Lyhennetyn kertolaskun kaavat ovat valmiita algebrallisia identiteettejä, joiden avulla sulut voidaan avata ja lausekkeet jakaa tekijöihin ilman pitkiä kertolaskuja. Tällä sivulla on taulukko kaikista seitsemästä kaavasta: summan ja erotuksen neliö, neliöiden erotus, summan ja erotuksen kuutio sekä kuutioiden summa ja erotus. Käymme jokaisen kaavan läpi esimerkkien avulla, ja lopussa on interaktiivinen harjoitus, jossa voit heti kokeilla kaavojen soveltamista.
Mitä ovat lyhennetyn kertolaskun kaavat
Lyhennetyn kertolaskun kaavat ovat identiteettejä, jotka saadaan, kun moninomit kerrotaan kerran huolellisesti keskenään ja tulos opetellaan ulkoa. Tämän jälkeen sulkuja ei tarvitse avata joka kerta erikseen: riittää, että tunnistat "mallin" ja sijoitat siihen omat lukusi tai muuttujasi.
Algebran opetuksessa 7. luokalla näitä kaavoja käytetään kahteen suuntaan:
- vasemmalta oikealle — sulkujen nopeaan avaamiseen ja lausekkeen korottamiseen neliöön tai kuutioon;
- oikealta vasemmalle — moninomin jakamiseen tekijöihin (tätä tarvitaan murtolukujen supistamisessa ja yhtälöiden ratkaisemisessa).
Yhteensä kaavoja opetellaan seitsemän. Alla on muistitaulukko ja sen jälkeen jokaisen kaavan tarkempi läpikäynti.
Lyhennetyn kertolaskun kaavojen taulukko
Kaikki seitsemän lyhennetyn kertolaskun kaavaa on kätevä pitää näkyvillä yhdessä taulukossa. Kirjaimet \(a\) ja \(b\) tarkoittavat tässä mitä tahansa lauseketta: lukua, muuttujaa tai kokonaista moninomia, kuten \(2x\).
| Kaava | Merkintä |
|---|---|
| Summan neliö | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Erotuksen neliö | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Neliöiden erotus | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Summan kuutio | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Erotuksen kuutio | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Kuutioiden summa | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Kuutioiden erotus | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Summan neliö ja erotuksen neliö
Summan neliö saadaan, kun \((a+b)\) kerrotaan itsellään:
Sanallisesti: summan neliö on ensimmäisen lausekkeen neliö plus kaksinkertainen ensimmäisen ja toisen tulo plus toisen neliö. Erotuksen neliö johdetaan samalla tavalla – keskimmäisen termin etumerkki muuttuu miinukseksi:
Tärkeintä on olla unohtamatta keskimmäistä termiä \(2ab\): juuri sen vuoksi \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Summan neliön ja erotuksen neliön välillä ero on vain \(2ab\)-termin etumerkissä, kun taas reunatermit \(a^2\) ja \(b^2\) ovat aina positiivisia.
Esimerkki. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Summan neliöllä on havainnollinen geometrinen merkitys: se on suuren neliön pinta-ala, jonka sivu on \((a+b)\).
Neliöiden erotus
Jos kerrotaan keskenään samojen lausekkeiden summa ja erotus, keskimmäiset termit kumoavat toisensa:
Tuloksena on neliöiden erotuksen kaava: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Tämä on hyödyllisin kaava tekijöihin jaossa: heti kun näet kahden neliön erotuksen, jaa se tuloksi.
Esimerkki (sulkujen avaaminen). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Esimerkki (tekijöihin jako). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Tärkeää: neliöiden summa \(a^2 + b^2\) ei jakaudu tekijöihin tällä kaavalla – vain erotus toimii.
Summan kuutio, erotuksen kuutio, kuutioiden summa ja erotus
Summan kuutio ja erotuksen kuutio sisältävät neljä termiä:
Erotuksen kuutiossa etumerkit vaihtelevat: \(+\,-\,+\,-\). Ja taas yleinen virhe: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) – potenssia ei voi vain "jakaa", keskimmäisiä termejä \(3a^2b\) ja \(3ab^2\) ei saa unohtaa.
Esimerkki. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Kuutioiden summa ja erotus ovat erillisiä – ne päinvastoin jakavat lausekkeen tekijöihin:
Toista tekijää kutsutaan summan tai erotuksen epätäydelliseksi neliöksi. Sen keskimmäisen termin etumerkki on aina vastakkainen ensimmäisen sulun etumerkille: kuutioiden summassa on \(-ab\), kuutioiden erotuksessa \(+ab\).
Esimerkki. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Esimerkkejä lyhennetyn kertolaskun kaavojen käytöstä
Esimerkki 1. Sulkujen avaaminen: summan neliö
Tehtävä. Korota neliöön \((2x+5)^2\).
Vaihe 1. Tunnistamme summan neliön kaavan: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), missä \(a = 2x\), \(b = 5\).
Vaihe 2. Laskemme jokaisen termin:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Vastaus. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Esimerkki 2. Neliöiden erotuksen kaavan käyttö
Tehtävä. Laske tulo \((3x-4)(3x+4)\).
Vaihe 1. Edessämme on samojen lausekkeiden erotuksen ja summan tulo – tämä on neliöiden erotus \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), missä \(a = 3x\), \(b = 4\).
Vaihe 2. Korotamme neliöön jokaisen lausekkeen: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Vastaus. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Esimerkki 3. Tekijöihin jako
Tehtävä. Jaa tekijöihin \(x^2 - 36\) ja \(x^3 + 27\).
Neliöiden erotus. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Kuutioiden summa. Huomaamme, että \(27 = 3^3\), joten \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Käytämme kaavaa \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\), kun \(a = x\), \(b = 3\):
Huomioi \(-3x\)-termin etumerkki epätäydellisessä neliössä – kuutioiden summassa keskimmäinen termi on negatiivinen.
Esimerkki 4. Summan kuutio
Tehtävä. Avaa sulut \((x+2)^3\).
Vaihe 1. Summan kuution kaava: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), missä \(a = x\), \(b = 2\).
Vaihe 2. Laskemme termit järjestyksessä:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Vastaus. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Yleisiä virheitä lyhennetyn kertolaskun kaavoissa
-
Unohdetaan kaksinkertainen tulo: kirjoitetaan $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
Summan ja erotuksen neliössä on aina keskimmäinen termi \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Tarkistaminen on helppoa – avaa \((a+b)(a+b)\) allekkain, niin keskimmäinen termi ilmestyy itsestään.
-
Sekoitetaan etumerkit erotuksen neliössä ja neliöiden erotuksessa.
Erotuksen neliössä miinus on vain keskimmäisellä termillä: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (reunatermit ovat positiivisia). Neliöiden erotuksessa miinus on neliöiden välissä: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Nämä ovat eri kaavoja.
-
Potenssin "jakaminen" kuutiossa: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Näin ei saa tehdä. Summan kuutio sisältää neljä termiä: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Kaava \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) on aivan eri asia (kuutioiden summa), se liittyy tekijöihin jakoon.
-
Epätäydelliseen neliöön laitetaan kaksinkertainen tulo $2ab$.
Epätäydellinen neliö on \(a^2 \pm ab + b^2\), ilman kakkosta \(ab\)-termin edessä. Etumerkki on vastakkainen ensimmäisen sulun etumerkille: kuutioiden summa \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), kuutioiden erotus \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Yritetään jakaa neliöiden summa $a^2 + b^2$ tekijöihin.
Vain neliöiden erotus \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) voidaan jakaa tekijöihin. Neliöiden summaa \(a^2 + b^2\) ei koulumatematiikassa jaeta tekijöihin.
Kysymyksiä ja vastauksia
Kuinka monta lyhennetyn kertolaskun kaavaa on yhteensä?
Seitsemän: summan neliö, erotuksen neliö, neliöiden erotus, summan kuutio, erotuksen kuutio, kuutioiden summa ja kuutioiden erotus. Kaikki ne on koottu yllä olevaan taulukkoon.
Mille summan neliö on yhtä suuri?
Ensimmäisen lausekkeen neliölle plus kaksinkertainen ensimmäisen ja toisen tulo plus toisen neliö: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Erotuksen neliössä keskimmäinen termi on negatiivinen: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Miten neliöiden erotus jaetaan tekijöihin?
Kaavalla \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Esimerkiksi \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Riittää huomata, että molemmat termit ovat täydellisiä neliöitä ja niiden välissä on miinus.
Miksi $(a+b)^2$ ei ole yhtä suuri kuin $a^2 + b^2$?
Koska kun \((a+b)(a+b)\) kerrotaan keskenään, syntyy vielä kaksi samanlaista termiä \(ab\), jotka muodostavat keskimmäisen termin \(2ab\). Sitä ei saa unohtaa: oikein on \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Miten summan kuutio eroaa kuutioiden summasta?
Summan kuutio \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) on sulkujen avaamista. Kuutioiden summa \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) on päinvastoin lausekkeen jakamista tekijöihin. Nämä ovat eri kaavoja, älä sekoita niitä.
Millä luokalla lyhennetyn kertolaskun kaavoja opetellaan?
Yleensä 7. luokan algebrassa: ensin summan ja erotuksen neliö, neliöiden erotus, sitten kuutioiden kaavat. Niitä käytetään aktiivisesti myöhemmin lausekkeiden sieventämisessä, murtolukujen supistamisessa ja yhtälöiden ratkaisemisessa.
