Laskujärjestys on joukko sääntöjä, jotka kertovat, mikä osa matemaattisesta lausekkeesta lasketaan ensin. Yleisin tapa muistaa se on PEMDAS: Parentheses (sulkeet), Exponents (potenssit), Multiplication and Division (kerto- ja jakolasku), Addition and Subtraction (yhteen- ja vähennyslasku). Noudata tätä järjestystä, niin jokaisella lausekkeella on täsmälleen yksi oikea vastaus. Tältä sivulta löydät PEMDAS-säännön selitettynä vaihe vaiheelta, esimerkkejä sulkeilla ja potensseilla, yleisimmät opiskelijoiden tekemät virheet sekä interaktiivisen tietovisan harjoittelua varten.
Mitä PEMDAS tarkoittaa: laskujärjestys
PEMDAS on muistisääntö laskutoimitusten suorittamisjärjestykselle. Monet opiskelijat muistavat sen lauseesta "Please Excuse My Dear Aunt Sally." Etene tikkailla ylhäältä alas:
- P — Parentheses (Sulkeet). Laske ensin kaikki ryhmittelymerkkien sisällä olevat asiat: ( ), [ ], { }.
- E — Exponents (Potenssit). Sitten potenssit ja juuret, kuten 3² tai √9.
- M ja D — Multiplication and Division (Kerto- ja jakolasku). Näillä on sama tärkeysjärjestys. Suorita ne yhdessä, edeten vasemmalta oikealle.
- A ja S — Addition and Subtraction (Yhteen- ja vähennyslasku). Myös näillä on sama tärkeysjärjestys. Suorita ne viimeisenä, jälleen vasemmalta oikealle.
Tärkein yksittäinen asia, jonka useimmat opiskelijat unohtavat: PEMDAS ei ole kuusi erillistä vaihetta. Kertolasku ei aina tule ennen jakolaskua, eikä yhteenlasku aina ennen vähennyslaskua. Kumpikin pari on samalla tasolla, ja tason sisällä etenet vain vasemmalta oikealle.
Vasemmalta oikealle -sääntö (K/J ja Y/V ovat samanarvoisia)
Koska kerto- ja jakolasku ovat samalla tasolla, käsittelet ne siinä järjestyksessä kuin ne esiintyvät, lukien vasemmalta oikealle — ei "kaikki kertolaskut, sitten kaikki jakolaskut". Sama pätee yhteen- ja vähennyslaskuun.
Klassinen ansa on 20 ÷ 4 × 5. Jos tekisit kertolaskun ensin (4 × 5 = 20), saisit 20 ÷ 20 = 1 — mikä on väärin. Koska jakolasku on vasemmalla, teet sen ensin: 20 ÷ 4 = 5, sitten 5 × 5 = 25. Sama logiikka pätee lausekkeeseen 10 − 6 + 2: etene vasemmalta oikealle, jolloin saat 4 + 2 = 6, et 10 − 8 = 2.
PEMDAS vs BODMAS: sama sääntö, eri nimi
Britanniassa, Australiassa ja monissa muissa maissa sama sääntö opetetaan nimellä BODMAS (joskus BIDMAS tai BEDMAS). Kirjaimet näyttävät erilaisilta, mutta järjestys on identtinen — vain sanasto muuttuu.
- B — Brackets (Sulkeet) on sama kuin P — Parentheses.
- O — Orders (tai I — Indices, E — Exponents) tarkoittaa potensseja ja juuria.
- DM ja MD ovat sama samanarvoinen pari, joka suoritetaan vasemmalta oikealle.
- AS on yhteen- ja vähennyslasku, joka suoritetaan vasemmalta oikealle.
Joten PEMDAS ja BODMAS antavat aina saman vastauksen. Alla oleva vertailu asettaa ne rinnakkain kirjain kirjaimelta.
| Vaihe | PEMDAS | BODMAS | Mitä teet |
|---|---|---|---|
| 1 | Parentheses | Brackets | Ryhmittelymerkkien sisällä ensin |
| 2 | Exponents | Orders / Indices | Potenssit ja juuret |
| 3 | Multiplication / Division | Division / Multiplication | Sama tärkeys, vasen → oikea |
| 4 | Addition / Subtraction | Addition / Subtraction | Sama tärkeys, vasen → oikea |
Laskujärjestyksen esimerkkejä (vaihe vaiheelta)
Esimerkki 1. Kertolasku ennen yhteenlaskua
Lauseke: 3 + 4 × 2
Vaihe 1 — Sulkeet / Potenssit: ei tässä, joten jatka eteenpäin.
Vaihe 2 — Kerto- ja jakolasku: 4 × 2 = 8. Lauseke on nyt 3 + 8.
Vaihe 3 — Yhteen- ja vähennyslasku: 3 + 8 = 11.
Yleinen väärä vastaus on 14, joka tulee laskemalla 3 + 4 ensin. Kertolasku on tehtävä ennen yhteenlaskua.
Esimerkki 2. Sulkeet, potenssit, sitten vasemmalta oikealle
Lauseke: (6 + 2) × 3² ÷ 4 − 5
Vaihe 1 — Sulkeet: 6 + 2 = 8. Nyt: 8 × 3² ÷ 4 − 5.
Vaihe 2 — Potenssit: 3² = 9. Nyt: 8 × 9 ÷ 4 − 5.
Vaihe 3 — Kerto- ja jakolasku (vasemmalta oikealle): 8 × 9 = 72, sitten 72 ÷ 4 = 18. Nyt: 18 − 5.
Vaihe 4 — Yhteen- ja vähennyslasku: 18 − 5 = 13.
Esimerkki 3. Vasemmalta oikealle -ansa
Lauseke: 20 ÷ 4 × 5
Lausekkeessa ei ole sulkeita tai potensseja, joten siirrymme suoraan kerto- ja jakolaskuun. Ne ovat samanarvoisia, joten luemme vasemmalta oikealle.
Vaihe 1: 20 ÷ 4 = 5 (jakolasku on vasemmanpuoleisin). Nyt: 5 × 5.
Vaihe 2: 5 × 5 = 25.
Jos olisit kertonut ensin (4 × 5 = 20), olisit saanut 20 ÷ 20 = 1 — klassinen virhe. Kirjainjärjestys M-sitten-D ei tarkoita, että kertolasku voittaa; vasemmalta oikealle -sääntö ratkaisee.
Yleisiä PEMDAS-virheitä
-
Ajatus, että kertolasku tehdään aina ennen jakolaskua (tai yhteenlasku ennen vähennyslaskua) kirjainjärjestyksen M-D ja A-S vuoksi.
Kerto- ja jakolasku ovat samanarvoisia, samoin yhteen- ja vähennyslasku. Etene kunkin parin sisällä vasemmalta oikealle. Lausekkeessa 20 ÷ 4 × 5 jaat ensin, koska se on vasemmalla, jolloin tulos on 25 — ei 1.
-
Vasemmalta oikealle -säännön unohtaminen vähennyslaskussa, jolloin 10 − 6 + 2 luetaan muodossa 10 − 8 = 2.
Etene vasemmalta oikealle: 10 − 6 = 4, sitten 4 + 2 = 6. Yhteenlasku ei "hyppää jonon ohi" vasemmalla olevan vähennyslaskun edelle.
-
Sulkeiden ohittaminen tai niiden laskeminen viimeisenä, koska ne ovat lausekkeen keskellä.
Ryhmittelymerkit lasketaan aina ensin, riippumatta siitä missä ne sijaitsevat. Lausekkeessa 2 × (3 + 4) lasket 3 + 4 = 7 ennen kertolaskua, jolloin tulos on 14 — ei 2 × 3 + 4 = 10.
-
Potenssin vaikutusalueen väärinymmärtäminen, käsitellen −3² ja (−3)² samana asiana.
Potenssi koskee vain sen alla olevaa lukua. −3² tarkoittaa −(3²) = −9, kun taas (−3)² tarkoittaa (−3)(−3) = 9. Käytä sulkeita, kun haluat etumerkin mukaan.
-
Sisäkkäisten sulkeiden käsittely ulkoa sisäänpäin.
Aloita sisimmistä sulkeista ja etene ulospäin. Lausekkeessa 2 × [3 + (4 − 1)], laske 4 − 1 = 3 ensin, sitten 3 + 3 = 6, ja lopuksi 2 × 6 = 12.
Usein kysytyt kysymykset
Mitä PEMDAS tarkoittaa?
PEMDAS tulee sanoista Parentheses (sulkeet), Exponents (potenssit), Multiplication and Division (kerto- ja jakolasku), Addition and Subtraction (yhteen- ja vähennyslasku). Se on järjestys, jossa matemaattinen lauseke lasketaan. Monet opiskelijat muistavat sen lauseesta "Please Excuse My Dear Aunt Sally."
Mitä eroa on PEMDAS- ja BODMAS-säännöillä?
Matematiikassa ei ole eroa — vain nimissä. BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) opetetaan Britanniassa ja monissa muissa maissa, kun taas PEMDAS on käytössä Yhdysvalloissa. Brackets (sulkeet) ovat samat kuin Parentheses, ja Orders (tai Indices) ovat samat kuin Exponents (potenssit). Molemmat antavat identtisen vastauksen jokaiselle lausekkeelle.
Tehdäänkö kertolasku aina ennen jakolaskua PEMDAS-säännössä?
Ei. Kerto- ja jakolaskulla on sama tärkeysjärjestys. Teet sen, joka esiintyy ensin vasemmalta oikealle luettaessa. Esimerkiksi lausekkeessa 20 ÷ 4 × 5 jaat ensin, koska se on vasemmalla, ja kerrot sitten, jolloin tulos on 25.
Miksi tarvitsemme laskujärjestystä?
Ilman sovittua järjestystä sama lauseke voisi antaa eri vastauksia eri ihmisille. Esimerkiksi 3 + 4 × 2 olisi 11, jos kerrot ensin, tai 14, jos lasket yhteen ensin. PEMDAS varmistaa, että jokaisella lausekkeella on täsmälleen yksi oikea tulos.
Miten käsittelet potensseja ja miinusmerkkejä yhdessä?
Potenssi koskee vain sen alla olevaa arvoa. Joten −3² on −(3 × 3) = −9, koska potenssi sitoutuu lukuun 3 ennen kuin miinusmerkkiä sovelletaan. Jos haluat miinusmerkin mukaan, kirjoita (−3)², mikä on 9. Sulkeet määrittävät, mitä potenssi koskee.
Mitä teet sisäkkäisten sulkeiden kanssa?
Etene sisimmästä ryhmästä ulospäin. Lausekkeessa 2 × [3 + (4 − 1)], laske ensin 4 − 1 = 3, sitten 3 + 3 = 6, ja lopuksi 2 × 6 = 12. Jokainen ryhmittelytaso ratkaistaan ennen sitä ympäröivää tasoa.
