الجذر التربيعي للعدد \(a\) هو العدد الذي مربعه يساوي \(a\)، والجذر التربيعي الحسابي هو قيمته غير السالبة فقط: \(\sqrt{25} = 5\). يمكن استخراج الجذر فقط من الأعداد غير السالبة، ولكن خصائص الجذر تحول التعبيرات المعقدة إلى تعبيرات قصيرة. في هذه الصفحة - التعريف ومجال التعريف، وجميع خصائص الجذر التربيعي مع الصيغ، وجدول الجذور التربيعية من 1 إلى 20، وطرق استخراج الجذر وإخراج العامل، وأمثلة مشروحة، وأخطاء شائعة، ومدرب تفاعلي.
ما هو الجذر التربيعي لعدد
الجذر التربيعي لعدد \(a\) هو عدد مربعه يساوي \(a\). استخراج الجذر والتربيع هما عمليتان عكسيتان: من \(7^2 = 49\) يتبع مباشرة أن الجذر التربيعي لـ 49 يساوي 7.
ولكن للعدد الموجب جذران تربيعيان بالضبط اثنان، ويختلفان فقط في الإشارة: \(5^2 = 25\) و \((-5)^2 = 25\)، أي أن الجذرين التربيعيين لـ 25 هما 5 و -5. لكي تعني الكتابة \(\sqrt{25}\) عددًا واحدًا فقط، تم الاتفاق على: علامة \(\sqrt{\phantom{a}}\) تسجل فقط الجذر غير السالب. وهذا ما يسمى بالجذر الحسابي.
للكتابة أسماء خاصة بها: علامة \(\sqrt{\phantom{a}}\) هي الجذر، والعدد أو التعبير تحته هو المقدار تحت الجذر.
الجذر التربيعي الحسابي: التعريف ومجال التعريف
الجذر التربيعي الحسابي لعدد غير سالب \(a\) هو عدد غير سالب مربعه يساوي \(a\). يُرمز له بـ \(\sqrt{a}\) ويُقرأ «جذر أ».
في التعريف شرطان، وكلاهما مهم بنفس القدر:
- المقدار تحت الجذر غير سالب: \(a \ge 0\)؛
- قيمة الجذر غير سالبة: \(\sqrt{a} \ge 0\).
من هنا نحصل مباشرة: \(\sqrt{25} = 5\)، وليس -5؛ \(\sqrt{0} = 0\)؛ والكتابة \(\sqrt{-9}\) ليس لها معنى في الأعداد الحقيقية - لا يوجد عدد مربعه سالب.
الشرط الأول يحدد مجال تعريف التعبير الذي يحتوي على جذر. على سبيل المثال، \(\sqrt{x-7}\) له معنى عندما \(x - 7 \ge 0\)، أي عندما \(x \ge 7\): أي قيمة أصغر لـ \(x\) تضع عددًا سالبًا تحت الجذر.
من التعريف يتبع أيضًا المساواة \((\sqrt{a})^2 = a\) عندما \(a \ge 0\): تربيع الجذر يعيد العدد تحت الجذر. وهي تعمل حتى عندما لا يمكننا حساب الجذر نفسه بدقة: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
جدول الجذور التربيعية: مربعات الأعداد من 1 إلى 20
يُستخرج الجذر بشكل صحيح فقط عندما يكون العدد تحت الجذر مربعًا كاملاً. لذلك، يعمل جدول المربعات أيضًا كجدول للجذور التربيعية: يُقرأ في كلا الاتجاهين - \(14^2 = 196\)، مما يعني \(\sqrt{196} = 14\).
الجدول مفيد ليس فقط مع الأعداد الصحيحة:
- الأعداد العشرية: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\)، لأن \(0{,}8^2 = 0{,}64\)؛
- الكسور العادية: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) - يُستخرج الجذر بشكل منفصل للبسط وبشكل منفصل للمقام؛
- الأعداد المستديرة: \(\sqrt{2500} = 50\)، لأن \(2500 = 25 \cdot 100\)، وجذر كل عامل معروف.
خصائص الجذر التربيعي
تسمح خصائص الجذر التربيعي بحساب التعبيرات دون استخراج كل جذر على حدة، وتبسيط الإجابة.
جذر حاصل الضرب يساوي حاصل ضرب الجذور: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) عندما \(a \ge 0\) و \(b \ge 0\). على سبيل المثال، \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) - نفس نتيجة \(\sqrt{144}\).
جذر حاصل القسمة يساوي حاصل قسمة الجذور: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) عندما \(a \ge 0\) و \(b > 0\). على سبيل المثال، \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). الشرط \(b > 0\) صارم: لا يمكن القسمة على صفر.
جذر المربع يساوي القيمة المطلقة: \(\sqrt{a^2} = |a|\)، وهذا صحيح لأي عدد \(a\). هنا تكمن الدقة الرئيسية في الموضوع بأكمله. إذا كان \(a \ge 0\)، لا يتغير شيء: \(\sqrt{7^2} = 7\). ولكن مع \(a\) السالب، «يستقيم» الرمز: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\)، وليس -6 - لأن الجذر الحسابي لا يمكن أن يكون سالبًا.
تربيع الجذر يعيد العدد تحت الجذر: \((\sqrt{a})^2 = a\) عندما \(a \ge 0\).
أما بالنسبة للمجموع والفرق، فلا توجد خصائص مشابهة: جذر المجموع لا يساوي مجموع الجذور. هذا هو الخطأ الأكثر شيوعًا في الموضوع، وسيتم تفصيله أدناه.
| خاصية وشرط | مثال |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bعندما a ≥ 0 و b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bعندما a ≥ 0 و b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|لأي a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aعندما a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bعندما b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
كيفية استخراج الجذر التربيعي لعدد
الآلة الحاسبة ليست دائمًا في متناول اليد، وتكون واجبات المدرسة دائمًا مصممة بحيث يمكن استخراج الجذر. خطوات العمل هي كالتالي.
- تحقق من جدول المربعات. إذا كان العدد موجودًا في الجدول، فالإجابة جاهزة: \(\sqrt{289} = 17\).
- افصل العامل المستدير. بالنسبة للأعداد التي تحتوي على أصفار، من المناسب فصل 100، 10000، وهكذا: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- حلل إلى عوامل أولية. هذه طريقة عالمية: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\)، نقسم أسس القوى على اثنين ونحصل على \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- حول العدد العشري إلى كسر عادي. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). هذا ينقذ أيضًا من فقدان المنزلة.
- إذا لم يكن هناك مربع كامل - فالجذر غير نسبي. في هذه الحالة، يُترك في الإجابة كرمز (تُكتب هكذا: \(\sqrt{30}\))، أو يُقدر بين مربعين متجاورين.
التحقق يستغرق ثانية: نرفع العدد الناتج إلى مربع ونرى ما إذا كان العدد تحت الجذر قد عاد. \(24^2 = 576\) - صحيح.
إخراج العامل من تحت علامة الجذر
نادراً ما يُترك الجذر «خاماً» - يُخرج منه كل ما يمكن استخراجه. تعمل الخاصية \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) عندما \(b \ge 0\): نبحث عن أكبر قاسم مربع للعدد تحت الجذر.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)؛
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)؛
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
العملية العكسية هي إدخال العامل تحت الجذر: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) عندما \(a \ge 0\). على سبيل المثال، \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
مع العامل السالب، يلزم الحذر: السالب لا يدخل تحت الجذر ويبقى في الخارج. الكتابة الصحيحة هي \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\)، وليس \(\sqrt{12}\).
لماذا هذا ضروري: بعد إخراج العامل، تصبح الجذور ذات المقدار تحت الجذر المتشابه حدودًا متشابهة، ويمكن جمعها. وإدخال العامل تحت الجذر هو أسرع طريقة لمقارنة تعبيرين يحتويان على جذور.
ما هو الجذر التربيعي الذي لا يُستخرج
إذا لم يكن العدد تحت الجذر مربعًا كاملاً، فإن الجذر هو عدد غير نسبي: تمثيله العشري لا نهائي وغير دوري. على سبيل المثال، \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\)، والقيمة الدقيقة تُكتب فقط بالرمز \(\sqrt{2}\). تُكتب الإجابة المقربة فقط عندما يُطلب ذلك في السؤال.
يمكن تقدير هذا الجذر بدون آلة حاسبة: ابحث عن مربعين كاملين متجاورين يقع بينهما العدد تحت الجذر. تعمل قاعدة المقارنة: للأعداد \(a \ge 0\) و \(b \ge 0\) من \(a < b\) يتبع \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) - العدد الأكبر تحت الجذر يقابله جذر أكبر.
أمثلة على حسابات الجذور التربيعية
مثال 1. قيمة تعبير يحتوي على جذور
احسب \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
الخطوة 1. \(\sqrt{121} = 11\)، لأن \(11^2 = 121\).
الخطوة 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\)، لأن \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
الخطوة 3. نستخرج الجذر للكسر من البسط والمقام: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
الخطوة 4. نجمع: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
الإجابة: 11.
مثال 2. جذر حاصل الضرب
احسب \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
الخطوة 1. لا يمكن استخراج هذين الجذرين بشكل منفصل، لذلك ندمجهما في جذر واحد: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
الخطوة 2. نحسب حاصل الضرب تحت الجذر: \(8 \cdot 18 = 144\).
الخطوة 3. \(\sqrt{144} = 12\).
طريقة أخرى - إخراج العوامل مسبقًا: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) و \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)، لذا \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). تطابقت الإجابات.
الإجابة: 12.
مثال 3. استخراج الجذر بالتحليل إلى عوامل
احسب \(\sqrt{576}\) و \(\sqrt{6400}\).
الخطوة 1. العدد 576 غير موجود في جدول المربعات، لذلك نحلله إلى عوامل أولية: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
الخطوة 2. نقسم أسس القوى على اثنين: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
الخطوة 3. التحقق. \(24^2 = 576\) - صحيح.
الخطوة 4. بالنسبة للعدد 6400، من الأسهل فصل العامل المستدير: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). التحقق: \(80^2 = 6400\).
الإجابة: \(\sqrt{576} = 24\)، \(\sqrt{6400} = 80\).
مثال 4. إخراج العامل وجمع الحدود المتشابهة
بسّط \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
الخطوة 1. نخرج العوامل من تحت كل جذر: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\)، لذا \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
الخطوة 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
الخطوة 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
الخطوة 4. يمكن جمع الجذور ذات المقدار تحت الجذر المتشابه فقط: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\)، أما الحد الذي يحتوي على \(\sqrt{3}\) فيبقى منفصلاً.
الإجابة: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
مثال 5. جذر مربع يحتوي على متغير
بسّط \(\sqrt{(x-4)^2}\) عندما \(x < 4\).
الخطوة 1. وفقًا لخاصية جذر المربع \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) - نكتب القيمة المطلقة مباشرة، وليس \(x - 4\).
الخطوة 2. نفتح القيمة المطلقة حسب الشرط. إذا كان \(x < 4\)، فإن الفرق \(x - 4\) سالب، والقيمة المطلقة للعدد السالب هي العدد المعاكس: \(|x-4| = 4 - x\).
الخطوة 3. التحقق. نأخذ \(x = 1\): في الطرف الأيسر \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\)، في الطرف الأيمن \(4 - 1 = 3\) - تطابق.
الإجابة: \(4 - x\). للمقارنة، عندما \(x \ge 4\)، كانت الإجابة \(x - 4\).
مثال 6. مقارنة تعبيرات تحتوي على جذور
قارن \(3\sqrt{5}\) و \(5\sqrt{2}\).
الخطوة 1. كلا العددين موجبين، لذلك ندخل العامل تحت الجذر: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
الخطوة 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
الخطوة 3. نقارن الأعداد تحت الجذر: \(45 < 50\)، والعدد الأكبر تحت الجذر يقابله جذر أكبر.
الإجابة: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
أخطاء شائعة عند التعامل مع الجذر التربيعي
-
يكتبون $\sqrt{a^2} = a$، ناسين القيمة المطلقة.
المساواة الصحيحة هي \(\sqrt{a^2} = |a|\). بالنسبة للعدد السالب، هذا أمر أساسي: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\)، وليس -13. الجذر الحسابي لا يمكن أن يكون سالبًا، لذا «يستقيم» الرمز تحت الجذر.
-
يعتقدون أن جذر المجموع يساوي مجموع الجذور: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
لا توجد مثل هذه الخاصية. نقوم أولاً بالعملية تحت الجذر: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)، وليس 7. الخصائص توجد فقط لحاصل الضرب والقسمة: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) و \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
يجيبون بأن $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) - الجذر الحسابي دائمًا واحد وغير سالب. قيمتان تظهران في مسألة أخرى: المعادلة \(x^2 = 49\) لها جذران: \(x = 7\) و \(x = -7\). لا يجب الخلط بين كتابة الجذر وحل المعادلة.
-
يكتبون $\sqrt{-16} = -4$، بحجة «سالب في سالب».
لا يمكن أن يكون العدد السالب تحت الجذر: \((-4)^2 = 16\)، وليس -16، لذا \(\sqrt{-16}\) غير موجود في الأعداد الحقيقية. أما التعبير \(-\sqrt{16} = -4\) فهو صحيح تمامًا - السالب يقع أمام الجذر، وليس تحته.
-
يدخلون عاملًا سالبًا تحت الجذر: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
القاعدة \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) تعمل فقط عندما \(a \ge 0\). يبقى السالب في الخارج: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). التحقق بالإشارة: \(-2\sqrt{3} \approx -3.46\)، و \(\sqrt{12} \approx 3.46\) - العددان متعاكسان.
-
يفقدون منزلة في العدد العشري: $\sqrt{0.04} = 0.02$.
تحقق بالتربيع العكسي: \(0.02^2 = 0.0004\)، لا يتطابق. الصحيح هو \(\sqrt{0.04} = 0.2\)، لأن \(0.2^2 = 0.04\). الطريقة الموثوقة - التحويل إلى كسر عادي: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0.2\).
-
يعتقدون أن الجذر دائمًا أصغر من العدد نفسه.
هذا صحيح فقط للأعداد الأكبر من واحد. في الفترة من 0 إلى 1، يحدث العكس: \(\sqrt{0.25} = 0.5\)، و 0.5 أكبر من 0.25. أما بالنسبة لـ 0 و 1، فإن الجذر يساوي العدد نفسه.
أسئلة وأجوبة
ما هو الجذر التربيعي الحسابي بكلمات بسيطة؟
هو عدد غير سالب، والذي عند تربيعه يعطي العدد تحت الجذر. يُكتب \(\sqrt{a}\)، بشرط أن يكون المقدار تحت الجذر غير سالب: \(a \ge 0\). على سبيل المثال، \(\sqrt{64} = 8\)، لأن \(8 \ge 0\) و \(8^2 = 64\).
ما الفرق بين الجذر التربيعي والجذر التربيعي الحسابي؟
للعدد الموجب جذران تربيعيان - متعاكسان في الإشارة. يُسمى الجذر الحسابي فقط غير السالب منهما، وهو ما تشير إليه علامة \(\sqrt{\phantom{a}}\). لذلك \(\sqrt{25} = 5\)، على الرغم من أن المعادلة \(x^2 = 25\) لها جذران: 5 و -5.
كيف تستخرج الجذر التربيعي لعدد بدون آلة حاسبة؟
تحقق أولاً من العدد في جدول المربعات. إذا لم يكن موجودًا هناك - حلله إلى عوامل واستخرج المربعات الكاملة: \(784 = 16 \cdot 49\)، لذا \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). تحقق دائمًا من الإجابة بالعملية العكسية: \(28^2 = 784\).
هل يمكن استخراج الجذر التربيعي لعدد سالب؟
في الأعداد الحقيقية - لا: مربع أي عدد غير سالب، لذا فإن التعبير \(\sqrt{-9}\) ليس له معنى. من هذا الشرط نحدد مجال التعريف: على سبيل المثال، \(\sqrt{x-7}\) موجود فقط عندما \(x \ge 7\).
ما هو جذر مربع العدد؟
القيمة المطلقة لهذا العدد: \(\sqrt{a^2} = |a|\). إذا كان \(a\) غير سالب، تحصل على العدد نفسه، وإذا كان سالبًا - تحصل على العدد المعاكس له: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
كيف تخرج العامل من تحت علامة الجذر؟
ابحث عن أكبر قاسم مربع للعدد تحت الجذر وطبق الخاصية \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). على سبيل المثال، \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). العملية العكسية - إدخال العامل تحت الجذر: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
ما هو الجذر التربيعي للعدد 2؟
العدد \(\sqrt{2}\) غير نسبي: تمثيله العشري لا نهائي وغير دوري، \(\sqrt{2} \approx 1.4142\). لا توجد قيمة دقيقة في صورة كسر، لذلك تُترك في الإجابات كرمز \(\sqrt{2}\)، ويتم التقريب فقط إذا تطلب الشرط ذلك.
كيف تقارن بين عددين يحتويان على جذور دون حسابهما؟
أدخل العوامل تحت الجذر وقارن الأعداد تحت الجذر: العدد الأكبر تحت الجذر يقابله جذر أكبر. على سبيل المثال، \(\sqrt{17}\) و 4: بما أن \(4 = \sqrt{16}\) و \(17 > 16\)، فإن \(\sqrt{17} > 4\).
في أي صف يتم دراسة الجذور التربيعية؟
في الصف الثامن في دروس الجبر: أولاً تعريف الجذر التربيعي الحسابي وخصائصه، ثم تحويل التعبيرات التي تحتوي على جذور وحل المعادلات من النوع \(x^2 = a\). بعد ذلك، تظهر الجذور في صيغة المميز وفي تمارين OGE و EGE.
