Keskiarvo, mediaani, moodi ja vaihteluväli ovat neljä tapaa kuvailla lukujoukkoa. Kolme niistä — keskiarvo, mediaani ja moodi — ovat keskilukuja: ne kertovat, mikä on aineiston "tyypillinen" arvo. Neljäs, vaihteluväli, mittaa aineiston hajontaa. Tältä sivulta löydät selkeän määritelmän jokaiselle, ohjeet niiden laskemiseen (mukaan lukien parillisen määrän mediaani), vinkkejä niiden käyttöön, esimerkkejä, yleisiä virheitä sekä interaktiivisen harjoituksen.
Mitä ovat keskiarvo, mediaani, moodi ja vaihteluväli?
Jokainen tunnusluku vastaa erilaiseen kysymykseen aineistostasi:
- Keskiarvo — keskimääräinen arvo. Se tasoittaa kaikki arvot yhdeksi luvuksi.
- Mediaani — keskimmäinen arvo, kun luvut on järjestetty suuruusjärjestykseen.
- Moodi — arvo, joka esiintyy useimmin.
- Vaihteluväli — hajonta, pienimmästä arvosta suurimpaan.
Alla oleva taulukko näyttää, mitä kukin tarkoittaa ja miten se lasketaan. Huomaa, että vain moodi liittyy esiintymistiheyteen ja vain vaihteluväli kuvaa hajontaa keskiluvun sijaan.
| Tunnusluku | Mitä se tarkoittaa | Miten se lasketaan |
|---|---|---|
| Keskiarvo | Keskimääräinen arvo | Laske kaikki luvut yhteen ja jaa lukujen määrällä |
| Mediaani | Keskimmäinen arvo järjestyksessä | Järjestä luvut; valitse keskimmäinen. Jos keskimmäisiä on kaksi, laske niiden keskiarvo |
| Moodi | Yleisin arvo | Etsi arvo, joka esiintyy useimmin. Moodia voi olla nolla, yksi tai useampia |
| Vaihteluväli | Aineiston hajonta | Vähennä pienin arvo suurimmasta arvosta |
Miten keskiarvo, mediaani ja moodi lasketaan
Lasketaan kaikki neljä samalle aineistolle, jotta näet erot. Otetaan luvut 4, 8, 8, 5, 3, 8, 6 (seitsemän arvoa).
Keskiarvo. Lasketaan yhteen: 4 + 8 + 8 + 5 + 3 + 8 + 6 = 42. Arvoja on 7, joten keskiarvo on 42 ÷ 7 = 6.
Mediaani. Järjestetään ensin: 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8. Seitsemästä arvosta keskimmäinen on 4. luku, joten mediaani on 6. (Järjestä aina ennen kuin valitset keskimmäisen — tämä on yleisin virhe.)
Moodi. Luku 8 esiintyy kolme kertaa, useammin kuin mikään muu, joten moodi on 8.
Vaihteluväli. Suurin arvo on 8 ja pienin on 3, joten vaihteluväli on 8 − 3 = 5.
Yksi aineisto, neljä eri vastausta — siksi meillä on neljä eri tunnuslukua.
Milloin mitäkin tunnuslukua käytetään
Tunnusluvut eivät kilpaile keskenään — jokainen on paras tietynlaiseen kysymykseen.
- Keskiarvo on arkipäiväinen "keskiarvo" ja se on hyvä, kun arvot ovat melko tasaisia, kuten kokeiden arvosanoissa tai päivälämpötiloissa. Sen heikkous: yksittäinen hyvin suuri tai pieni arvo (poikkeava havainto) voi vetää sen kauas keskikohdasta.
- Mediaani on keskimmäinen arvo, joten poikkeavat havainnot eivät juuri vaikuta siihen. Siksi asuntojen hintoja ja tuloja ilmoitetaan yleensä mediaaneina — yksi kartano ei vääristä tyypillistä arvoa.
- Moodi on ainoa tunnusluku, joka toimii asioille, joita ei voi laskea keskiarvona, kuten myydyin kengännumero tai luokan lempiväri. Aineistolla voi olla yksi moodi, useita moodeja tai ei moodia lainkaan.
- Vaihteluväli ei kuvaa tyypillistä arvoa lainkaan — se kertoo, kuinka hajallaan aineisto on. Pieni vaihteluväli tarkoittaa, että arvot ovat lähellä toisiaan; suuri vaihteluväli tarkoittaa, että ne ovat kaukana toisistaan.
Esimerkkejä: vaihe vaiheelta
Esimerkki 1. Kaikki neljä tunnuslukua samalle aineistolle
Aineisto: 7, 3, 7, 10, 3, 6, 3
Vaihe 1 — Järjestä luvut. 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10.
Vaihe 2 — Keskiarvo. Laske yhteen: 3 + 3 + 3 + 6 + 7 + 7 + 10 = 39. Arvoja on 7, joten keskiarvo on 39 ÷ 7 ≈ 5,57.
Vaihe 3 — Mediaani. Seitsemästä arvosta keskimmäinen on 4. luku järjestetyssä listassa: 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10. Mediaani on 6.
Vaihe 4 — Moodi. Luku 3 esiintyy kolme kertaa, useammin kuin mikään muu, joten moodi on 3.
Vaihe 5 — Vaihteluväli. Suurin miinus pienin: 10 − 3 = 7.
Vastaus: keskiarvo ≈ 5,57, mediaani = 6, moodi = 3, vaihteluväli = 7.
Esimerkki 2. Mediaani, kun arvoja on parillinen määrä
Aineisto: 12, 5, 8, 20 (neljä arvoa — parillinen määrä).
Vaihe 1 — Järjestä. 5, 8, 12, 20.
Vaihe 2 — Etsi kaksi keskimmäistä arvoa. Parillisessa määrässä ei ole yhtä keskimmäistä lukua. Tässä kaksi keskimmäistä arvoa ovat 8 ja 12.
Vaihe 3 — Laske niiden keskiarvo. (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Mediaani on 10 — vaikka 10 ei ole yksi alkuperäisistä luvuista. Tämä on normaalia parillisen määrän mediaanissa.
Esimerkki 3. Aineisto, jossa ei ole moodia
Aineisto: 2, 5, 9, 11, 14.
Jokainen arvo esiintyy tasan kerran, joten mikään arvo ei toistu. Tällä aineistolla ei ole moodia — se on pätevä vastaus, ei virhe.
Sitä vastoin aineistolla 4, 4, 7, 7, 9 on kaksi moodia (4 ja 7), koska molemmat esiintyvät useimmin. Aineistoa, jolla on kaksi moodia, kutsutaan bimodaaliseksi.
Vältä näitä yleisiä virheitä
-
Mediaanin etsiminen ilman lukujen järjestämistä.
Mediaani on lukujen keskimmäinen arvo järjestyksessä. Järjestä aina pienimmästä suurimpaan ennen kuin valitset keskimmäisen. Luvuissa 7, 2, 9 mediaani on 7 (järjestettynä: 2, 7, 9), ei 9.
-
Kun arvoja on parillinen määrä, valitaan vain toinen kahdesta keskimmäisestä luvusta.
Parillisessa määrässä ei ole yhtä keskimmäistä lukua. Ota kaksi keskimmäistä arvoa ja laske niiden keskiarvo. Luvuille 5, 8, 12, 20 mediaani on (8 + 12) ÷ 2 = 10, ei 8 tai 12.
-
Oletus, että jokaisella aineistolla on oltava tasan yksi moodi.
Aineistolla voi olla ei moodia (jos mikään ei toistu) tai useita moodeja (jos kaksi tai useampi arvo jakavat yleisimmän paikan). Molemmat ovat oikeita vastauksia — älä pakota yhtä moodia.
-
Keskiarvon ja mediaanin sekoittaminen ja niiden käsittely samana asiana.
Keskiarvo on keskimääräinen arvo (laske yhteen ja jaa); mediaani on keskimmäinen arvo järjestyksessä. Ne ovat usein erilaisia, erityisesti jos mukana on poikkeava havainto. Luvuille 2, 3, 4, 100 keskiarvo on 27,25, mutta mediaani on vain 3,5.
-
Vaihteluvälin sekoittaminen moodiin tai vähennyslaskun unohtaminen.
Vaihteluväli on hajonnan mitta: suurin arvo miinus pienin arvo. Se on yksi luku, joka kuvaa hajontaa, ei yleisin arvo. Luvuille 4, 9, 15 vaihteluväli on 15 − 4 = 11.
Usein kysytyt kysymykset
Mitä ovat keskiarvo, mediaani, moodi ja vaihteluväli?
Keskiarvo on keskimääräinen arvo (laske kaikki arvot yhteen ja jaa lukujen määrällä). Mediaani on keskimmäinen arvo, kun luvut on järjestetty. Moodi on arvo, joka esiintyy useimmin. Vaihteluväli on suurin arvo miinus pienin arvo. Keskiarvo, mediaani ja moodi kuvaavat tyypillistä arvoa; vaihteluväli kuvaa aineiston hajontaa.
Miten aineiston keskiarvo lasketaan?
Laske kaikki luvut yhteen ja jaa summa lukujen määrällä. Esimerkiksi lukujen 4, 6, 8, 2 keskiarvo on (4 + 6 + 8 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5.
Miten mediaani lasketaan, kun arvoja on parillinen määrä?
Järjestä luvut, valitse kaksi keskimmäistä arvoa ja laske niiden keskiarvo (laske yhteen ja jaa 2:lla). Luvuille 5, 8, 12, 20 kaksi keskimmäistä arvoa ovat 8 ja 12, joten mediaani on (8 + 12) ÷ 2 = 10. Tulos voi olla luku, jota ei ole alkuperäisessä aineistossa.
Mikä on keskiarvon ja mediaanin ero?
Keskiarvo on kaikkien arvojen keskiarvo, joten jokainen luku vaikuttaa siihen. Mediaani on vain keskimmäinen arvo järjestyksessä, joten hyvin suuret tai pienet luvut (poikkeavat havainnot) vaikuttavat siihen tuskin lainkaan. Kun aineistossa on poikkeavia havaintoja, mediaani antaa usein tyypillisemmän arvon kuin keskiarvo.
Voiko aineistolla olla useampi kuin yksi moodi tai ei moodia lainkaan?
Kyllä. Jos mikään arvo ei toistu, aineistolla ei ole moodia. Jos kaksi tai useampi arvo esiintyy yhtä monta kertaa, aineistolla on useita moodeja — kahden moodin aineistoa kutsutaan bimodaaliseksi. Moodin puuttuminen tai useampi moodi on täysin sallittua.
Mitä ovat keskiluvut?
Keskiluvut ovat tunnuslukuja, jotka kuvaavat aineiston keskikohtaa tai tyypillistä arvoa. Kolme tärkeintä ovat keskiarvo, mediaani ja moodi. Vaihteluväli ei ole keskiluku — se mittaa sen sijaan hajontaa.
