معادله درجه دوم، معادلهای به شکل \(ax^2 + bx + c = 0\) است که در آن \(a \neq 0\). تعداد ریشههای آن را دلتا \(D = b^2 - 4ac\) تعیین میکند و خود ریشهها با فرمول \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) به دست میآیند. در این صفحه همه چیز در مورد این موضوع جمعآوری شده است: فرم استاندارد و ضرایب، سه نوع معادله ناقص، دلتا و سه حالت، فرمول ریشهها و نسخه «زوج» آن، معادله مُعَدَّل و قضیه ویتا، تجزیه به عوامل و معادلات دو درجهای — با مثالهای گام به گام، تجزیه و تحلیل خطاهای رایج و یک تمرینکننده تعاملی.
معادله درجه دوم چیست؟
معادله درجه دوم، معادلهای به شکل
است که در آن \(x\) مجهول و \(a\)، \(b\)، \(c\) اعداد (ضرایب) هستند و \(a \neq 0\). این نمایش فرم استاندارد معادله درجه دوم نامیده میشود: سمت چپ جملات بر اساس توان نزولی مرتب شدهاند و سمت راست صفر است.
شرط \(a \neq 0\) یک تشریفات نیست. این جمله \(ax^2\) است که معادله را درجه دوم میکند: اگر \(a = 0\) باشد، \(bx + c = 0\) باقی میماند، یعنی یک معادله خطی معمولی با یک ریشه. بنابراین، در مسائل پارامتری، اولین کاری که باید انجام داد این است که بررسی کنیم آیا ضریب بزرگترین توان صفر نمیشود.
تقریباً همیشه میتوان معادله را به فرم استاندارد تبدیل کرد: پرانتزها را باز کنید، همه جملات را به سمت چپ منتقل کنید و جملات مشابه را جمع کنید. به عنوان مثال، \(5x^2 = 3x - 2\) پس از انتقال به \(5x^2 - 3x + 2 = 0\) تبدیل میشود، که از آن \(a = 5\)، \(b = -3\)، \(c = 2\) به دست میآید. عبارت «معادله درجه دوم» دقیقاً همان معنی را میدهد — این فقط یک نام دیگر است.
معادلات درجه دوم کامل و ناقص
اگر هر سه ضریب مخالف صفر باشند، معادله را کامل مینامند. اگر \(b\) یا \(c\) (یا هر دو) صفر باشند — ناقص. دقیقاً سه نوع ناقص وجود دارد و هیچکدام به دلتا نیاز ندارند: هر کدام در یک یا دو خط حل میشوند و این سریعترین راه برای صرفهجویی در وقت در آزمون است.
ایده کلیدی برای \(ax^2 + bx = 0\) — فاکتورگیری از عامل مشترک. حاصلضرب \(x(ax + b)\) زمانی صفر است که حداقل یکی از عوامل صفر باشد، از اینجا بلافاصله دو ریشه به دست میآید. برای \(ax^2 + c = 0\) ایده متفاوت است: \(x^2\) را محاسبه کنید و به علامت عدد به دست آمده نگاه کنید — مربع یک عدد حقیقی نمیتواند منفی باشد.
| نوع معادله | نحوه حل |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 - 50 = 0 | $c$ را به سمت راست منتقل کرده و بر $a$ تقسیم کنید: x2 = −c/a. ریشه را با در نظر گرفتن علامت دوم استخراج کنید.x = 5 و x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | $x$ را فاکتور بگیرید: x(ax + b) = 0. حاصلضرب زمانی صفر است که یکی از عوامل صفر باشد.x = 0 و x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | بر $a$ تقسیم کرده و ریشه صفر را استخراج کنید. ریشه همیشه دقیقاً یکی است.x = 0 |
دلتا: چگونه پیدا کنیم و چند ریشه خواهد داشت
دلتا عددی است که با استفاده از ضرایب معادله کامل محاسبه میشود:
خود کلمه به معنی «تمایز دهنده» است: دلتا چیزی را حل نمیکند، فقط سه وضعیت را متمایز میکند — دو ریشه، یک ریشه یا اصلاً ریشه ندارد. بنابراین، سوال «معادله چند ریشه دارد» بدون یافتن خود ریشهها حل میشود.
محاسبه \(D\) باید با دقت انجام شود: \(b^2\) همیشه مثبت است، حتی اگر خود \(b\) منفی باشد، و علامتهای \(a\) و \(c\) در حاصلضرب \(4ac\) همانطور که هستند وارد میشوند. \(x^2 + 4x - 5 = 0\) را در نظر بگیرید: در اینجا \(a = 1\)، \(b = 4\)، \(c = -5\) است، بنابراین \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). دلتا مثبت است و دو ریشه وجود خواهد داشت.
فرمول ریشههای معادله درجه دوم
وقتی \(D \ge 0\)، ریشهها با فرمول اصلی موضوع به دست میآیند:
علامت \(\pm\) به معنی دو محاسبه است: یک بار با جمع و بار دیگر با تفریق. برای \(D = 0\) هر دو محاسبه یک عدد یکسان \(x = -\dfrac{b}{2a}\) را میدهند — این ریشه را ریشه مضاعف مینامند.
دو جایی که بیشتر اشتباه میشود: در صورت منفی \(b\) قرار دارد (برای \(b = -7\) این \(+7\) است)، و در مخرج \(2a\) است، نه فقط \(2\). برای \(a = 1\) تفاوتی دیده نمیشود، بنابراین اشتباه دقیقاً در جایی که ضریب بزرگترین توان متفاوت از یک است، ظاهر میشود.
\(2x^2 - 9x - 5 = 0\) را حل کنیم: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\)، \(\sqrt{D} = 11\)، بنابراین \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) و \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
ضریب زوج دوم: فرمول با D₁
اگر \(b\) عددی زوج باشد، میتوان آن را به صورت \(b = 2k\) نوشت و دلتای «کاهش یافته» را محاسبه کرد:
اعداد در محاسبات چهار برابر کوچکتر میشوند (\(D = 4D_1\)) و علامت \(D_1\) همانند \(D\) است — بنابراین نتیجهگیری در مورد تعداد ریشهها تغییر نمیکند.
مثال: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). در اینجا \(b = 8\)، یعنی \(k = 4\)، و \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\)، \(\sqrt{D_1} = 5\). سپس \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) و \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). با فرمول معمولی باید با \(D = 100\) کار میکردیم — نتیجه همان است، اما محاسبات بیشتر بود.
معادله مُعَدَّل و قضیه ویتا
معادلهای با \(a = 1\) را مُعَدَّل مینامند و به صورت \(x^2 + px + q = 0\) مینویسند. هر معادله درجه دومی را میتوان با تقسیم بر \(a\) به این فرم تبدیل کرد: به عنوان مثال، \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) پس از تقسیم بر 4 به \(x^2 - 3x + 2 = 0\) تبدیل میشود.
فرم مُعَدَّل ارزشمند است زیرا قضیه ویتا برای آن کار میکند: مجموع ریشهها برابر \(-p\) و حاصلضرب برابر \(q\) است. برای \(x^2 - 7x + 10 = 0\) به دو عدد با مجموع 7 و حاصلضرب 10 نیاز داریم — اینها 2 و 5 هستند، و نیازی به محاسبه دلتا نبود.
انتخاب بر اساس ویتا زمانی مفید است که ریشهها اعداد صحیح و کوچکی باشند، و همچنین پاسخ به دست آمده از طریق دلتا را به صورت رایگان بررسی میکند: مجموع باید \(-p\) و حاصلضرب \(q\) را بدهد. فرمولهای مربوط به حالت کلی، قضیه معکوس و الگوریتم انتخاب در یک مطلب جداگانه توضیح داده شدهاند — قضیه ویتا.
تجزیه چندجملهای درجه دوم به عوامل
اگر ریشههای \(x_1\) و \(x_2\) پیدا شوند، چندجملهای درجه دوم به عوامل تجزیه میشود:
عامل \(a\) را نباید فراموش کرد — بدون آن تساوی معتبر نخواهد بود. بررسی تجزیه همیشه آسان است: پرانتزها را باز کنید و با چندجملهای اصلی مقایسه کنید. مثلاً، ریشههای \(x^2 + 2x - 8\) برابر 2 و \(-4\) هستند، بنابراین \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
مسیر معکوس نیز کار میکند: اگر بتوان چندجملهای را به صورت ذهنی تجزیه کرد، ریشهها بلافاصله مشخص میشوند و نیازی به دلتا نیست. اتحادهای مربع کامل در اینجا مفید هستند — به عنوان مثال، \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) ریشههای 4 و \(-4\) را بلافاصله میدهد.
سومین روش برای حل بدون فرمول ریشهها — مربع کامل کردن. در \(x^2 + 6x + 5 = 0\) دو جمله اول مربع مجموع را کامل میکنند: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\)، یعنی \((x + 3)^2 = 4\)، از اینجا \(x + 3 = \pm 2\) و \(x = -1\) یا \(x = -5\). دقیقاً همین روش برای استخراج فرمول ریشهها در حالت کلی استفاده میشود.
معادلات قابل تبدیل به درجه دوم: معادلات دو درجهای
معادله دو درجهای به شکل \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) است: توانها فقط زوج هستند. با جایگذاری \(t = x^2\) حل میشود، با این شرط که \(t \ge 0\) — مربع یک عدد حقیقی نمیتواند منفی باشد.
پس از جایگذاری، یک معادله درجه دوم معمولی \(at^2 + bt + c = 0\) به دست میآید. آن را با دلتا حل میکنند، و سپس برای هر ریشه نامنفی \(t\) به \(x = \pm\sqrt{t}\) برمیگردند. از اینجا تعداد ریشهها به دست میآید: تا چهار ریشه.
به عنوان مثال، \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) پس از جایگذاری \(t^2 - 5t + 4 = 0\) را میدهد که ریشههای \(t = 1\) و \(t = 4\) دارد. هر دو مثبت هستند، بنابراین \(x = \pm 1\) و \(x = \pm 2\) — در مجموع چهار ریشه. اگر یکی از \(t\) ها منفی بود، به سادگی حذف میشد.
با همین روش معادلات کسری-گویا (پس از تبدیل به مخرج مشترک و حذف مقادیر ممنوعه) و معادلات با جایگذاریهایی مانند \(t = x^2 + 3x\) حل میشوند.
مثالهای حل معادلات درجه دوم
مثال ۱. معادله کامل، D > 0
حل کنید \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
مرحله ۱. معادله در فرم استاندارد است: \(a = 3\)، \(b = -7\)، \(c = 2\).
مرحله ۲. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — دو ریشه وجود دارد.
مرحله ۳. \(\sqrt{D} = 5\)، بنابراین \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\)، \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
مرحله ۴. بررسی با جایگذاری. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\)؛ \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
پاسخ: \(x_1 = 2\)، \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
مثال ۲. دلتا صفر است
حل کنید \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
مرحله ۱. \(a = 4\)، \(b = -12\)، \(c = 9\).
مرحله ۲. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — یک ریشه وجود دارد.
مرحله ۳. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
مرحله ۴. بررسی. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
پاسخ: \(x = 1{,}5\). توجه کنید: سمت چپ، مربع کامل \((2x - 3)^2\) است، بنابراین ریشه یکسان به دست آمده است.
مثال ۳. دلتا منفی است
حل کنید \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
مرحله ۱. \(a = 2\)، \(b = 3\)، \(c = 5\).
مرحله ۲. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
مرحله ۳. دلتا منفی است، بنابراین استخراج \(\sqrt{D}\) در میان اعداد حقیقی ممکن نیست. نیازی به استفاده از فرمول ریشهها نیست — حل در اینجا به پایان میرسد.
پاسخ: ریشه حقیقی وجود ندارد. این یک پاسخ کامل است، نه نشانه خطا: نمودار تابع \(y = 2x^2 + 3x + 5\) محور \(x\) را قطع نمیکند.
مثال ۴. معادله ناقص به شکل ax² + c = 0
حل کنید \(3x^2 - 27 = 0\).
مرحله ۱. جمله ثابت را به سمت راست منتقل میکنیم: \(3x^2 = 27\).
مرحله ۲. بر 3 تقسیم میکنیم: \(x^2 = 9\).
مرحله ۳. مربع دو عدد برابر 9 است: \(x = 3\) و \(x = -3\). علامت دوم اغلب گم میشود.
مرحله ۴. بررسی. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\)؛ \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
پاسخ: \(x_1 = 3\)، \(x_2 = -3\). با معادله \(2x^2 + 8 = 0\) مقایسه کنید: در آنجا \(x^2 = -4\) بود و ریشههای حقیقی وجود نداشت.
مثال ۵. معادله ناقص به شکل ax² + bx = 0
حل کنید \(5x^2 - 15x = 0\).
مرحله ۱. عامل مشترک را فاکتور میگیریم: \(5x(x - 3) = 0\).
مرحله ۲. حاصلضرب زمانی صفر است که یکی از عوامل صفر باشد: \(5x = 0\) یا \(x - 3 = 0\).
مرحله ۳. از اینجا \(x_1 = 0\)، \(x_2 = 3\).
مرحله ۴. بررسی. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\)؛ \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
پاسخ: \(x_1 = 0\)، \(x_2 = 3\). اگر معادله اصلی را بر \(x\) ساده کنیم، فقط \(x = 3\) باقی میماند — ریشه \(x = 0\) از دست میرود. تقسیم بر عبارتی با مجهول مجاز نیست.
مثال ۶. ضریب زوج دوم
حل کنید \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
مرحله ۱. \(b = -22\) زوج است، بنابراین \(k = -11\)، و \(a = 5\)، \(c = 8\).
مرحله ۲. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\)، \(\sqrt{D_1} = 9\).
مرحله ۳. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\)، \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
مرحله ۴. بررسی. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\)؛ \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
پاسخ: \(x_1 = 4\)، \(x_2 = 0{,}4\). دلتای معمولی \(D = 324\) را میداد — همان پاسخ، اما محاسبات طولانیتر بود.
مثال ۷. ابتدا به فرم استاندارد تبدیل کنید
حل کنید \((x - 3)(x + 5) = 9\).
مرحله ۱. پرانتزها را باز میکنیم: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\)، یعنی \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
مرحله ۲. 9 را به سمت چپ منتقل میکنیم: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). فقط اکنون میتوانیم ضرایب را بنویسیم: \(a = 1\)، \(b = 2\)، \(c = -24\).
مرحله ۳. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\)، \(\sqrt{D} = 10\)، \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\)، \(x_2 = -6\).
مرحله ۴. بررسی در معادله اصلی. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\)؛ \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
پاسخ: \(x_1 = 4\)، \(x_2 = -6\). خطای رایج در اینجا این است که هر پرانتز را برابر 9 قرار دهیم: قانون «حاصلضرب برابر صفر است» فقط برای صفر کار میکند.
مثال ۸. تجزیه چندجملهای به عوامل
تجزیه کنید \(2x^2 - 5x - 3\) به عوامل.
مرحله ۱. چندجملهای را برابر صفر قرار داده و ریشهها را پیدا میکنیم: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\)، \(\sqrt{D} = 7\)، \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\)، \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
مرحله ۲. در فرمول \(a(x - x_1)(x - x_2)\) جایگذاری میکنیم: \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
مرحله ۳. عدد 2 را به راحتی در پرانتز دوم میبریم: \((x - 3)(2x + 1)\).
مرحله ۴. بررسی با باز کردن پرانتزها. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
پاسخ: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
مثال ۹. معادله دو درجهای
حل کنید \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
مرحله ۱. جایگذاری \(t = x^2\)، که در آن \(t \ge 0\). معادله به \(t^2 - 13t + 36 = 0\) تبدیل میشود.
مرحله ۲. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\)، \(\sqrt{D} = 5\)، \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\)، \(t_2 = 4\).
مرحله ۳. هر دو مقدار نامنفی هستند، بنابراین به \(x\) برمیگردیم: از \(x^2 = 9\) داریم \(x = \pm 3\)، از \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
مرحله ۴. بررسی. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\)؛ \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). برای مقادیر منفی، توانهای زوج اعداد یکسانی را میدهند.
پاسخ: \(x = \pm 2\) و \(x = \pm 3\) — چهار ریشه.
خطاهای رایج در حل معادلات درجه دوم
-
دلتا را بدون تبدیل معادله به فرم استاندارد محاسبه میکنند: برای $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ بلافاصله $a = 2$، $b = 3$، $c = 0$ را در نظر میگیرند.
ابتدا همه را به سمت چپ منتقل کرده و جملات مشابه را جمع میکنند: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\)، یعنی \(x^2 + 3x - 5 = 0\). فقط از اینجا \(a = 1\)، \(b = 3\)، \(c = -5\). فرمول ریشهها فقط با فرم استاندارد کار میکند.
-
علامت را هنگام به توان رساندن $b$ به توان دو گم میکنند: برای $x^2 - 9x + 14 = 0$ مینویسند $D = -81 - 56$.
مربع هر عددی نامنفی است: \((-9)^2 = 81\)، نه \(-81\). درست است \(D = 81 - 56 = 25\)، ریشهها \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\)، یعنی 7 و 2. بررسی: \(49 - 63 + 14 = 0\) و \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
در صورت $b$ را به جای $-b$ قرار میدهند: برای $x^2 + 5x - 6 = 0$ محاسبه میکنند $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
در فرمول \(-b\) وجود دارد، بنابراین برای \(b = 5\) در صورت \(-5\) خواهد بود: \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\)، از اینجا \(x_1 = 1\)، \(x_2 = -6\). جایگذاری تأیید میکند: \(1 + 5 - 6 = 0\) و \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
در حالت $D = 0$ مینویسند «ریشهای ندارد»: معادله $x^2 + 14x + 49 = 0$ دلتای صفر دارد و حل متوقف میشود.
ریشهای وجود ندارد فقط در حالت \(D < 0\). در حالت \(D = 0\) دقیقاً یک ریشه وجود دارد: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). بررسی: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
معادله $4x^2 - 9x = 0$ را بر $x$ ساده میکنند و تنها ریشه $x = 2{,}25$ را به دست میآورند.
تقسیم بر عبارتی با مجهول مجاز نیست: \(x\) میتواند صفر باشد و ریشه \(x = 0\) از دست میرود. درست است که عامل مشترک را فاکتور بگیریم: \(x(4x - 9) = 0\)، از اینجا \(x_1 = 0\) و \(x_2 = 2{,}25\). بررسی: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
در معادله $x^2 = 16$ فقط $x = 4$ را مینویسند.
مربع 16 هم برای عدد \(-4\) است. باید هر دو ریشه را نوشت: \(x = \pm 4\). مطمئنتر است که از فرم استاندارد \(x^2 - 16 = 0\) حل کنیم، یعنی \((x - 4)(x + 4) = 0\) — در این صورت هر دو عامل بلافاصله دیده میشوند.
-
شرط $a \neq 0$ را در معادله با پارامتر بررسی نمیکنند: در $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ بلافاصله دلتا را محاسبه میکنند.
وقتی \(m = 2\) ضریب بزرگترین توان صفر میشود و معادله خطی \(3x - 1 = 0\) با یک ریشه \(x = \dfrac{1}{3}\) به دست میآید. حالت \(m = 2\) جداگانه بررسی میشود، و فرمول ریشهها فقط برای \(m \neq 2\) به کار میرود.
سوالات و پاسخها
معادله درجه دوم چیست؟
این معادلهای به شکل \(ax^2 + bx + c = 0\) است که در آن \(a\)، \(b\)، \(c\) اعداد هستند و \(a \neq 0\). مجهول در آن به توان دوم وارد شده است، بنابراین ممکن است دو، یک یا هیچ ریشهای نداشته باشد.
فرم استاندارد معادله درجه دوم چگونه است؟
فرم استاندارد (عمومی) — \(ax^2 + bx + c = 0\): همه جملات بر اساس توان نزولی در سمت چپ جمع شدهاند، سمت راست صفر است. هر معادله درجه دومی قبل از محاسبه دلتا به این فرم تبدیل میشود.
چگونه دلتا را پیدا کنیم؟
با فرمول \(D = b^2 - 4ac\)، با جایگذاری ضرایب همراه با علامتهایشان. به عنوان مثال، برای \(x^2 + 3x - 10 = 0\) داریم \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\)، و ریشهها برابر \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\)، یعنی 2 و \(-5\) هستند.
فرمول ریشههای معادله درجه دوم چیست؟
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)، یا کوتاهتر \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). این فرمول برای \(D \ge 0\) به کار میرود؛ در مخرج دقیقاً \(2a\) است، نه 2.
معادله درجه دوم چند ریشه میتواند داشته باشد؟
حداکثر دو ریشه. برای \(D > 0\) دو ریشه، برای \(D = 0\) — یک ریشه (مضاعف)، برای \(D < 0\) ریشه حقیقی وجود ندارد.
معادله درجه دوم ناقص چیست؟
این معادلهای است که در آن \(b = 0\)، \(c = 0\) یا هر دو همزمان: \(ax^2 + c = 0\)، \(ax^2 + bx = 0\)، \(ax^2 = 0\). هر سه بدون دلتا حل میشوند — با انتقال جمله یا فاکتورگیری از \(x\).
چگونه معادلات درجه دوم را بدون دلتا حل کنیم؟
سه راه وجود دارد: انتخاب ریشهها با قضیه ویتا برای معادله مُعَدَّل، تجزیه به عوامل و مربع کامل کردن. سریعترین راه زمانی است که ریشهها اعداد صحیح و کوچکی باشند.
اگر دلتا منفی باشد چه کار کنیم؟
بنویسیم که ریشه حقیقی وجود ندارد و حل را تمام کنیم. دلتای منفی یک پاسخ عادی است: نمودار سهمی مربوطه محور \(x\) را قطع نمیکند. ریشهها در چنین حالتی فقط در میان اعداد مختلط وجود دارند، و آنها بعداً مطالعه میشوند.
چگونه ریشههای پیدا شده را بررسی کنیم؟
هر ریشه را در معادله اصلی جایگذاری کنید — باید یک تساوی درست به دست آید. برای معادله مُعَدَّل یک بررسی سریع با قضیه ویتا نیز وجود دارد: مجموع ریشهها برابر \(-p\) و حاصلضرب برابر \(q\) است.
آیا معادله درجه دوم و معادله درجه دوم مترادف هستند؟
بله، این دو نام برای یک شیء \(ax^2 + bx + c = 0\) هستند. آن را با تابع درجه دوم \(y = ax^2 + bx + c\) اشتباه نگیرید: ریشههای معادله دقیقاً همان طولهای نقاطی هستند که نمودار تابع محور \(x\) را قطع میکند.
معادلات درجه دوم در کدام کلاس تدریس میشوند؟
در کلاس هشتم در درس جبر: ابتدا معادلات ناقص، سپس دلتا، فرمول ریشهها و قضیه ویتا. بعداً این موضوع در تابع درجه دوم، نامعادلات، مسائل OGE و ЕГЭ تکرار میشود.
