Rationaaliepäyhtälö on epäyhtälö muotoa \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), missä \(P(x)\) ja \(Q(x)\) ovat polynomeja, ja merkin \(>\) sijaan voi olla \(<\), \(\ge\) tai \(\le\). Tällaiset epäyhtälöt ratkaistaan välimenetelmällä: siirretään kaikki vasemmalle puolelle, jaetaan tekijöihin, merkitään lukusuoralle osoittajan ja nimittäjän nollakohdat ja asetetaan merkit. Alla on määritelmä, täydellinen algoritmi, tyhjien pisteiden sääntö, juurten kertaluvut, ratkaistut esimerkit ja tarkistusharjoitus.
Mikä on rationaaliepäyhtälö
Rationaaliepäyhtälö on epäyhtälö, jonka molemmat puolet on esitetty rationaalilausekkeina, eli polynomeina ja polynomimurtolausekkeina. Kun kaikki siirretään yhdelle puolelle, se supistuu aina muotoon
missä \(P(x)\) ja \(Q(x)\) ovat polynomeja, ja \(\vee\) on yksi merkeistä \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Oikealla puolella on oltava nolla – tämä on ehto, ilman jota välimenetelmä ei toimi.
Rationaaliepäyhtälöt jaetaan kahteen tyyppiin. Jos muuttuja esiintyy vain osoittajassa, epäyhtälöä kutsutaan kokonaisrationaaliseksi: jaettavaa ei ole, ja kaikki \(x\):n arvot sopivat. Jos muuttuja on nimittäjässä, epäyhtälö on murtolausekkeinen (sitä kutsutaan myös murtolauseke-epäyhtälöksi tai epäyhtälöksi murtolausekkeella) – ja silloin ilmestyy heti rajoitus \(Q(x) \neq 0\).
Miksi molempia puolia ei saa kertoa nimittäjällä
Suurin houkutus murtolauseke-epäyhtälön ratkaisemisessa on "päästä eroon nimittäjästä" kertomalla molemmat puolet sillä. Yhtälöiden kanssa niin voi tehdä, epäyhtälöiden kanssa ei. Syy on yksinkertainen: kun kerrotaan negatiivisella luvulla, epäyhtälön merkki kääntyy, ja lausekkeen \(Q(x)\) merkkiä ei voida etukäteen tietää – se riippuu \(x\):stä.
Katsotaan epäyhtälöä \(\frac{5}{x-3} < 1\). Kerrotaan molemmat puolet luvulla \(x - 3\), ikään kuin se olisi positiivinen luku: saadaan \(5 < x - 3\), eli \(x > 8\). Tarkistetaan vastaus sijoittamalla \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) – epäyhtälö on tosi, joten nollakin on ratkaisu, mutta se ei sisälly vastaukseen \(x > 8\). Vastaus on kadonnut.
Oikea tapa on siirtää kaikki vasemmalle ja yhdistää yhdeksi murtolausekkeeksi:
Viimeisessä vaiheessa kerroimme molemmat puolet luvulla \(-1\) ja käänsimme merkin – tämä on sallittua, koska \(-1\) on aina negatiivinen. Sen jälkeen toimii välimenetelmä, ja vastaus on \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) – se sisältää myös kadonneen nollan.
Helpoin tapa muistaa: ei saa kertoa molempia puolia muuttujan sisältävällä lausekkeella, mutta termejä saa aina siirtää. Siirtäminen ei muuta epäyhtälön merkkiä.
Välimenetelmä: ratkaisualgoritmi vaiheittain
Välimenetelmä perustuu yhteen ominaisuuteen: rationaalilausekkeen kahden peräkkäisen nollakohdan välissä sen merkki on vakio. Siksi riittää löytää kaikki pisteet, joissa osoittaja tai nimittäjä saa arvon nolla, jakaa niillä lukusuora ja määrittää merkki kullakin välillä – yhdellä koepisteellä tai juurten kertalukujen avulla.
Tyhjät ja täytetyt pisteet: määrittelyjoukko ja epäyhtälön merkki
Yhden sulun virhe muuttaa oikean ratkaisun vääräksi vastaukseksi, joten pisteitä koskeva sääntö kannattaa opetella erikseen. Toimii täsmälleen kaksi periaatetta.
Ensimmäinen – määrittelyjoukko. Nimittäjän nollakohta jätetään aina tyhjäksi, merkistä riippumatta. Tässä pisteessä murtolauseke ei yksinkertaisesti ole määritelty: nollalla jakaminen ei ole sallittua, joten luku ei voi olla ratkaisu, vaikka merkki ei olisikaan ehdoton.
Toinen – ehdoton vai ei-ehdoton merkki. Osoittajan nollakohdat tekevät murtolausekkeesta nollan. Ei-ehdottomalla merkillä (\(\le\) tai \(\ge\)) nollan yhtäsuuruus kelpaa, joten piste täytetään ja sisällytetään vastaukseen hakasulkeella. Ehdottomalla merkillä (\(<\) tai \(>\)) nolla ei kelpaa, ja piste jätetään tyhjäksi.
Esimerkiksi epäyhtälössä \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) piste \(x = 6\) täytetään (osoittajan nollakohta, ei-ehdoton merkki), ja piste \(x = -1\) jätetään tyhjäksi (nimittäjän nollakohta). Vastaus: \(x \in (-1; 6]\).
| Mikä piste | Miten merkitään |
|---|---|
| Nimittäjän nollakohta, Q(x) = 0 | tyhjä aina, merkistä riippumatta – piste ei kuulu määrittelyjoukkoon |
| Osoittajan nollakohta, merkki ehdoton < tai > | tyhjä murtolauseke on nolla, mutta tarvitaan ehdottomasti eri merkki |
| Osoittajan nollakohta, merkki ei-ehdoton ≤ tai ≥ | täytetty nollan yhtäsuuruus kelpaa, piste kuuluu vastaukseen |
Juuren kertaluku: missä merkki muuttuu ja missä ei
Välien merkit eivät välttämättä vuorottele – tämä on yleisin harhaluulo aiheessa. Vuorottelu toimii vain silloin, kun kaikki sulut esiintyvät ensimmäisessä potenssissa. Sääntö on tarkempi ja ilmaistaan juuren kertaluvun avulla – vastaavan sulun potenssi.
Kun siirrytään parittoman kertaluvun juuren yli (potenssi 1, 3, 5), lausekkeen merkki muuttuu. Kun siirrytään parillisen kertaluvun juuren yli (potenssi 2, 4), merkki ei muutu: sulku parillisessa potenssissa on ei-negatiivinen eikä pilaa lausekkeen merkkiä. Kertaluku lasketaan samalla tavalla sekä osoittajalle että nimittäjälle.
Otetaan \((x-9)^2(x+3) > 0\). Juuret: \(x = 9\) kertalukua 2 ja \(x = -3\) kertalukua 1. Yhdeksästä oikealle lauseke on positiivinen. Siirrytään yhdeksän yli – kertaluku on parillinen, merkki säilyy, välillä \((-3; 9)\) on myös plus. Siirrytään -3 yli – kertaluku on pariton, merkki muuttuu miinukseksi. Ehdottoman epäyhtälön vastaus: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), piste 9 on tyhjä, koska lauseke on siinä nolla. Mutta ei-ehdottomassa \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) vastaus on jo eri: \(x \in [-3; +\infty)\) – yhdeksän täytetään ja se "liimaa" kaksi väliä yhdeksi.
| Juuren kertaluku | Merkki siirtymässä |
|---|---|
| Pariton: (x − a), (x − a)3 | muuttuu |
| Parillinen: (x − a)2, (x − a)4 | ei muutu |
Lukusuora esimerkin avulla: merkkien asettaminen
Kootaan kaikki yhteen epäyhtälössä \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Osoittajan nollakohta: \(x = -7\). Nimittäjän nollakohdat: \(x = 2\) ja \(x = 5\), jotka myös määrittävät määrittelyjoukon. Kaikki kolme sulkua ovat ensimmäisessä potenssissa, joten merkit vuorottelevat. Koepiste \(x = 10\) oikeanpuoleisimmassa välissä antaa \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) – aloitetaan plusmerkillä ja edetään vasemmalle, muuttaen merkkiä jokaisessa pisteessä.
Rationaalisten epäyhtälöiden ratkaisuesimerkkejä
Esimerkki 1. Yksinkertainen murtolauseke-epäyhtälö
Ratkaise \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Vaihe 1. Oikealla puolella on jo nolla, murtolauseke on jo yhtenäinen – siirrettävää tai yhdistettävää ei ole.
Vaihe 2. Määrittelyjoukko (ODZ). \(x + 5 \neq 0\), eli \(x \neq -5\).
Vaihe 3. Nollakohdat. Osoittaja on nolla, kun \(x = 3\), nimittäjä – kun \(x = -5\).
Vaihe 4. Pisteet lukusuoralla. \(x = 3\) täytetään (osoittajan nollakohta, ei-ehdoton merkki), \(x = -5\) jätetään tyhjäksi (nimittäjän nollakohta).
Vaihe 5. Merkit. Koepiste \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) – oikealla plus. Molemmat sulut ovat ensimmäisessä potenssissa, joten merkit vuorottelevat: välillä \((-5; 3)\) miinus, välillä \((-\infty; -5)\) plus. Tarkistetaan: kun \(x = -6\), saadaan \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) – täsmää.
Vaihe 6. Vastaus. Tarvitaan merkki "plus tai nolla": \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Esimerkki 2. Oikealla ei ole nollaa – siirretään
Ratkaise \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Vaihe 1. Siirretään ykkönen vasemmalle. Ei saa kertoa luvulla \(x - 4\), koska tämän lausekkeen merkki on tuntematon:
Vaihe 2. Yhdistetään yhdeksi murtolausekkeeksi.
Vaihe 3. Määrittelyjoukko (ODZ). \(x \neq 4\).
Vaihe 4. Pisteet. \(x = -5\) – osoittajan nollakohta, ei-ehdoton merkki, täytetään. \(x = 4\) – nimittäjän nollakohta, jätetään tyhjäksi.
Vaihe 5. Merkit. Kun \(x = 5\), murtolauseke on \(\frac{10}{1} > 0\). Siis välillä \((4; +\infty)\) on plus, välillä \((-5; 4)\) miinus, välillä \((-\infty; -5)\) plus.
Vaihe 6. Vastaus. \(x \in [-5; 4)\). Tarkistetaan rajapisteet: kun \(x = -5\), murtolauseke on nolla – sopii merkkiin \(\le\); kun \(x = 4\), murtolauseketta ei ole – ei sovi.
Esimerkki 3. Juuri parillisella kertaluvulla ja eristetty piste
Ratkaise \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Vaihe 1. Määrittelyjoukko (ODZ). \(x \neq 9\).
Vaihe 2. Nollakohdat ja kertaluvut. \(x = 2\) – kertaluku 2 (parillinen), \(x = -6\) – kertaluku 1, \(x = 9\) – kertaluku 1 nimittäjässä.
Vaihe 3. Pisteet. \(x = 2\) ja \(x = -6\) täytetään (osoittajan nollakohdat ei-ehdottomalla merkillä), \(x = 9\) jätetään tyhjäksi.
Vaihe 4. Merkit. Koepiste \(x = 10\): osoittaja on positiivinen, nimittäjä on 1 – plus. Edetään vasemmalle. Yli yhdeksän (pariton kertaluku) merkki muuttuu: välillä \((2; 9)\) miinus. Yli kahden (parillinen kertaluku) merkki ei muutu: välillä \((-6; 2)\) on myös miinus. Yli -6:n (pariton kertaluku) merkki muuttuu: välillä \((-\infty; -6)\) plus.
Vaihe 5. Vastaus. Valitaan välit, joissa on "plus", sekä kaikki pisteet, joissa lauseke on nolla. Piste \(x = 2\) on miinusmerkkisen välin sisällä, mutta lauseke on siinä nolla, joten se sisältyy vastaukseen erikseen:
Tällainen "yksinäinen" piste vastauksessa on varma merkki parillisen kertaluvun juuresta ei-ehdottomalla merkillä.
Esimerkki 4. Murtolausekkeen supistaminen: ODZ-ansa
Ratkaise \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Vaihe 1. Jaetaan tekijöihin. Osoittaja on täydellinen neliö: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Nimittäjän diskriminantti on: \(D = 81 + 40 = 121\), juuret \(x_1 = \frac{1}{5}\) ja \(x_2 = -2\), joten \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Vaihe 2. Määrittelyjoukko (ODZ) – ennen mitään supistamista. \(5x - 1 \neq 0\) ja \(x + 2 \neq 0\), eli \(x \neq \frac{1}{5}\) ja \(x \neq -2\).
Vaihe 3. Supistetaan. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), mutta vain kun \(x \neq \frac{1}{5}\) – supistaminen ei palauta tyhjää pistettä takaisin.
Vaihe 4. Ratkaistaan \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Nollakohdat: \(\frac{1}{5}\) ja \(-2\). Kun \(x = 1\), murtolauseke on \(\frac{4}{3} > 0\). Siis välillä \((\frac{1}{5}; +\infty)\) on plus, välillä \((-2; \frac{1}{5})\) miinus, välillä \((-\infty; -2)\) plus.
Vaihe 5. Palautetaan ODZ. Väli \((-2; \frac{1}{5}]\) sopisi merkin puolesta, mutta piste \(\frac{1}{5}\) on tyhjä: alkuperäisessä epäyhtälössä nimittäjä \(5x^2+9x-2\) saa arvon nolla pisteessä \(x = \frac{1}{5}\), murtolauseketta ei ole siinä määritelty.
Vastaus: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) – molemmat sulkeet ovat pyöreitä.
Esimerkki 5. Neliöllinen kolmiterä osoittajassa
Ratkaise \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Vaihe 1. Jaetaan osoittaja tekijöihin. Vieten lauseen summan mukaan juurten summa on 7 ja tulo 10, joten \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Epäyhtälö saa muodon \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Vaihe 2. Määrittelyjoukko (ODZ). \(x \neq -4\).
Vaihe 3. Pisteet. Kaikki kolme pistettä ovat tyhjiä: \(-4\) – nimittäjän nollakohta, \(2\) ja \(5\) – osoittajan nollakohdat ehdottomalla merkillä.
Vaihe 4. Merkit. Koepiste \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Kaikki sulut ovat ensimmäisessä potenssissa, joten merkit vuorottelevat: välillä \((5; +\infty)\) plus, välillä \((2; 5)\) miinus, välillä \((-4; 2)\) plus, välillä \((-\infty; -4)\) miinus.
Vaihe 5. Vastaus. Tarvitaan ehdoton miinusmerkki: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Tarkistus sijoittamalla: kun \(x = -5\), saadaan \(\frac{70}{-1} < 0\), kun \(x = 3\), saadaan \(\frac{-2}{7} < 0\) – molemmat välit sopivat.
Yleisiä virheitä rationaalisten epäyhtälöiden ratkaisemisessa
-
Kerrotaan molemmat puolet nimittäjällä: epäyhtälöstä $\frac{3}{x-8} > 1$ tehdään $3 > x - 8$ ja kirjoitetaan $x < 11$.
Lausekkeen \(x - 8\) merkki on tuntematon, ja negatiivisella luvulla kerrottaessa epäyhtälö kääntyy. Tarkistus: \(x = 0\) antaa \(\frac{3}{-8} < 1\) – nolla ei ole ratkaisu, vaikka se sisältyi vastaukseen \(x < 11\). Oikein: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), eli \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), josta \(x \in (8; 11)\).
-
Täytetään nimittäjän nollakohta, koska merkki on ei-ehdoton: epäyhtälössä $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ kirjoitetaan vastaus hakasulkeella seitsemän kohdalla.
Nimittäjän nollakohta jätetään tyhjäksi aina, merkistä riippumatta: tässä pisteessä murtolauseketta ei yksinkertaisesti ole määritelty. Oikea vastaus: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) – ykkösen kohdalla sulje on hakasulje, seitsemän kohdalla pyöreä.
-
Supistetaan murtolauseke ja menetetään ODZ: epäyhtälöstä $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ saadaan $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ ja sisällytetään vastaukseen piste $x = -3$.
Määrittelyjoukko (ODZ) kirjoitetaan ennen supistamista, alkuperäisen nimittäjän mukaan: \(x \neq -3\) ja \(x \neq 5\). Supistettu murtolauseke \(\frac{x+3}{x-5}\) on negatiivinen välillä \([-3; 5)\) – kun \(x = 0\), se on \(-0{,}6\), mikä vaaditaan merkille \(\le\). Mutta piste \(-3\) on tyhjä ODZ:n mukaan, joten vastaus on \((-3; 5)\), ei \([-3; 5)\).
-
Oletetaan, että välien merkit aina vuorottelevat, ja asetetaan välille $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ miinusmerkki ykkösestä oikealle.
Vuorottelu on totta vain, kun sulut ovat ensimmäisessä potenssissa. Juurella \(x = 1\) on kertaluku 2, joten merkki ei muutu sen yli. Lauseke on positiivinen koko välillä \((-4; +\infty)\), paitsi itse ykkösen kohdalla, jossa se on nolla. Vastaus: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Muutetaan epäyhtälön merkkiä siirrettäessä termiä: epäyhtälöstä $\frac{x}{x-2} \le 3$ tehdään $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Termin siirtäminen osasta toiseen ei muuta epäyhtälön merkkiä – muuttuu vain siirrettävän termin merkki. Merkki kääntyy vain, kun molemmat puolet kerrotaan tai jaetaan negatiivisella luvulla. Oikein: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), sitten \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), eli \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Merkitään lukusuoralle vain osoittajan nollakohdat, ja nimittäjä tarkistetaan "myöhemmin": epäyhtälölle $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ asetetaan yksi piste $-11$.
Lukusuoralle merkitään kaikki nollakohdat kerralla – sekä osoittajan että nimittäjän, muuten välit muodostuvat virheellisesti. Tässä \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), joten pisteitä on kolme: \(-11\), \(-4\) ja \(4\), ei yksi. Kaikki ovat tyhjiä (ehdoton merkki), vastaus: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Kysymyksiä ja vastauksia
Mikä on rationaaliepäyhtälö?
Se on epäyhtälö, jonka molemmat puolet ovat rationaalilausekkeita (polynomeja ja polynomimurtolausekkeita). Kun kaikki siirretään vasemmalle puolelle, se supistuu muotoon \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), missä \(P(x)\) ja \(Q(x)\) ovat polynomeja, ja merkin \(>\) sijaan voi olla \(<\), \(\le\) tai \(\ge\).
Miten ratkaista rationaalisia epäyhtälöitä?
Välimenetelmällä kuudessa vaiheessa: siirrä kaikki vasemmalle, jotta oikealle jää nolla; yhdistä yhdeksi murtolausekkeeksi ja jaa osoittaja ja nimittäjä tekijöihin; kirjoita määrittelyjoukko (Q(x) ≠ 0); merkitse lukusuoralle osoittajan ja nimittäjän nollakohdat; aseta väleille merkit koepisteen ja juurten kertalukujen avulla; kirjoita vastaukseksi välit halutulla merkillä.
Miten murtolausekkeinen epäyhtälö eroaa kokonaisrationaalisesta?
Kokonaisrationaalisessa epäyhtälössä muuttuja on vain osoittajassa, esim. \((x-1)(x+4) > 0\), ja määrittelyjoukko on kaikki reaaliluvut. Murtolausekkeisessa muuttuja on nimittäjässä, esim. \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), ja ilmestyy rajoitus \(x \neq -4\). Algoritmi on sama – vain tyhjät pisteet eroavat.
Miten ratkaista epäyhtälöitä murtolausekkeella?
Samoin kuin mitä tahansa rationaaliepäyhtälöä: ensin siirrä kaikki vasemmalle ja yhdistä yhdeksi murtolausekkeeksi, äläkä yritä päästä eroon nimittäjästä. Esimerkiksi \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) muuttuu muotoon \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), eli \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Osoittaja on vakio ja negatiivinen, joten murtolauseke on ei-negatiivinen vain, kun nimittäjä on negatiivinen: \(x + 2 < 0\). Vastaus: \(x \in (-\infty; -2)\).
Miksi epäyhtälön molempia puolia ei saa kertoa nimittäjällä?
Koska nimittäjän merkki riippuu \(x\):stä: positiivisella lausekkeella kerrottaessa epäyhtälön merkki säilyy, negatiivisella – kääntyy. Et voi tietää etukäteen, kumpi tapaus on kyseessä, joten osa ratkaisuista katoaa ja osa lisätään virheellisesti. Termien siirtäminen on aina sallittua – siirtäminen ei muuta epäyhtälön merkkiä.
Miten löytää määrittelyjoukko (ODZ) epäyhtälössä?
Rationaaliepäyhtälössä määrittelyjoukko ovat kaikki \(x\):n arvot, joilla nimittäjä ei saa arvoa nolla. Aseta nimittäjä yhtä suureksi kuin nolla, ratkaise yhtälö ja poista löydetyt luvut. Määrittelyjoukko (ODZ) on kirjoitettava alkuperäisen nimittäjän mukaan, ennen murtolausekkeen supistamista – muuten tyhjät pisteet katoavat.
Mitkä pisteet ovat tyhjiä ja mitkä täytettyjä?
Nimittäjän nollakohdat jätetään tyhjiksi aina, merkistä riippumatta. Osoittajan nollakohdat täytetään ei-ehdottomalla merkillä (\(\le\) tai \(\ge\)) ja jätetään tyhjiksi ehdottomalla merkillä (\(<\) tai \(>\)). Vastauksen esityksessä tyhjälle pisteelle vastaa pyöreä sulje, täytetylle – hakasulje.
Mikä on juuren kertaluku ja mihin sitä tarvitaan välimenetelmässä?
Kertaluku on potenssi, jossa sulku esiintyy tekijöiden hajotelmassa. Parittoman kertaluvun juuren yli siirryttäessä lausekkeen merkki muuttuu, parillisen kertaluvun juuren yli siirryttäessä – säilyy. Siksi merkit eivät aina yksinkertaisesti vuorottele: lausekkeessa \((x-9)^2(x+3)\) pisteessä 9 merkki pysyy samana.
Millä luokalla käsitellään rationaalisia epäyhtälöitä?
- luokalla matematiikan tunneilla, neliöepäyhtälöiden ja polynomien tekijöihin jaon jälkeen. Välimenetelmää käytetään myöhemmin eksponentti-, logaritmi- ja irrationaaliepäyhtälöissä sekä OGE- ja profiili-EGE-tehtävissä.
