Verranto on kahden suhteen yhtäsuuruus, esimerkiksi \(2:3 = 8:12\). Verrantojen ratkaisemiseen tarvitaan vain yksi työkalu – verrannon perusominaisuus: ulkojäsenten tulo on yhtä suuri kuin sisäjäsenten tulo. Koulussa sitä kutsutaan "ristiin kertomisen" säännöksi. Alla kerrotaan, mikä on suhde ja verranto, miten löytää tuntematon jäsen, miten suora verrannollisuus eroaa kääntäen verrannollisuudesta, käydään läpi tehtäviä resepteistä, mittakaavasta ja hinnoista, siirrytään prosentteihin ja lopuksi harjoituskoneeseen, jossa on 10 tehtävää.
Mikä on suhde ja verranto
Kahden luvun suhde on niiden osamäärä. Suhde \(2:3\) (luetaan "kaksi suhteessa kolme") kertoo, kuinka monta kertaa suurempi toinen luku on kuin toinen tai minkä osan toinen luku muodostaa toisesta. Sen voi kirjoittaa kahdella tavalla: \(2:3\) tai murtolukuna \(\frac{2}{3}\) – ne ovat sama asia.
Verranto on kahden suhteen yhtäsuuruus:
Verrannossa on yhteensä neljä lukua, ja niillä on nimet. Kirjoituksen reunoilla olevat luvut ovat ulkojäseniä, keskellä olevat luvut ovat sisäjäseniä. Verranto on oikein, kun molemmat suhteet ovat yhtä suuria kuin sama luku.
Verrannon perusominaisuus: "ristiin kertomisen" sääntö
Verrannon perusominaisuus: ulkojäsenten tulo on yhtä suuri kuin sisäjäsenten tulo.
Miksi näin käy? Kerrotaan yhtälön \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) molemmat puolet luvulla \(b \cdot d\). Vasemmalta supistuu \(b\), oikealta \(d\), ja jäljelle jää täsmälleen \(a \cdot d = c \cdot b\). Ei mitään taikuutta – vain tavallinen yhtälöiden ominaisuus.
Tätä koululaiset kutsuvat "verrannon ratkaisemiseksi ristiin": luvut kerrotaan keskenään diagonaalisesti, ristiin. Ominaisuus toimii myös päinvastoin: jos neljälle luvulle (yksikään niistä ei ole nolla) pätee \(a \cdot d = b \cdot c\), niin niistä voidaan muodostaa oikea verranto.
Tästä seuraa heti kaksi taitoa: tarkistaa, onko verranto oikein, ja löytää siitä tuntematon luku.
Miten löytää verrannon tuntematon jäsen
Perusominaisuudesta saadaan kaksi lyhyttä sääntöä:
- tuntematon ulkojäsen = sisäjäsenten tulo : tunnettu ulkojäsen;
- tuntematon sisäjäsen = ulkojäsenten tulo : tunnettu sisäjäsen.
Niitä ei tarvitse opetella ulkoa. Riittää yksi yleinen tapa: kerro ristiin, muodosta yhtälö "luku \(\cdot\, x\) = luku" ja jaa. Käydään tämä läpi vaiheittain verrannolla \(x : 7 = 12 : 21\).
Viimeinen vaihe – tarkistus – vie viisi sekuntia ja paljastaa melkein jokaisen laskuvirheen, joten sitä ei kannata jättää väliin.
Suora ja kääntäen verrannollisuus
Kahden suureen sanotaan olevan suoraan verrannollisia, jos toisen suureen kasvaessa tiettyyn lukuun kerrottuna toinenkin suure kasvaa samassa suhteessa. Ostettiin kaksi kertaa enemmän vihkoja – maksettiin kaksi kertaa enemmän. Tällaisilla suureilla niiden suhde pysyy vakiona.
Suureet ovat kääntäen verrannollisia, jos toisen suureen kasvaessa tiettyyn lukuun kerrottuna toinen pienenee samassa suhteessa. Kaksi kertaa enemmän työntekijöitä – puolet vähemmän päiviä samaan työhön. Tällaisilla suureilla niiden tulo pysyy vakiona.
Pääero näkyy siinä vaiheessa, kun muodostetaan verranto. Suoralle riippuvuudelle se muodostetaan "sellaisenaan": \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Kääntäen verrannolliselle toinen suhde käännetään: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Miksi? Kääntäen verrannollisella riippuvuudella tulo on vakio: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Jaetaan molemmat puolet luvulla \(a_2 \cdot b_1\) – ja saadaan juuri \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Joten "kääntäminen" ei ole mikään muistettava loitsu, vaan seuraus siitä, että vakiona pysyy tulo, ei suhde.
| Tunnus | Suora | Kääntäen |
|---|---|---|
| Suhde | enemmän → enemmän | enemmän → vähemmän |
| Vakiona | suhde a : b | tulo a × b |
| Kirjoitusasu | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Esimerkki | 3 kynää — 90 ₽, 5 kynää — 150 ₽ | 4 maalaria — 9 päivää, 6 maalaria — 6 päivää |
Miten muodostaa verranto tehtävään: resepti, mittakaava, hinta
Tekstitehtävät "verrannosta" ratkaistaan yhden kaavan mukaan:
- Kirjoita tehtävänanto kahteen sarakkeeseen siten, että samat suureet ovat päällekkäin (annokset annosten alle, grammat grammojen alle).
- Merkitse etsittävä suure x:llä.
- Määritä riippuvuuden tyyppi: kuvittele ensimmäisen suureen kasvavan ja katso, kasvaako toinen vai pieneneekö.
- Muodosta verranto – kääntäen verrannollisessa tapauksessa käännä toinen suhde.
- Ratkaise ristiin kertomalla ja tarkista, onko vastaus järkevä.
Näytetään reseptillä. Neljälle annokselle pannukakkuja tarvitaan 300 g jauhoja – kuinka paljon jauhoja tarvitaan 6 annokselle? Annoksia on enemmän, joten jauhojakin tarvitaan enemmän: riippuvuus on suora, verranto muodostetaan "sellaisenaan":
6 annokselle tarvitaan 450 g jauhoja. Vastaus on järkevä: annoksia on puolitoista kertaa enemmän, ja jauhojakin tarvitaan puolitoista kertaa enemmän.
Samalla tavalla ratkaistaan tehtävät mittakaavasta (kartan etäisyys suhteessa todelliseen etäisyyteen on sama kuin 1 suhteessa mittakaavan lukuun) ja hinnasta (tavaroiden määrä suhteessa määrään on sama kuin kokonaishinta suhteessa kokonaishintaan). Täydelliset ratkaisut – esimerkeissä alla.
Prosentit verrannon avulla
Prosentti on luvun sadasosa, joten jokainen yksinkertainen prosenttitehtävä muuttuu verrannoksi:
Jossain on yksi neljästä luvusta tuntematon – se etsitään ristiin kertomalla.
Etsi osa. Kuinka paljon on 15% luvusta 240? Muodostetaan \(x : 240 = 15 : 100\), joten \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) ja \(x = 36\).
Etsi kokonaisuus. Luku 21 on 35% jostakin luvusta. Muodostetaan \(21 : x = 35 : 100\), joten \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) ja \(x = 60\).
Etsi prosentti. Kuinka monta prosenttia on 18 luvusta 45? Muodostetaan \(18 : 45 = p : 100\), joten \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) ja \(p = 40\), eli 40%.
Yksi tapa – kolme erilaista tehtävätyyppiä, ei tarvitse opetella mitään ylimääräistä. Erillisenä on vain kysymys "kuinka monta prosenttia suure on kasvanut tai pienentynyt": siinä ensin etsitään muutos ja sitten jaetaan se alkuperäisellä arvolla – tämä on jo prosenttimuutoksen kaava, ei enää yksinkertainen verranto.
Esimerkkejä verrantojen ratkaisemisesta vaiheittain
Esimerkki 1. Tuntematon sisäjäsen
Tehtävä. Etsi verrannon \(15 : x = 45 : 24\) tuntematon jäsen.
Vaihe 1. Määritetään, mikä on mikäkin jäsen. Ulkojäsenet ovat 15 ja 24, sisäjäsenet \(x\) ja 45.
Vaihe 2. Sovelletaan perusominaisuutta: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), eli \(360 = 45x\).
Vaihe 3. Jaetaan: \(x = 360 : 45 = 8\).
Tarkistus. \(15 : 8 = 1{,}875\) ja \(45 : 24 = 1{,}875\) – suhteet ovat yhtä suuria.
Vastaus: \(x = 8\).
Esimerkki 2. Suora verrannollisuus: hinta ja määrä
Tehtävä. Kuusi vihkoa maksaa 210 ₽. Kuinka paljon maksaa 10 samanlaista vihkoa?
Vaihe 1. Vihkoja enemmän – hinta enemmän, siis riippuvuus on suora.
Vaihe 2. Kirjoitetaan tehtävänanto niin, että samat suureet ovat vierekkäin, ja muodostetaan verranto "sellaisenaan":
Vaihe 3. Ristiin kertomalla: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), joten \(x = 2100 : 6 = 350\).
Tarkistus. Yksi vihko maksaa \(210 : 6 = 35\) ₽, ja kymmenen vihkoa maksaa \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Täsmää.
Vastaus: 350 ₽.
Esimerkki 3. Kääntäen verrannollisuus: työntekijät ja päivät
Tehtävä. Kahdeksan työntekijää tekee tilauksen 15 päivässä. Kuinka monessa päivässä 12 työntekijää tekee saman tilauksen, jos he työskentelevät samalla nopeudella?
Vaihe 1. Työntekijöitä enemmän – päiviä tarvitaan vähemmän. Riippuvuus on kääntäen verrannollinen.
Vaihe 2. Muodostetaan verranto kääntämällä toinen suhde:
Tässä \(x\) on 12 työntekijän tarvitsemat päivät, ja 15 on 8 työntekijän tarvitsemat päivät: ne ovat vaihtaneet paikkaa, koska riippuvuus on kääntäen verrannollinen.
Vaihe 3. Ristiin kertomalla: \(8 \cdot 15 = 12x\), eli \(120 = 12x\) ja \(x = 10\).
Tarkistus. Tulo on vakio: \(8 \cdot 15 = 120\) ja \(12 \cdot 10 = 120\). Täsmää, ja vastaus on järkevä – päiviä kului vähemmän.
Vastaus: 10 päivää.
Esimerkki 4. Kartan mittakaava
Tehtävä. Kartan mittakaava on \(1 : 200\,000\). Kylien välinen etäisyys kartalla on 7 cm. Mikä on etäisyys niiden välillä todellisuudessa?
Vaihe 1. Mittakaava \(1 : 200\,000\) tarkoittaa: 1 cm kartalla vastaa 200 000 cm todellisuudessa. Tämä on valmis suhde.
Vaihe 2. Muodostetaan verranto:
Vaihe 3. Ristiin kertomalla: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), eli \(x = 1\,400\,000\) cm.
Vaihe 4. Muunnetaan sopiviin yksiköihin: yhdessä kilometrissä on 100 000 cm, joten \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) km.
Vastaus: 14 km.
Esimerkki 5. Prosentit verrannon avulla
Tehtävä. Luokassa on 25 oppilasta, retkelle lähti 60% heistä. Kuinka monta henkilöä lähti retkelle?
Vaihe 1. Kokonaisuus on kaikki 25 oppilasta, niille vastaa 100%. Etsittävä osa on \(x\) henkilöä, niille vastaa 60%.
Vaihe 2. Muodostetaan verranto "osa : kokonaisuus = prosentti : 100":
Vaihe 3. Ristiin kertomalla: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), joten \(x = 15\).
Tarkistus. 15 henkilöä 25:stä on \(15 : 25 = 0{,}6\), eli tasan 60%.
Vastaus: 15 henkilöä.
Yleisiä virheitä verrantojen ratkaisemisessa
-
Lukujen kertominen "suoraan" eikä ristiin: verrannossa 5 : 2 = 20 : 8 lasketaan 5 · 2 ja 20 · 8.
Perusominaisuus yhdistää ulkojäsenet sisäjäseniin, eli luvut diagonaalisesti: 5 · 8 = 40 ja 2 · 20 = 40. Tulot ovat yhtä suuria – verranto on oikein. Mutta 5 · 2 ja 20 · 8 eivät ole yhtä suuria eivätkä kerro mitään.
-
Kääntäen verrannollisessa tehtävässä muodostetaan "suora" verranto. Kuusi pumppua täyttää altaan 10 tunnissa; merkintä 6 : 15 = 10 : x antaa 25 tuntia 15 pumpulle.
Pumppuja on enemmän – aikaa pitäisi kulua vähemmän, mutta tulos on enemmän: verranto on siis muodostettu väärin. Toinen suhde pitää kääntää: 6 : 15 = x : 10, silloin 15x = 60 ja x = 4 tuntia. Tarkista aina vastaus maalaisjärjellä.
-
Ristiin kertomisen jälkeen jaetaan väärin: yhtälöstä 8x = 96 saadaan x = 8 : 96.
Etsiessä x jaetaan tulo sen kertoimella, joka on x:n vieressä: x = 96 : 8 = 12. Hyvä tapa on sijoittaa löydetty luku takaisin: 8 · 12 = 96, kaikki täsmää.
-
Yksiköiden yhdenmukaistamatta jättäminen. Mittakaavatehtävässä 1 : 50 000 ja kartalla 3 cm annetaan vastaukseksi "1,5" ilman yksiköitä tai kutsutaan sitä metreiksi.
Lasketaan ensin samoilla yksiköillä, joilla mittakaava on annettu: 3 · 50 000 = 150 000 cm. Vasta sitten muunnetaan: 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Yksiköt vastauksessa ovat yhtä tärkeitä kuin itse luku.
-
Suhde ja verranto menevät sekaisin: pyydettäessä muodostamaan verranto kirjoitetaan vain yksi suhde "12 : 4".
Suhde on kahden luvun osamäärä: 12 : 4 = 3. Verranto on kahden suhteen yhtäsuuruus, siinä on pakko olla neljä lukua ja yhtäsuuruusmerkki: 12 : 4 = 30 : 10 (tarkistetaan: 12 · 10 = 120 ja 4 · 30 = 120).
Kysymyksiä ja vastauksia
Miten suhde eroaa verrannosta?
Suhde on kahden luvun osamäärä, esimerkiksi 12 : 4. Verranto on kahden suhteen yhtäsuuruus, siinä on neljä lukua: 12 : 4 = 30 : 10. Suhde vastaa kysymykseen "kuinka monta kertaa", kun taas verranto toteaa, että kaksi tällaista vertailua antaa saman tuloksen.
Mitä ovat verrannon ulko- ja sisäjäsenet?
Merkinnässä a : b = c : d ulkojäsenet ovat reunalla olevat, eli a ja d. Sisäjäsenet ovat keskellä olevat, eli b ja c. Jos verranto on kirjoitettu murtolukuina, ulkojäsenet ovat ensimmäisen murtoluvun osoittaja ja toisen nimittäjä, ja sisäjäsenet ovat ensimmäisen nimittäjä ja toisen osoittaja.
Miten tarkistaa, onko verranto oikein?
Kerro ristiin ja vertaa tuloksia. Esimerkiksi verrannossa 9 : 12 = 15 : 20 lasketaan 9 · 20 = 180 ja 12 · 15 = 180 – luvut täsmäävät, joten verranto on oikein. Jos tulot ovat erilaiset, verranto ei ole oikein.
Voiko verrannon jäseniä vaihtaa keskenään?
Kyllä, jos tekee sen sääntöjen mukaan. Oikeassa verrannossa voi vaihtaa ulkojäsenten paikkaa, voi vaihtaa sisäjäsenten paikkaa, tai voi kääntää molemmat suhteet kerralla – verranto pysyy oikeana. Verrannosta 4 : 6 = 10 : 15 saadaan 4 : 10 = 6 : 15 tai 6 : 4 = 15 : 10 – diagonaalinen tulo on kaikkialla 60. Mutta vain yhden luvun paikkaa ei voi vaihtaa.
Mitä tarkoittaa "ratkaista verranto ristiin"?
Se on verrannon perusominaisuuden puhekielinen nimi. Luvut kerrotaan keskenään diagonaalisesti, ristiin: ulkojäsen kertaa ulkojäsen ja sisäjäsen kertaa sisäjäsen. Muodostuu yhtälö, jossa on yksi tuntematon, ja se ratkeaa yhdellä jaolla. Ei ole olemassa erillistä "ristinmenetelmää" perusominaisuuden lisäksi.
Miten tunnistaa tehtävästä suoran vai kääntäen verrannollisuuden?
Kuvittele ensimmäisen suureen kasvavan kaksinkertaiseksi ja katso, mitä toiselle tapahtuu. Jos sekin kasvaa kaksinkertaiseksi – riippuvuus on suora, verranto muodostetaan "sellaisenaan". Jos se pienenee puoleen – riippuvuus on kääntäen verrannollinen, toinen suhde pitää kääntää. Toinen merkki: suorassa riippuvuudessa suureiden suhde on vakio, kääntäen verrannollisessa niiden tulo.
Miten ratkaista prosenttitehtäviä verrannon avulla?
Muodosta verranto "osa : kokonaisuus = prosentti : 100" ja etsi tuntematon ristiin kertomalla. Esimerkiksi 12% luvusta 350: saadaan x : 350 = 12 : 100, joten 100x = 4200 ja x = 42. Samalla tavalla etsitään myös kokonaisuus tunnetun osan perusteella ja itse prosentti.
