summat: 2 + 7 + 0 = 9 ja 3 + 7 + 8 = 18. Molemmat ovat jaollisia 9:llä → sekä osoittaja että nimittäjä ovat jaollisia 9:llä.
Vaihe 2. Supistetaan 9:llä: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. Saadaan 30/42.
Vaihe 3. Molemmat luvut ovat parillisia → supistetaan 2:lla: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. Saadaan 15/21.
Vaihe 4. Numeroiden summat 6 ja 3 ovat jaollisia 3:lla → supistetaan 3:lla.
Vastaus. 270/378 = 5/7.
Yleisiä virheitä jaollisuustunnusmerkeissä
-
Jaollisuus 6:lla tarkistetaan vain parillisuuden perusteella: jos luku on parillinen – se on jaollinen 6:lla.
Tarvitaan molemmat ehdot kerralla: sekä 2:lla että 3:lla. Luku 7124 on parillinen, mutta sen numeroiden summa 14 ei ole jaollinen 3:lla, joten se ei ole jaollinen 6:lla. Ja päinvastoin: 3471 läpäisee kolmosen tunnusmerkin (summa 15, 3471 : 3 = 1157), mutta on pariton – ei jaollinen 6:lla.
-
Jaollisuutta 4:llä tarkastellaan yhdellä viimeisellä numerolla: "8 on jaollinen 4:llä, joten 9138kin käy".
Neloselle otetaan KAKSI viimeistä numeroa. Luvulla 9138 ne ovat 38, ja 38 ei ole jaollinen 4:llä. Oikea esimerkki: luvulla 9136 häntä 36, 36 : 4 = 9, joten 9136 : 4 = 2284. Kasille häntä on vielä pidempi – kolme numeroa.
-
Jaollisuustunnusmerkki 9:lle tarkistetaan viimeisen numeron perusteella: etsitään lukuja, jotka päättyvät numeroon 9 tai 0.
Viimeisellä numerolla ei ole merkitystä yhdeksikölle. Lasketaan kaikkien numeroiden summa: luvulla 4563 se on 18, summa on jaollinen 9:llä – ja luku on jaollinen (4563 : 9 = 507), vaikka se päättyy numeroon 3.
-
Oletetaan, että jos luku on jaollinen 3:lla, se on jaollinen myös 9:llä.
Toimii vain yhteen suuntaan: jaollinen 9:llä → jaollinen 3:lla. Päinvastoin ei pidä paikkaansa. Luvulla 8241 numeroiden summa on 15: jaollinen 3:lla (8241 : 3 = 2747), mutta ei 9:llä.
-
Jaollisuustunnusmerkin 11:lle kohdalla lasketaan vain kaikki numerot yhteen, kuten 3:n ja 9:n kohdalla.
Yksitoista käyttää vuorottelevaa summaa: numerot lasketaan yhteen lopusta alkaen, vaihtaen merkkiä joka toisen numeron kohdalla. Luvulle 6479 se on 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → jaollinen (6479 : 11 = 589). Tavallinen numeroiden summa on tässä 26 eikä kerro mitään.
-
Jaollisuustunnusmerkki sekoitetaan itse jakolaskuun: kysymykseen "onko 5391 jaollinen 9:llä" vastataan "kyllä, 18".
18 on numeroiden summa, tunnusmerkin välitulos. Osamäärä lasketaan erikseen: 5391 : 9 = 599. Tunnusmerkki vastaa vain "jaollinen / ei jaollinen".
Kysymyksiä ja vastauksia
Mikä on jaollisuustunnusmerkki yksinkertaisin sanoin?
Se on sääntö, jonka avulla voidaan selvittää, jaako luku tasan ilman itse jakolaskua. Yleensä riittää katsoa luvun viimeisiä numeroita tai laskea yhteen kaikki sen numerot.
Miten selvittää, onko luku jaollinen 3:lla?
Laske yhteen kaikki luvun numerot. Jos saatu summa on jaollinen 3:lla, niin myös itse luku on jaollinen 3:lla. Esimerkiksi luvun 2571 numeroiden summa 2 + 5 + 7 + 1 = 15, ja 15 on jaollinen 3:lla → 2571 : 3 = 857.
Miten jaollisuustunnusmerkki 3:lla eroaa tunnusmerkistä 9:llä?
Sääntö on sama – lasketaan numeroiden summa, mutta tarkistetaan se eri luvuilla: kolmosen kohdalla summan on oltava jaollinen 3:lla, yhdeksikön kohdalla – 9:llä. Siksi jokainen luku, joka on jaollinen 9:llä, on jaollinen myös 3:lla, mutta päinvastoin ei aina: luvun 9420 numeroiden summa 15 on jaollinen 3:lla (9420 : 3 = 3140), mutta ei 9:llä.
Mitä tehdä, jos numeroiden summa on suuri?
Sovella tunnusmerkkiä uudelleen – jo summaan. Luvun 777 771 numeroiden summa on 36, luvun 36 summa 3 + 6 = 9. Yhdeksän on jaollinen 9:llä, joten myös alkuperäinen luku on jaollinen 9:llä (ja samalla 3:lla): 777 771 : 9 = 86 419.
Onko jaollisuustunnusmerkkiä 7:lle?
Sille ei ole yksinkertaista sääntöä kuten numeroiden summaa, eikä sitä sisällytetä koulun jaollisuustunnusmerkkien taulukkoon. On olemassa temppu: poista viimeinen numero, kerro se kahdella ja vähennä jäljelle jääneestä luvusta. Esimerkiksi luvulle 343: poistetaan 3, kerrotaan kahdella – 6, lasketaan 34 − 6 = 28. Luku 28 on jaollinen 7:llä, joten myös 343 on jaollinen: 343 : 7 = 49.
Mitä ovat jaollisuustunnusmerkit luvuilla 12, 15 ja 45?
Ne ovat yhdistettyjä – luvun on läpäistävä kaksi tunnusmerkkiä kerralla: luvulla 12 – jaollinen 3:lla ja 4:llä, luvulla 15 – 3:lla ja 5:llä, luvulla 45 – 5:llä ja 9:llä. On tärkeää, että tekijät ovat keskenään jaottomia: hajotelma 12 = 2 · 6 ei kelpaa, koska 18 on jaollinen sekä 2:lla että 6:lla, mutta ei jaollinen 12:lla.
Millä luokalla jaollisuustunnusmerkkejä opiskellaan?
- luokalla matematiikan tunneilla: ensin tunnusmerkit luvuilla 10, 5 ja 2, sitten 3 ja 9. Tunnusmerkit luvuilla 4, 8, 11 ja 25 käsitellään yleensä lisäksi – ne ovat hyödyllisiä murtolukuja supistettaessa ja kilpailuissa.
