تصاعد حسابی، دنبالهای است که در آن هر جمله بعدی با اضافه شدن یک عدد ثابت \(d\) (قدر نسبت تصاعد) به جمله قبلی به دست میآید. هر جمله آن را میتوان با فرمول \(a_n = a_1 + (n-1)d\) و مجموع n جمله اول را با فرمول \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) محاسبه کرد. در این صفحه، تعریف و قدر نسبت، هر دو فرمول مجموع، ویژگی مشخصه، بررسی عضویت یک عدد در تصاعد، تفاوت با تصاعد هندسی، مسائل رایج OGE و یک تمرینکننده تعاملی برای خودآزمایی مورد بررسی قرار گرفتهاند.
تصاعد حسابی چیست
تصاعد حسابی دنبالهای عددی است که در آن هر جمله بعدی با اضافه کردن یک عدد ثابت به جمله قبلی به دست میآید. این عدد را قدر نسبت تصاعد مینامند و با حرف \(d\) نشان میدهند.
تعریف با یک فرمول: دنباله \(a_1, a_2, a_3, \dots\) را تصاعد حسابی مینامند اگر برای هر شماره \(n\) تساوی
برقرار باشد.
دنباله ۳، ۷، ۱۱، ۱۵، ۱۹، … را در نظر بگیرید. جمله اول اینجا \(a_1 = 3\) و قدر نسبت \(d = 4\) است: هر عدد بعدی دقیقاً ۴ واحد از عدد قبلی بزرگتر است. بنابراین، جمله بعدی برابر ۲۳ خواهد بود و قبل از عدد ۳ (اگر به عقب ادامه دهیم) عددی برابر با ۱- قرار داشت.
کل تصاعد فقط با دو عدد تعیین میشود — جمله اول \(a_1\) و قدر نسبت \(d\). با دانستن این جفت، میتوان هر جملهای را نام برد، مجموع هر تعداد جمله اول را محاسبه کرد و بررسی کرد که آیا عدد مشخصی در دنباله وجود دارد یا خیر. تصاعد با نماد \((a_n)\) و جملات آن با \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) و غیره نشان داده میشوند، که در آن اندیس پایین همیشه شماره را نشان میدهد، نه مقدار را.
قدر نسبت تصاعد حسابی: چگونه d را پیدا کنیم
قدر نسبت همیشه جمله بعدی منهای جمله قبلی است:
ترتیب تفریق مهم است: اگر برعکس تفریق کنیم، علامت قدر نسبت معکوس میشود. برای دنباله ۲۰، ۱۷، ۱۴، ۱۱، ۸ قدر نسبت برابر \(17 - 20 = -3\) است، نه \(+3\).
علامت \(d\) رفتار تصاعد را کاملاً تعیین میکند:
- \(d > 0\) — تصاعد افزایشی است، جملات افزایش مییابند؛
- \(d < 0\) — تصاعد کاهشی است، جملات کاهش مییابند؛
- \(d = 0\) — همه جملات یکسان هستند، مثلاً ۶، ۶، ۶، ۶، … این نیز یک تصاعد حسابی است، فقط ثابت.
اگر دو جمله با شمارههای متفاوت معلوم باشند، قدر نسبت با فرمول
یافت میشود.
مثال. فرض کنید \(a_4 = 30\) و \(a_{10} = 6\). آنگاه \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\) و جمله اول برابر \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\) است. ابتدای تصاعد را بررسی میکنیم: ۴۲، ۳۸، ۳۴، ۳۰ — جمله چهارم واقعاً ۳۰ است.
قدر نسبت لزوماً عدد صحیح نیست: دنباله ۱؛ ۱.۵؛ ۲؛ ۲.۵ قدر نسبتی برابر ۰.۵ دارد و یک تصاعد حسابی کامل است.
فرمول جمله n-ام تصاعد حسابی
فرمول اصلی موضوع به شما امکان میدهد هر جملهای را بدون نوشتن تمام جملات قبلی پیدا کنید:
چرا \(n - 1\)؟ برای رسیدن از جمله اول تا جمله n-ام، قدر نسبت نه \(n\) بار، بلکه یک بار کمتر اضافه میشود: تا جمله دوم — یک گام، تا جمله سوم — دو گام، تا جمله بیستم — نوزده گام.
مثال. برای تصاعد ۳، ۷، ۱۱، ۱۵، ۱۹، … داریم \(a_1 = 3\) و \(d = 4\)، بنابراین
چنین فرمول فشردهای بسیار راحت است: بلافاصله مشخص میشود که \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\) و \(a_{100} = 399\). همچنین، این فرمول قدر نسبت را نشان میدهد: فرمول جمله n-ام هر تصاعد حسابی، خطی و به شکل \(a_n = dn + c\) است و ضریب \(n\) همان قدر نسبت است.
گاهی جمله اول نامعلوم است، اما جمله دیگری معلوم است. در این صورت همان ایده به شکل کلی کار میکند: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
ویژگی مشخصه تصاعد حسابی
هر جمله تصاعد، به جز جمله اول، برابر با میانگین حسابی جملات همسایه خود است:
دقیقاً به همین دلیل تصاعد، حسابی نامیده میشود. این تساوی در جهت عکس نیز کار میکند: اگر در دنبالهای هر جمله میانی برابر با نصف مجموع همسایگانش باشد، آن دنباله یک تصاعد حسابی است. چنین گزارهای را نشانه تصاعد حسابی مینامند و در مسائل از آن برای اثبات اینکه سه عدد یک تصاعد را تشکیل میدهند استفاده میشود.
مثال. اعداد ۷، \(x\)، ۲۳ سه جمله متوالی تصاعد هستند. آنگاه \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). بررسی: ۷، ۱۵، ۲۳ — قدر نسبتها ۸ و ۸ است، همه چیز درست است.
شکل راحتتر نمایش همین ویژگی: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\)، یعنی دو برابر جمله میانی برابر با مجموع جملات کران است. در این شکل، استفاده از ویژگی هنگام معلوم بودن جملات با عبارات حرفی راحتتر است.
مجموع n جمله اول تصاعد حسابی
مجموع \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) با یکی از دو فرمول محاسبه میشود:
ایده فرمول اول — همان ایدهای است که طبق افسانه، دانشآموز گوس هنگام جمع کردن اعداد ۱ تا ۱۰۰ کشف کرد. اگر جمله اول را با جمله آخر، جمله دوم را با جمله یکی مانده به آخر و به همین ترتیب جمع کنیم، همه جفتها یک مجموع یکسان خواهند داشت. از اینجا \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
فرمول دوم از جایگذاری \(a_n = a_1 + (n-1)d\) در فرمول اول به دست میآید — این فرمول زمانی لازم است که جمله آخر معلوم نباشد و نخواهیم آن را جداگانه محاسبه کنیم.
مثال. مجموع بیست جمله اول تصاعد ۳، ۷، ۱۱، ۱۵، ۱۹، … را پیدا میکنیم.
با فرمول اول: \(a_{20} = 79\)، بنابراین \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
با فرمول دوم: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
پاسخها یکسان بودند — این بهترین بررسی محاسبات است.
چگونه بفهمیم یک عدد عضو تصاعد حسابی است
سوال «آیا عدد عضو تصاعد است؟» با یک معادله حل میشود. عدد زمانی عضو تصاعد است که شماره \(n\) آن عدد طبیعی باشد: ۱، ۲، ۳ و غیره. شماره کسری یا غیر مثبت \(n\) به این معنی است که چنین جملهای وجود ندارد.
مثال ۱. آیا عدد ۹۹ عضو تصاعد ۳، ۷، ۱۱، ۱۵، ۱۹، … است؟ فرمول جمله n-ام اینجا \(a_n = 4n - 1\) است، بنابراین معادله \(4n - 1 = 99\) را حل میکنیم که از آن \(4n = 100\) و \(n = 25\) به دست میآید. شماره طبیعی است — یعنی ۹۹ در تصاعد وجود دارد، بیست و پنجمین جمله آن است.
مثال ۲. آیا عدد ۲۰۲۶؟ از \(4n - 1 = 2026\) داریم \(4n = 2027\) و \(n = 506.75\). شماره کسری است، بنابراین ۲۰۲۶ عضو این تصاعد نیست.
راهنمایی مفید برای تخمین ذهنی: در تصاعد با فرمول \(a_n = 4n - 1\)، همه جملات هنگام تقسیم بر ۴ باقیمانده ۳ دارند. عدد ۲۰۲۶ باقیمانده ۲ دارد، بنابراین از تصاعد «جا میماند».
مسائل رایج OGE در مورد تصاعد حسابی
در آزمون OGE ریاضی، تصاعدها هر سال ظاهر میشوند و تقریباً همه مسائل به چهار سناریو خلاصه میشوند.
یافتن جمله بر اساس شماره. \(a_1\) و \(d\) (یا چند جمله اول) داده شده است — در \(a_n = a_1 + (n-1)d\) جایگذاری میکنیم.
یافتن شماره بر اساس مقدار. عدد داده شده است — آن را برابر با فرمول جمله n-ام قرار میدهیم و معادله را نسبت به \(n\) حل میکنیم.
یافتن مجموع. \(S_n\) را با هر یک از دو فرمول محاسبه میکنیم؛ اگر \(a_n\) کم بود — ابتدا آن را پیدا میکنیم.
یافتن تعداد جملات. از فرمول جمله n-ام نتیجه راحتی به دست میآید: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
به طور جداگانه، مسئله متنی وجود دارد که در آن تصاعد در داستان پنهان شده است. به عنوان مثال: در روز اول کارگر ۱۲ قطعه تولید کرد و هر روز بعدی — ۳ قطعه بیشتر از روز قبل؛ او در ۱۵ روز چند قطعه تولید خواهد کرد؟ اینجا \(a_1 = 12\)، \(d = 3\)، \(n = 15\). جمله آخر را محاسبه میکنیم: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). سپس \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) قطعه.
مهمترین توصیه برای چنین مسائلی: ابتدا در یک خط جداگانه بنویسید چه چیزی داده شده است (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) و چه چیزی باید پیدا شود. نیمی از اشتباهات در آزمون نه به دلیل فرمولها، بلکه به دلیل اشتباه گرفتن شماره با مقدار جمله رخ میدهد.
تصاعد حسابی و هندسی: تفاوت چیست
هر دو تصاعد، قوانینی هستند که بر اساس آنها از یک جمله، جمله بعدی به دست میآید. تفاوت در عمل است: در تصاعد حسابی به جمله یک عدد ثابت \(d\) اضافه میشود، در تصاعد هندسی جمله در یک عدد ثابت \(q\) ضرب میشود که به آن قدر نسبت تصاعد میگویند.
از اینجا رفتار متفاوتی ناشی میشود. تصاعد حسابی به طور یکنواخت، «پله پله» رشد میکند: ۳، ۷، ۱۱، ۱۵ — هر گام ۴ واحد اضافه میکند. تصاعد هندسی مانند بهمن رشد میکند: ۳، ۶، ۱۲، ۲۴ — هر گام عدد را دو برابر میکند و پس از ده گام، جمله بیش از هزار و پانصد خواهد شد.
تشخیص نوع دنباله ساده است: تفاضل جملات مجاور و نسبت آنها را محاسبه کنید. تفاضلهای یکسان — تصاعد حسابی، نسبتهای یکسان — تصاعد هندسی. اگر نه تفاضل و نه نسبت یکسان نباشد، با یک دنباله ساده روبرو هستید: مثلاً ۱، ۴، ۹، ۱۶ — اینها مربع اعداد طبیعی هستند و تصاعد نیستند (تفاضلها ۳، ۵، ۷ متفاوت هستند، نسبتها نیز متفاوتند).
در برنامه درسی مدرسه، هر دو موضوع پشت سر هم در کلاس نهم ارائه میشوند، بنابراین فرمولها به راحتی با هم اشتباه گرفته میشوند. در ذهن خود یک نقطه اتکا داشته باشید: در تصاعد حسابی قدر نسبت \(d\) کم میشود، در تصاعد هندسی قدر نسبت \(q\) تقسیم میشود. بقیه موارد پیامدهای این هستند.
مثالهای حل مسئله در مورد تصاعد حسابی
مثال ۱. یافتن جمله اول و قدر نسبت با دو جمله
داده شده. \(a_3 = 14\)، \(a_7 = 30\). \(a_1\)، \(d\) و \(a_{20}\) را پیدا کنید.
گام ۱. از جمله سوم تا هفتم دقیقاً \(7 - 3 = 4\) گام وجود دارد، در هر گام \(d\) اضافه میشود. بنابراین \(a_7 = a_3 + 4d\)، یعنی \(30 = 14 + 4d\) که از آن \(4d = 16\) و \(d = 4\) به دست میآید.
گام ۲. به جمله اول برمیگردیم: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
گام ۳. فرمول جمله n-ام را مینویسیم: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
گام ۴. جمله مورد نظر را محاسبه میکنیم: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
بررسی. ابتدای تصاعد را مینویسیم: ۶، ۱۰، ۱۴، ۱۸، ۲۲، ۲۶، ۳۰. جمله سوم ۱۴، جمله هفتم ۳۰ — مطابقت دارد.
پاسخ: \(a_1 = 6\)، \(d = 4\)، \(a_{20} = 82\).
مثال ۲. مجموع ۳۰ جمله اول (هر دو فرمول)
داده شده. تصاعد \(-5\), \(-2\), ۱، ۴، … مجموع \(S_{30}\) را پیدا کنید.
گام ۱. پارامترها را تعیین میکنیم: \(a_1 = -5\)، \(d = -2 - (-5) = 3\).
گام ۲. جمله سیام را پیدا میکنیم: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
گام ۳. با فرمول اول محاسبه میکنیم: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
گام ۴. بررسی با فرمول دوم. ابتدا صورت کسر: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
سپس مانند گام سوم: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
هر دو راه ۱۱۵۵ را دادند — یعنی محاسبات درست است.
پاسخ: \(S_{30} = 1155\).
مثال ۳. مجموع تمام اعداد دو رقمی مضرب ۷
مسئله. مجموع تمام اعداد دو رقمی که بر ۷ بخشپذیر هستند را پیدا کنید.
گام ۱. این اعداد خود یک تصاعد حسابی با قدر نسبت ۷ تشکیل میدهند. کوچکترین عدد دو رقمی مضرب ۷، عدد ۱۴ و بزرگترین آن ۹۸ است (عدد بعدی، ۱۰۵، سه رقمی است). بنابراین \(a_1 = 14\)، \(d = 7\)، \(a_n = 98\).
گام ۲. تعداد جملات را محاسبه میکنیم: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
گام ۳. مجموع را محاسبه میکنیم: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
گام ۴. بررسی با فرمول دوم. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
پاسخ: ۷۲۸.
مثال ۴. بررسی عضویت عدد در تصاعد
مسئله. آیا عدد ۱۴۵ عضو تصاعد ۷، ۱۲، ۱۷، … است؟ و آیا عدد ۱۴۲؟
گام ۱. پارامترهای تصاعد: \(a_1 = 7\)، \(d = 5\)، بنابراین \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
گام ۲. ۱۴۵ را بررسی میکنیم: معادله \(5n + 2 = 145\) میدهد \(5n = 143\) و \(n = 28.6\). شماره کسری است، بنابراین ۱۴۵ عضو تصاعد نیست.
گام ۳. ۱۴۲ را بررسی میکنیم: \(5n + 2 = 142\) که از آن \(5n = 140\) و \(n = 28\). شماره طبیعی است — عدد وارد میشود.
گام ۴. بررسی با جایگذاری. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). درست است.
پاسخ: ۱۴۵ عضو تصاعد نیست؛ ۱۴۲ عضو است و بیست و هشتمین جمله آن است.
مثال ۵. ویژگی مشخصه با جملات حرفی
مسئله. به ازای چه مقدار \(x\) اعداد \(x - 3\)، \(2x + 1\)، \(4x - 1\) سه جمله متوالی تصاعد حسابی هستند؟
گام ۱. طبق ویژگی مشخصه، دو برابر جمله میانی برابر با مجموع جملات کران است:
گام ۲. پرانتزها را باز میکنیم: \(4x + 2 = 5x - 4\).
گام ۳. حل میکنیم: \(2 + 4 = 5x - 4x\)، یعنی \(x = 6\).
گام ۴. بررسی. \(x = 6\) را جایگذاری میکنیم: جمله اول \(6 - 3 = 3\)، جمله دوم \(2\cdot 6 + 1 = 13\)، جمله سوم \(4\cdot 6 - 1 = 23\). قدر نسبتها: \(13 - 3 = 10\) و \(23 - 13 = 10\) — یکسان هستند.
پاسخ: \(x = 6\)، تصاعد ۳، ۱۳، ۲۳ با قدر نسبت ۱۰.
مثال ۶. چند جمله منفی در تصاعد وجود دارد
مسئله. چند جمله منفی در تصاعد \(-21\), \(-18\), \(-15\), … وجود دارد؟
گام ۱. پارامترها: \(a_1 = -21\)، \(d = 3\). فرمول جمله n-ام: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
گام ۲. شرط «جمله منفی است» را مینویسیم: \(3n - 24 < 0\) که از آن \(3n < 24\) و \(n < 8\) به دست میآید.
گام ۳. شمارهها طبیعی هستند، بنابراین \(n = 1, 2, \dots, 7\) مناسب هستند — در مجموع هفت جمله.
گام ۴. بررسی مرز. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — منفی است. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — صفر عدد منفی نیست، بنابراین جمله هشتم را حساب نمیکنیم. \(a_9 = 3\) — مثبت است.
پاسخ: هفت جمله منفی.
اشتباهات رایج در مسائل تصاعد حسابی
-
در فرمول جمله n-ام $a_n = a_1 + nd$ به جای $a_n = a_1 + (n-1)d$ نوشته میشود.
از جمله اول تا جمله n-ام یک گام کمتر از شماره برداشته میشود. برای تصاعد ۵، ۹، ۱۳، … جمله دهم برابر \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\) است، نه ۴۵. بررسی سریع فرمول: \(n = 1\) را جایگذاری کنید — باید دقیقاً \(a_1\) به دست آید.
-
قدر نسبت برعکس محاسبه میشود: $d = a_1 - a_2$ و علامت معکوس میشود.
قدر نسبت جمله بعدی منهای جمله قبلی است: \(d = a_2 - a_1\). برای تصاعد ۴۰، ۳۴، ۲۸، … درست است \(d = 34 - 40 = -6\). علامت منفی اینجا اشتباه نیست، بلکه نشانه تصاعد کاهشی است.
-
در فرمول مجموع، تقسیم بر ۲ یا ضرب در $n$ فراموش میشود: $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$ نوشته میشود.
جفتهای «اول با آخر» جمع میشوند، تعداد آنها دقیقاً \(\dfrac{n}{2}\) است، بنابراین تقسیم بر ۲ الزامی است. برای تصاعد ۲، ۹، ۱۶، … داریم \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) و \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\)، نه ۶۷۰.
-
هنگام بررسی عضویت عدد، $n = 0$ یا $n$ منفی به دست میآید و باز هم «وارد میشود» پاسخ داده میشود.
شماره جمله یک عدد طبیعی است، شمارش از یک شروع میشود. به عنوان مثال، برای تصاعد ۱۰، ۱۴، ۱۸، … معادله \(10 + 4(n-1) = 6\) میدهد \(n = 0\)، و این یعنی ۶ عضو تصاعد نیست: این عدد قبل از جمله اول قرار میگرفت.
-
چیزی که پیدا شده با چیزی که لازم است اشتباه گرفته میشود: مقدار جمله را به جای شماره آن و برعکس جایگذاری میکنند.
\(a_n\) مقدار است، \(n\) شماره ترتیبی است. اگر در مسئله پرسیده شود «کدام جمله برابر با ۱۴۲ است»، پاسخ ۲۸ خواهد بود، نه ۱۴۲. عادت مفید: قبل از حل، خطی بنویسید «داده شده: \(a_1 = \dots\)، \(d = \dots\)، یافتن: \(n\)».
-
فرض میشود که تصاعد باید افزایشی باشد و از اعداد صحیح تشکیل شده باشد.
قدر نسبت میتواند منفی (۲۰، ۱۷، ۱۴، ۱۱)، کسری (۱؛ ۱.۵؛ ۲؛ ۲.۵) و حتی صفر (۸، ۸، ۸، …) باشد. هر سه حالت، تصاعدهای حسابی قانونی هستند و تمام فرمولها برای آنها بدون تغییر کار میکنند.
سوالات و پاسخها
تصاعد حسابی به زبان ساده چیست؟
این دنبالهای از اعداد است که در آن هر عدد بعدی با اضافه کردن یک عدد ثابت \(d\) — قدر نسبت تصاعد — به عدد قبلی به دست میآید. به عنوان مثال، ۳، ۷، ۱۱، ۱۵، ۱۹، … — تصاعدی با جمله اول ۳ و قدر نسبت ۴.
فرمول جمله n-ام تصاعد حسابی چیست؟
\(a_n = a_1 + (n-1)d\) که در آن \(a_1\) جمله اول، \(d\) قدر نسبت، \(n\) شماره جمله است. اگر به جای جمله اول، جمله دیگری معلوم باشد، فرم کلی \(a_n = a_k + (n-k)d\) کار میکند.
چگونه قدر نسبت تصاعد حسابی را پیدا کنیم؟
از هر جمله، جمله قبلی را کم کنید: \(d = a_n - a_{n-1}\). اگر دو جمله با شمارههای متفاوت داده شده است، از \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\) استفاده کنید. به عنوان مثال، اگر \(a_5 = 23\) و \(a_9 = 43\) باشد، \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\) و جمله اول برابر \(23 - 4\cdot 5 = 3\) است.
چگونه جمله اول تصاعد حسابی را پیدا کنیم؟
از فرمول جمله n-ام: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). به عنوان مثال، اگر \(a_{12} = 60\) و \(d = 4\) باشد، \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). بررسی: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
چگونه مجموع n جمله اول تصاعد حسابی را پیدا کنیم؟
با فرمول \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) اگر جمله آخر معلوم باشد، یا با فرمول \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\) اگر فقط جمله اول و قدر نسبت معلوم باشند. هر دو نتیجه یکسانی میدهند، بنابراین دومی برای بررسی اولی مفید است.
چگونه تعداد جملات تصاعد حسابی را پیدا کنیم؟
از فرمول جمله n-ام: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). به عنوان مثال، در تصاعد ۸، ۱۳، ۱۸، …، ۹۸ قدر نسبت ۵ است، بنابراین \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) جمله.
تصاعد حسابی چه تفاوتی با تصاعد هندسی دارد؟
در تصاعد حسابی به هر جمله قدر نسبت \(d\) اضافه میشود، و در تصاعد هندسی هر جمله در قدر نسبت \(q\) ضرب میشود. فرمولهای جمله n-ام: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) در مقابل \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). برای تعیین نوع، تفاضل جملات مجاور و نسبت آنها را محاسبه کنید: تفاضلهای یکسان — حسابی، نسبتهای یکسان — هندسی.
آیا قدر نسبت میتواند منفی یا صفر باشد؟
بله. با \(d < 0\) تصاعد کاهشی است (مثلاً ۲۰، ۱۷، ۱۴، ۱۱)، با \(d = 0\) همه جملات یکسان هستند (۶، ۶، ۶، …) — این یک تصاعد ثابت است. قدر نسبت میتواند کسری نیز باشد: ۱؛ ۱.۵؛ ۲؛ ۲.۵ — این نیز یک تصاعد حسابی است.
تصاعد حسابی در کدام کلاس تدریس میشود؟
در کلاس نهم در درس جبر، همراه با تصاعد هندسی و دنبالههای عددی. مسائل مربوط به تصاعدها در OGE گنجانده شدهاند: معمولاً لازم است جمله بر اساس شماره، شماره بر اساس مقدار، تعداد جملات یا مجموع \(n\) جمله اول را پیدا کنید.
