نسبت، برابری دو نسبت است، به عنوان مثال \(2:3 = 8:12\). برای حل نسبتها، فقط به یک ابزار نیاز دارید - خاصیت اصلی نسبت: حاصلضرب اعضای طرفین برابر با حاصلضرب اعضای وسطین است. در مدرسه به آن قاعده «ضرب وسطین و طرفین» میگویند. در زیر - نسبت و تناسب چیست، چگونه عضو مجهول را پیدا کنیم، تناسب مستقیم چگونه با معکوس متفاوت است، تجزیه و تحلیل مسائل مربوط به دستور پخت، مقیاس و قیمت، رسیدن به درصدها و یک تمرینکننده با ۱۰ مسئله.
نسبت و تناسب چیست
نسبت دو عدد، حاصل تقسیم آنهاست. نسبت \(2:3\) (خوانده میشود «دو به سه») نشان میدهد که یک عدد چند برابر عدد دیگر است یا چه کسری از عدد دیگر را تشکیل میدهد. میتوان آن را به دو روش نوشت: \(2:3\) یا کسر \(\frac{2}{3}\) - هر دو یکسان هستند.
تناسب، برابری دو نسبت است:
در تناسب کلاً چهار عدد وجود دارد و آنها نام دارند. اعداد در دو طرف عبارت - اعضای طرفین، اعداد در وسط - اعضای وسطین هستند. تناسب درست است زمانی که هر دو نسبت برابر با یک عدد باشند.
خاصیت اصلی نسبت: قاعده «ضرب وسطین و طرفین»
خاصیت اصلی نسبت: حاصلضرب اعضای طرفین برابر با حاصلضرب اعضای وسطین است.
چرا اینطور میشود؟ دو طرف تساوی \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) را در \(b \cdot d\) ضرب میکنیم. در سمت چپ \(b\) و در سمت راست \(d\) ساده میشود و دقیقاً \(a \cdot d = c \cdot b\) باقی میماند. هیچ جادویی در کار نیست - فقط یک خاصیت معمولی از تساویها.
دقیقاً همین است که دانشآموزان «حل نسبتها با ضرب وسطین و طرفین» مینامند: اعداد را به صورت قطری، ضربدر هم ضرب میکنند. این خاصیت در جهت معکوس نیز کار میکند: اگر برای چهار عدد (هیچکدام صفر نباشد) \(a \cdot d = b \cdot c\) برقرار باشد، میتوان از آنها یک نسبت درست ساخت.
از اینجا بلافاصله دو مهارت به دست میآید: بررسی اینکه آیا نسبت درست است یا خیر، و یافتن عدد مجهول در آن.
چگونه عضو مجهول نسبت را پیدا کنیم
از خاصیت اصلی دو قاعده کوتاه به دست میآید:
- عضو طرفین مجهول = حاصلضرب وسطین : عضو طرفین معلوم؛
- عضو وسطین مجهول = حاصلضرب طرفین : عضو وسطین معلوم.
نیازی به حفظ کردن آنها نیست. یک روش جهانی کافی است: ضربدر هم به صورت قطری، تساوی به شکل «عدد \(\cdot\, x\) = عدد» به دست میآید و تقسیم میکنیم. این را مرحله به مرحله برای نسبت \(x : 7 = 12 : 21\) بررسی میکنیم.
آخرین مرحله - بررسی - پنج ثانیه طول میکشد و تقریباً هر خطای حسابی را میگیرد، بنابراین نباید نادیده گرفته شود.
تناسب مستقیم و معکوس
دو مقدار را متناسب مستقیم مینامند، اگر با چند برابر شدن یکی، دیگری نیز به همان نسبت چند برابر شود. دو برابر بیشتر دفتر خریدیم - دو برابر بیشتر پول دادیم. نسبت این مقادیر ثابت است.
مقادیر متناسب معکوس هستند، اگر با چند برابر شدن یکی، دیگری به همان نسبت کاهش یابد. دو برابر کارگر بیشتر - دو برابر روز کمتر برای همان کار. حاصلضرب این مقادیر ثابت است.
تفاوت اصلی در لحظهای که نسبت را مینویسیم، مشخص میشود. برای وابستگی مستقیم، به همان شکل نوشته میشود: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). برای وابستگی معکوس، نسبت دوم وارونه میشود: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
چرا؟ برای وابستگی معکوس، حاصلضرب ثابت است: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). دو طرف را بر \(a_2 \cdot b_1\) تقسیم میکنیم - و دقیقاً \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\) به دست میآید. بنابراین «وارونه کردن» یک طلسم نیست که باید به خاطر سپرد، بلکه نتیجه ثابت بودن حاصلضرب است، نه نسبت.
| نشانه | مستقیم | معکوس |
|---|---|---|
| ارتباط | بیشتر → بیشتر | بیشتر → کمتر |
| ثابت | نسبت a : b | حاصلضرب a × b |
| نوشتار | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| مثال | 3 خودکار — 90 تومان، 5 خودکار — 150 تومان | 4 نقاش — 9 روز، 6 نقاش — 6 روز |
چگونه برای مسئله نسبت بسازیم: دستور پخت، مقیاس، قیمت
مسائل متنی «نسبت» طبق یک سناریو حل میشوند:
- شرط را در دو ستون بنویسید به طوری که مقادیر مشابه زیر هم قرار گیرند (سهمیه زیر سهمیه، گرم زیر گرم).
- مجهول را با \(x\) مشخص کنید.
- نوع وابستگی را تعیین کنید: به صورت ذهنی مقدار اول را افزایش دهید و ببینید مقدار دوم افزایش مییابد یا کاهش.
- نسبت را بسازید - برای وابستگی معکوس، نسبت دوم را وارونه کنید.
- با ضرب وسطین و طرفین حل کنید و بررسی کنید که آیا پاسخ منطقی است.
با یک دستور پخت نشان میدهیم. برای 4 سهم پنکیک به 300 گرم آرد نیاز است - برای 6 سهم چقدر آرد لازم است؟ سهمیهها بیشتر است، پس آرد هم بیشتر لازم است: وابستگی مستقیم است، نسبت «همانطور که هست» نوشته میشود:
برای 6 سهم، 450 گرم آرد لازم است. پاسخ منطقی است: سهمیهها 1.5 برابر شدهاند و آرد هم 1.5 برابر بیشتر لازم است.
مسائل مربوط به مقیاس (فاصله روی نقشه به فاصله روی زمین نسبت دارد همانطور که 1 به عدد مقیاس) و قیمت (تعداد کالا به تعداد نسبت دارد همانطور که هزینه به هزینه) دقیقاً به همین ترتیب حل میشوند. تجزیه و تحلیل کامل - در مثالهای زیر.
درصدها از طریق نسبت
درصد، یک صدم یک عدد است، بنابراین هر مسئله ساده درصدی به یک نسبت تبدیل میشود:
در جایی یکی از چهار عدد مجهول است - آن را با ضرب وسطین و طرفین پیدا میکنیم.
یافتن بخش. 15% از 240 چقدر میشود؟ نسبت \(x : 240 = 15 : 100\) را میسازیم، یعنی \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) و \(x = 36\).
یافتن کل. عدد 21، 35% از عددی است. نسبت \(21 : x = 35 : 100\) را میسازیم، یعنی \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) و \(x = 60\).
یافتن درصد. 18 از 45 چند درصد است؟ نسبت \(18 : 45 = p : 100\) را میسازیم، یعنی \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) و \(p = 40\)، یعنی 40%.
یک روش - سه نوع مسئله مختلف، نیازی به حفظ کردن چیز اضافی نیست. فقط سوال «چند درصد افزایش یا کاهش یافته است» جداگانه است: در آنجا ابتدا تغییر را پیدا میکنیم، و سپس آن را بر مقدار اولیه تقسیم میکنیم - این فرمول تغییر درصد است، نه یک نسبت ساده.
مثالهایی از حل نسبتها با تجزیه و تحلیل مرحله به مرحله
مثال ۱. عضو وسطین مجهول
مسئله. عضو مجهول نسبت \(15 : x = 45 : 24\) را پیدا کنید.
مرحله ۱. مشخص میکنیم کدام عضو کجاست. اعضای طرفین - 15 و 24، اعضای وسطین - \(x\) و 45.
مرحله ۲. خاصیت اصلی را به کار میبریم: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\)، یعنی \(360 = 45x\).
مرحله ۳. تقسیم میکنیم: \(x = 360 : 45 = 8\).
بررسی. \(15 : 8 = 1{,}875\) و \(45 : 24 = 1{,}875\) - نسبتها برابر هستند.
پاسخ: \(x = 8\).
مثال ۲. تناسب مستقیم: قیمت و تعداد
مسئله. شش دفتر 210 تومان قیمت دارند. ده دفتر مشابه چقدر قیمت دارند؟
مرحله ۱. تعداد دفترها بیشتر است - هزینه بیشتر است، بنابراین وابستگی مستقیم است.
مرحله ۲. شرط را طوری مینویسیم که مقادیر مشابه کنار هم باشند و نسبت را «همانطور که هست» میسازیم:
مرحله ۳. ضرب وسطین و طرفین: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\)، بنابراین \(x = 2100 : 6 = 350\).
بررسی. یک دفتر 210 : 6 = 35 تومان قیمت دارد، و ده دفتر - 35 · 10 = 350 تومان. مطابقت دارد.
پاسخ: 350 تومان.
مثال ۳. تناسب معکوس: کارگران و روزها
مسئله. هشت کارگر سفارش را در 15 روز انجام میدهند. دوازده کارگر همین سفارش را در چند روز انجام میدهند، اگر با سرعت یکسان کار کنند؟
مرحله ۱. تعداد کارگران بیشتر شده - روزهای کمتری لازم است. وابستگی معکوس است.
مرحله ۲. نسبت را با وارونه کردن نسبت دوم میسازیم:
در اینجا \(x\) روز برای 12 کارگر است، و 15 روز برای 8 کارگر: آنها جای خود را عوض کردهاند، چون وابستگی معکوس است.
مرحله ۳. ضرب وسطین و طرفین: \(8 \cdot 15 = 12x\)، یعنی \(120 = 12x\) و \(x = 10\).
بررسی. حاصلضرب ثابت است: \(8 \cdot 15 = 120\) و \(12 \cdot 10 = 120\). مطابقت دارد، و پاسخ منطقی است - روزها کمتر شده است.
پاسخ: 10 روز.
مثال ۴. مقیاس نقشه
مسئله. مقیاس نقشه \(1 : 200\,000\) است. فاصله بین روستاها روی نقشه 7 سانتیمتر است. فاصله بین آنها در واقعیت چقدر است؟
مرحله ۱. مقیاس \(1 : 200\,000\) به این معنی است: 1 سانتیمتر روی نقشه معادل 200 000 سانتیمتر در واقعیت است. این یک نسبت آماده است.
مرحله ۲. نسبت را میسازیم:
مرحله ۳. ضرب وسطین و طرفین: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\)، یعنی \(x = 1\,400\,000\) سانتیمتر.
مرحله ۴. به واحدهای مناسب تبدیل میکنیم: در یک کیلومتر 100 000 سانتیمتر است، بنابراین \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) کیلومتر.
پاسخ: 14 کیلومتر.
مثال ۵. درصدها از طریق نسبت
مسئله. در کلاس 25 دانشآموز وجود دارد، 60% از آنها به اردو رفتند. چند نفر به اردو رفتند؟
مرحله ۱. کل، یعنی 25 دانشآموز، معادل 100% است. بخش مورد نظر - \(x\) نفر، معادل 60% است.
مرحله ۲. نسبت «بخش : کل = درصد : 100» را میسازیم:
مرحله ۳. ضرب وسطین و طرفین: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\)، بنابراین \(x = 15\).
بررسی. 15 نفر از 25 نفر، \(15 : 25 = 0{,}6\) یعنی دقیقاً 60% است.
پاسخ: 15 نفر.
اشتباهات رایج در حل نسبتها
-
اعداد را «در امتداد» ضرب میکنند، نه ضربدر هم: در نسبت 5 : 2 = 20 : 8، 5 · 2 و 20 · 8 را محاسبه میکنند.
خاصیت اصلی اعضای طرفین را با اعضای وسطین مرتبط میکند، یعنی اعداد قطری: 5 · 8 = 40 و 2 · 20 = 40. حاصلضربها برابر شدند - نسبت درست است. اما 5 · 2 و 20 · 8 برابر نیستند و هیچ چیزی را نشان نمیدهند.
-
در مسئله وابستگی معکوس، نسبت «مستقیم» میسازند. شش پمپ استخر را در 10 ساعت پر میکنند؛ عبارت 6 : 15 = 10 : x نتیجه 25 ساعت برای 15 پمپ را میدهد.
تعداد پمپها بیشتر شده - زمان باید کمتر شود، اما بیشتر شده است: یعنی نسبت درست ساخته نشده است. نسبت دوم باید وارونه شود: 6 : 15 = x : 10، سپس 15x = 60 و x = 4 ساعت. همیشه پاسخ را از نظر منطقی بررسی کنید.
-
بعد از «ضرب وسطین و طرفین» برعکس تقسیم میکنند: از تساوی 8x = 96، x = 8 : 96 را به دست میآورند.
برای یافتن x، حاصلضرب را بر ضریبی که کنار x قرار دارد تقسیم میکنیم: x = 96 : 8 = 12. عادت خوبی است که عدد پیدا شده را دوباره جایگذاری کنیم: 8 · 12 = 96، همه چیز درست است.
-
واحدهای اندازهگیری را هماهنگ نمیکنند. در مسئله مقیاس 1 : 50 000 با 3 سانتیمتر روی نقشه، پاسخ «1.5» را بدون واحد مینویسند یا آن را متر مینامند.
ابتدا در واحدهایی که مقیاس داده شده محاسبه میکنیم: 3 · 50 000 = 150 000 سانتیمتر. و فقط بعد تبدیل میکنیم: 150 000 سانتیمتر = 1500 متر = 1.5 کیلومتر. واحدها در پاسخ به اندازه خود عدد مهم هستند.
-
نسبت و تناسب را اشتباه میگیرند: به درخواست ساختن نسبت، یک نسبت «12 : 4» مینویسند.
نسبت، یک حاصل تقسیم است: 12 : 4 = 3. تناسب، برابری دو نسبت است، در آن حتماً چهار عدد و علامت مساوی وجود دارد: 12 : 4 = 30 : 10 (بررسی میکنیم: 12 · 10 = 120 و 4 · 30 = 120).
سوالات و پاسخها
نسبت چگونه با تناسب متفاوت است؟
نسبت، حاصل تقسیم دو عدد است، به عنوان مثال 12 : 4. تناسب، برابری دو نسبت است، در آن چهار عدد وجود دارد: 12 : 4 = 30 : 10. نسبت به سوال «چند برابر است» پاسخ میدهد، و تناسب ادعا میکند که دو مقایسه این چنینی نتیجه یکسانی دارند.
اعضای طرفین و وسطین نسبت چیست؟
در عبارت a : b = c : d اعضای طرفین، آنهایی هستند که در دو طرف قرار دارند، یعنی a و d. اعضای وسطین - آنهایی هستند که در وسط قرار دارند، یعنی b و c. اگر نسبت به صورت کسر نوشته شود، اعضای طرفین - صورت کسر اول و مخرج کسر دوم، و اعضای وسطین - مخرج کسر اول و صورت کسر دوم هستند.
چگونه بررسی کنیم که آیا نسبت درست است؟
ضربدر هم به صورت قطری و مقایسه حاصلضربها. به عنوان مثال، برای 9 : 12 = 15 : 20 محاسبه میکنیم 9 · 20 = 180 و 12 · 15 = 180 - اعداد برابر شدند، بنابراین نسبت درست است. اگر حاصلضربها متفاوت باشند، نسبت نادرست است.
آیا میتوان اعضای نسبت را جابجا کرد؟
بله، اگر طبق قوانین انجام شود. در نسبت درست میتوان اعضای طرفین را جابجا کرد، میتوان اعضای وسطین را جابجا کرد، و میتوان هر دو طرف را همزمان وارونه کرد - نسبت درست باقی میماند. از 4 : 6 = 10 : 15، 4 : 10 = 6 : 15 یا 6 : 4 = 15 : 10 به دست میآید - حاصلضرب قطری در همه جا برابر 60 است. اما جابجا کردن فقط یک عدد ممکن نیست.
«حل نسبت با ضرب وسطین و طرفین» به چه معناست؟
این نام غیررسمی خاصیت اصلی نسبت است. اعداد را به صورت قطری، ضربدر هم ضرب میکنند: عضو طرفین در عضو طرفین و عضو وسطین در عضو وسطین. معادلهای با یک مجهول به دست میآید که با یک تقسیم حل میشود. هیچ «روش ضربدر هم» جداگانهای به جز خاصیت اصلی وجود ندارد.
چگونه بفهمیم وابستگی در مسئله مستقیم است یا معکوس؟
به صورت ذهنی مقدار اول را 2 برابر کنید و به مقدار دوم نگاه کنید. اگر آن هم 2 برابر شد - وابستگی مستقیم است، نسبت «همانطور که هست» نوشته میشود. اگر نصف شد - وابستگی معکوس است، نسبت دوم باید وارونه شود. یک نشانه دیگر: در وابستگی مستقیم نسبت مقادیر ثابت است، در وابستگی معکوس - حاصلضرب آنها.
چگونه مسائل درصد را از طریق نسبت حل کنیم؟
نسبت «بخش : کل = درصد : 100» را بسازید و مجهول را با ضرب وسطین و طرفین پیدا کنید. به عنوان مثال، 12% از 350: نسبت x : 350 = 12 : 100 را به دست میآوریم، یعنی 100x = 4200 و x = 42. به همین روش کل را بر اساس بخش معلوم و خود درصد نیز پیدا میکنند.
