Luvun \(a\) neliöjuuri on luku, jonka neliö on \(a\), ja aritmeettiseksi neliöjuureksi kutsutaan vain sen ei-negatiivista arvoa: \(\sqrt{25} = 5\). Juuri voidaan ottaa vain ei-negatiivisista luvuista, mutta juuren ominaisuudet muuttavat kömpelöt lausekkeet lyhyiksi. Tällä sivulla – määritelmä ja määrittelyjoukko, kaikki neliöjuuren ominaisuudet kaavoineen, neliöjuurten taulukko 1–20, juuren ottamisen ja kertoimen tuomisen tekniikat, käsitellyt esimerkit, yleiset virheet ja interaktiivinen harjoitus.
Mikä on luvun neliöjuuri
Luvun \(a\) neliöjuuri on sellainen luku, jonka neliö on \(a\). Juuren ottaminen ja neliöön korottaminen ovat toisiaan kumoavia operaatioita: luvusta \(7^2 = 49\) seuraa heti, että luvun 49 neliöjuuri on 7.
Mutta positiivisella luvulla on täsmälleen kaksi neliöjuurta, ja ne eroavat vain etumerkiltään: \(5^2 = 25\) ja \((-5)^2 = 25\), eli luvun 25 neliöjuuret ovat sekä \(5\) että \(-5\). Jotta merkintä \(\sqrt{25}\) tarkoittaisi yhtä ainoaa lukua, sovittiin: merkinnällä \(\sqrt{\phantom{a}}\) merkitään vain ei-negatiivista juurta. Sitä kutsutaan aritmeettiseksi.
Merkinnällä on omat nimensä: merkki \(\sqrt{\phantom{a}}\) on juurimerkki, ja sen alla oleva luku tai lauseke on juurrettava.
Aritmeettinen neliöjuuri: määritelmä ja määrittelyjoukko
Ei-negatiivisen luvun \(a\) aritmeettiseksi neliöjuureksi kutsutaan ei-negatiivista lukua, jonka neliö on \(a\). Sitä merkitään \(\sqrt{a}\) ja luetaan "juuri a:sta".
Määritelmässä on kaksi ehtoa, ja molemmat ovat yhtä tärkeitä:
- juurrettava on ei-negatiivinen: \(a \ge 0\);
- juuren arvo on ei-negatiivinen: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Tästä saadaan heti: \(\sqrt{25} = 5\), eikä \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); ja merkintä \(\sqrt{-9}\) ei ole mielekäs reaaliluvuissa – ei ole lukua, jonka neliö olisi negatiivinen.
Ensimmäinen ehto määrittää juurilausekkeen määrittelyjoukon. Esimerkiksi \(\sqrt{x-7}\) on mielekäs, kun \(x - 7 \ge 0\), eli kun \(x \ge 7\): mikä tahansa pienempi \(x\):n arvo ajaa negatiivisen luvun juuren alle.
Määritelmästä seuraa myös yhtälö \((\sqrt{a})^2 = a\) kun \(a \ge 0\): juuren korottaminen neliöön palauttaa juurrettavan luvun. Se toimii jopa silloin, kun emme voi itse juurta tarkasti laskea: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Neliöjuurten taulukko: lukujen neliöt 1–20
Juuri otetaan tasan silloin, kun juurrettava luku on täydellinen neliö. Siksi neliöiden taulukko toimii myös neliöjuurten taulukkona: sitä luetaan molempiin suuntiin – \(14^2 = 196\), joten \(\sqrt{196} = 14\).
Taulukko auttaa paitsi kokonaislukujen kanssa:
- desimaaliluvut: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), koska \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- katkaistut murtoluvut: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) – juuri otetaan erikseen osoittajasta ja erikseen nimittäjästä;
- pyöreät luvut: \(\sqrt{2500} = 50\), sillä \(2500 = 25 \cdot 100\), ja kummankin tekijän juuri tunnetaan.
Neliöjuuren ominaisuudet
Neliöjuuren ominaisuudet mahdollistavat lausekkeiden laskemisen ilman, että jokaista juurta otetaan erikseen, ja vastauksen sieventämisen.
Tulon neliöjuuri on juurten tulo: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) kun \(a \ge 0\) ja \(b \ge 0\). Esimerkiksi \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) – sama vastaus kuin \(\sqrt{144}\).
Osamäärän neliöjuuri on juurten osamäärä: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) kun \(a \ge 0\) ja \(b > 0\). Esimerkiksi \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Ehto \(b > 0\) on tiukka: nollalla ei saa jakaa.
Luvun neliön juuri on itseisarvo: \(\sqrt{a^2} = |a|\), ja tämä pätee millä tahansa luvulla \(a\). Tässä on koko aiheen pääasiallinen hienous. Jos \(a \ge 0\), mikään ei muutu: \(\sqrt{7^2} = 7\). Mutta negatiivisella \(a\):lla merkki "suoristuu": \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), eikä \(-6\) – sillä aritmeettinen juuri ei voi olla negatiivinen.
Juuren neliö palauttaa juurrettavan luvun: \((\sqrt{a})^2 = a\) kun \(a \ge 0\).
Mutta summan ja erotuksen kohdalla vastaavia ominaisuuksia ei ole: summan juuri ei ole yhtä suuri kuin juurten summa. Tämä on aiheen yleisin virhe, käsittely – alla.
| Ominaisuus ja ehto | Esimerkki |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bkun a ≥ 0 ja b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bkun a ≥ 0 ja b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|millä tahansa a:lla | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = akun a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bkun b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Miten ottaa luvun neliöjuuri
Laskin ei ole aina käden ulottuvilla, ja koulutehtävät on melkein aina valittu niin, että juuri otetaan. Toimintajärjestys on seuraava.
- Tarkista neliöiden taulukosta. Jos luku löytyy taulukosta, vastaus on valmis: \(\sqrt{289} = 17\).
- Erota pyöreä tekijä. Luvuista, joissa on nollia, on kätevää erottaa \(100\), \(10\,000\) ja niin edelleen: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Jaa alkutekijöihin. Tämä on yleispätevä keino: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), eksponentit jaetaan puoliksi ja saadaan \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Muunna desimaaliluku tavalliseksi murtoluvuksi. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Samalla tämä pelastaa paikkavirheiltä.
- Jos täydellistä neliötä ei ole – juuri on irrationaalinen. Silloin se joko jätetään vastaukseen symbolilla (kirjoitetaan niin: \(\sqrt{30}\)), tai arvioidaan kahden peräkkäisen neliön väliin.
Tarkistus vie sekunnin: saatu luku korotetaan neliöön ja katsotaan, palautuiko juurrettava. \(24^2 = 576\) – oikein.
Kertoimen tuominen juuren alta
Juuri jätetään harvoin "raakana" – siitä tuodaan ulos kaikki, mikä voidaan ottaa. Toimii ominaisuus \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) kun \(b \ge 0\): etsitään suurin neliötekijä juurrettavasta luvusta.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Käänteinen toimenpide – kertoimen tuominen juuren alle: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) kun \(a \ge 0\). Esimerkiksi \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Negatiivisen kertoimen kanssa on oltava varovainen: miinusmerkki ei mene juuren alle ja jää ulkopuolelle. Oikea merkintä on \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), eikä \(\sqrt{12}\).
Miksi tämä on tarpeen: kertoimen tuomisen jälkeen samalla juurrettavalla olevat juuret muuttuvat samankaltaisiksi termeiksi, ja niitä voidaan laskea yhteen. Kertoimen tuominen juuren alle on nopein tapa verrata kahta juurilauseketta.
Mikä on neliöjuuri, jota ei voi ottaa tarkasti
Jos juurrettava luku ei ole täydellinen neliö, juuri on irrationaaliluku: sen desimaaliesitys on päättymätön ja jaksoton. Esimerkiksi \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), ja tarkka arvo merkitään vain symbolilla \(\sqrt{2}\). Pyöristetty vastaus annetaan vain, jos sitä pyydetään tehtävässä.
Tällaisen juuren voi arvioida ilman laskinta: etsi kaksi peräkkäistä täydellistä neliötä, joiden väliin juurrettava luku sijoittuu. Toimii vertailusääntö: kun \(a \ge 0\) ja \(b \ge 0\), niin \(a < b\) seuraa \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) – suurempaa juurrettavaa lukua vastaa suurempi juuri.
Esimerkkejä neliöjuurilausekkeiden laskemisesta
Esimerkki 1. Neliöjuurilausekkeen arvo
Laske \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Vaihe 1. \(\sqrt{121} = 11\), koska \(11^2 = 121\).
Vaihe 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), koska \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Vaihe 3. Murtoluvun juuri otetaan osoittajasta ja nimittäjästä: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Vaihe 4. Lasketaan yhteen: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Vastaus: 11.
Esimerkki 2. Tulon neliöjuuri
Laske \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Vaihe 1. Näitä juuria ei voi ottaa erikseen, joten yhdistetään ne yhdeksi: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Vaihe 2. Lasketaan juurrettava tulo: \(8 \cdot 18 = 144\).
Vaihe 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Toinen tapa – tuodaan tekijät ulos etukäteen: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) ja \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), silloin \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Vastaukset täsmäsivät.
Vastaus: 12.
Esimerkki 3. Juuren ottaminen tekijöihin jaolla
Laske \(\sqrt{576}\) ja \(\sqrt{6400}\).
Vaihe 1. Luku 576 ei ole neliöiden taulukossa, joten jaetaan se alkutekijöihin: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Vaihe 2. Eksponentit jaetaan puoliksi: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Vaihe 3. Tarkistus. \(24^2 = 576\) – oikein.
Vaihe 4. Luvussa 6400 on kätevämpää erottaa pyöreä tekijä: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Tarkistus: \(80^2 = 6400\).
Vastaus: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Esimerkki 4. Kertoimen tuominen ja samankaltaisten termien yhdistäminen
Sievennä \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Vaihe 1. Tuodaan kertoimet jokaisesta juuresta ulos: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), joten \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Vaihe 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Vaihe 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Vaihe 4. Voidaan laskea yhteen vain samalla juurrettavalla olevat juuret: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), ja \(\sqrt{3}\)-termi jää erikseen.
Vastaus: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Esimerkki 5. Muuttujan neliön juuri
Sievennä \(\sqrt{(x-4)^2}\) kun \(x < 4\).
Vaihe 1. Neliön juuren ominaisuuden mukaan \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) – kirjoitetaan heti itseisarvo, ei \(x - 4\).
Vaihe 2. Avataan itseisarvo ehdon mukaan. Jos \(x < 4\), niin erotus \(x - 4\) on negatiivinen, ja negatiivisen luvun itseisarvo on vastaluku: \(|x-4| = 4 - x\).
Vaihe 3. Tarkistus. Otetaan \(x = 1\): vasemmalla \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), oikealla \(4 - 1 = 3\) – täsmää.
Vastaus: \(4 - x\). Vertailun vuoksi, kun \(x \ge 4\) vastaus olisi \(x - 4\).
Esimerkki 6. Juurilausekkeiden vertailu
Vertaile \(3\sqrt{5}\) ja \(5\sqrt{2}\).
Vaihe 1. Molemmat luvut ovat positiivisia, joten tuodaan kerroin juuren alle: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Vaihe 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Vaihe 3. Verrataan juurrettavia lukuja: \(45 < 50\), ja suurempaa juurrettavaa lukua vastaa suurempi juuri.
Vastaus: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Yleisiä virheitä neliöjuuren käsittelyssä
-
Kirjoitetaan $\sqrt{a^2} = a$, unohtaen itseisarvon.
Oikea yhtälö on \(\sqrt{a^2} = |a|\). Negatiiviselle luvulle tämä on ratkaisevaa: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), eikä \(-13\). Aritmeettinen juuri ei voi olla negatiivinen, joten merkki juuren alla "suoristuu".
-
Oletetaan, että summan juuri on juurten summa: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Tällaista ominaisuutta ei ole. Suoritetaan ensin operaatio juuren alla: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), eikä 7. Ominaisuudet ovat vain tulolle ja osamäärälle: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) ja \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Vastataan, että $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) – aritmeettinen juuri on aina yksi ja se on ei-negatiivinen. Kaksi arvoa tulee toisessa tehtävässä: yhtälöllä \(x^2 = 49\) on juuret \(x = 7\) ja \(x = -7\). Juuren merkintää ja yhtälön ratkaisua ei saa sekoittaa.
-
Kirjoitetaan $\sqrt{-16} = -4$, perustellaan "miinus miinus kertaa".
Juuren alle ei voi tulla negatiivista lukua: \((-4)^2 = 16\), eikä \(-16\), joten \(\sqrt{-16}\) ei ole mielekäs reaaliluvuissa. Sen sijaan lauseke \(-\sqrt{16} = -4\) on täysin korrektia – miinusmerkki on juuren edessä, ei sen alla.
-
Tuodaan juuren alle negatiivinen kerroin: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Sääntö \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) toimii vain kun \(a \ge 0\). Miinusmerkki jää ulkopuolelle: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Tarkistus merkillä: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), ja \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) – luvut ovat vastalukuja.
-
Häviää paikka desimaaliluvusta: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Tarkista käänteisellä neliöön korottamisella: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), ei täsmää. Oikein on \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), sillä \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Luotettava tapa on muuntaa tavalliseksi murtoluvuksi: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Oletetaan, että juuri on aina pienempi kuin itse luku.
Tämä pätee vain yli ykkösen oleville luvuille. Välillä 0–1 kaikki on päinvastoin: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), ja \(0{,}5\) on suurempi kuin \(0{,}25\). Luvuille 0 ja 1 juuri on sama kuin luku itse.
Kysymyksiä ja vastauksia
Mikä on aritmeettinen neliöjuuri yksinkertaisin sanoin?
Se on ei-negatiivinen luku, joka neliöön korotettuna antaa juurrettavan luvun. Merkitään \(\sqrt{a}\), ja juurrettavan lausekkeen on oltava ei-negatiivinen: \(a \ge 0\). Esimerkiksi \(\sqrt{64} = 8\), koska \(8 \ge 0\) ja \(8^2 = 64\).
Miten neliöjuuri eroaa aritmeettisesta neliöjuuresta?
Positiivisella luvulla on kaksi neliöjuurta – vastakkaismerkkiset. Aritmeettiseksi kutsutaan vain ei-negatiivista niistä, ja juuri sitä merkintä \(\sqrt{\phantom{a}}\) tarkoittaa. Siksi \(\sqrt{25} = 5\), vaikka yhtälöllä \(x^2 = 25\) on kaksi juurta: 5 ja \(-5\).
Miten ottaa luvun neliöjuuri ilman laskinta?
Tarkista ensin luku neliöiden taulukosta. Jos sitä ei löydy – jaa se tekijöihin ja erota täydelliset neliöt: \(784 = 16 \cdot 49\), joten \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Tarkista vastaus aina käänteisellä operaatiolla: \(28^2 = 784\).
Voiko negatiivisesta luvusta ottaa neliöjuuren?
Reaaliluvuissa – ei: minkä tahansa luvun neliö on ei-negatiivinen, joten lauseke \(\sqrt{-9}\) ei ole mielekäs. Juuri tästä ehdosta etsitään määrittelyjoukkoa: esimerkiksi \(\sqrt{x-7}\) on olemassa vain kun \(x \ge 7\).
Mikä on luvun neliön juuri?
Sen luvun itseisarvo: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Ei-negatiivisella \(a\):lla tulos on luku itse, negatiivisella – vastaluku: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Miten tuoda kerroin juuren alta?
Etsi juurrettavan luvun suurin neliötekijä ja käytä ominaisuutta \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Esimerkiksi \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Käänteinen toimenpide – kertoimen tuominen juuren alle: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Mikä on luvun 2 neliöjuuri?
Luku \(\sqrt{2}\) on irrationaalinen: sen desimaaliesitys on päättymätön ja jaksoton, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Tarkkaa arvoa murtolukuna ei ole olemassa, joten vastauksissa se jätetään symboliksi \(\sqrt{2}\), ja pyöristetään vain, jos tehtävänanto sitä vaatii.
Miten verrata kahta juurilauseketta laskematta niitä?
Tuo kertoimet juuren alle ja vertaa juurrettavia lukuja: suurempaa juurrettavaa lukua vastaa suurempi juuri. Esimerkiksi \(\sqrt{17}\) ja 4: koska \(4 = \sqrt{16}\) ja \(17 > 16\), niin \(\sqrt{17} > 4\).
Millä luokalla neliöjuuria opiskellaan?
- luokalla algebran tunneilla: ensin aritmeettisen neliöjuuren määritelmä ja ominaisuudet, sitten neliöjuurilausekkeiden muunnokset ja yhtälöiden \(x^2 = a\) ratkaiseminen. Myöhemmin juuret esiintyvät diskriminantin kaavassa ja OGE- ja EGE-tehtävissä.
