قواعد بخشپذیری، قوانینی هستند که به شما امکان میدهند بفهمید آیا عددی بر عدد دیگر بخشپذیر است یا خیر، بدون اینکه نیاز به انجام تقسیم باشد: کافی است به ارقام آخر یا مجموع تمام ارقام عدد نگاه کنید. در این صفحه، جدولی از قواعد بخشپذیری بر 2، 3، 4، 5، 6، 8، 9، 10، 11 و 25، تجزیه و تحلیل بصری قواعد بر 3 و 9 از طریق مجموع ارقام، مثالهای حل شده، اشتباهات رایج و یک تمرینکننده تعاملی که میتوانید بلافاصله خود را بسنجید، جمعآوری شده است.
قاعده بخشپذیری چیست؟
قاعده بخشپذیری، قانونی است که به شما امکان میدهد بفهمید آیا عددی بر عدد دیگر بخشپذیر است یا خیر، بدون انجام خود تقسیم. کافی است به ارقام آخر یا مجموع تمام ارقام عدد نگاه کنید.
قواعد بخشپذیری در هر جایی که نیاز به درک سریع «ساختار» یک عدد دارید، مفید هستند:
- هنگام ساده کردن کسرها — بلافاصله مشخص میشود که صورت و مخرج را بر چه عددی میتوان ساده کرد.
- هنگام تجزیه عدد به عوامل اول.
- هنگام یافتن بزرگترین مقسومعلیه مشترک و کوچکترین مضرب مشترک.
- هنگام بررسی سریع پاسخ در مثالها و مسائل.
مهم است که دو سوال متفاوت را با هم اشتباه نگیرید. «آیا 3726 بر 9 بخشپذیر است؟» — قاعده بخشپذیری به این سوال پاسخ میدهد: مجموع ارقام 3 + 7 + 2 + 6 = 18 بر 9 بخشپذیر است، پس بله. اما «حاصل چقدر میشود؟» — این خود تقسیم است: 3726 : 9 = 414. قاعده فقط پاسخ «بله» یا «خیر» را میدهد، اما بلافاصله و به صورت ذهنی.
جدول قواعد بخشپذیری
تمام قواعد بخشپذیری مدرسه را به راحتی میتوانید در یک جدول جلوی چشمان خود داشته باشید. رنگها نشان میدهند که به کجا نگاه کنید: به رقم آخر، به مجموع ارقام، به «دم» دو یا سه رقم آخر یا مستقیماً به دو قاعده.
| بر چه عددی | قاعده بخشپذیری | مثال |
|---|---|---|
| 2 | رقم آخر 0، 2، 4، 6 یا 8 باشد | 3726 → 6 |
| 3 | مجموع ارقام بر 3 بخشپذیر باشد | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | دو رقم آخر بر 4 بخشپذیر باشند | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | رقم آخر 0 یا 5 باشد | 1435 → 5 |
| 6 | همزمان بر 2 و 3 بخشپذیر باشد | 5124 → 4 و 12 |
| 8 | سه رقم آخر بر 8 بخشپذیر باشند | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | مجموع ارقام بر 9 بخشپذیر باشد | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | رقم آخر 0 باشد | 2340 → 0 |
| 11 | ارقام از انتها با علامتهای + و -؛ مجموع بر 11 بخشپذیر باشد | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | دو رقم آخر 00، 25، 50 یا 75 باشند | 1875 → 75 |
قواعد بخشپذیری بر 2، 5 و 10
سادهترین گروه: فقط به رقم آخر نگاه میکنیم، بقیه مهم نیستند.
- بر 2 تمام اعداد زوج بخشپذیرند — اعدادی که به 0، 2، 4، 6 یا 8 ختم میشوند.
- بر 5 — اعدادی که به 0 یا 5 ختم میشوند.
- بر 10 — اعدادی که به 0 ختم میشوند.
طول عدد اهمیتی ندارد: 987 654 320 چون به صفر ختم میشود، هم بر 2، هم بر 5 و هم بر 10 بخشپذیر است. اما 1435 بر 5 بخشپذیر است (رقم آخر 5)، ولی نه بر 2 و نه بر 10 بخشپذیر نیست — عدد فرد است.
از اینجا یک نتیجه مفید به دست میآید: دقیقاً اعدادی بر 10 بخشپذیرند که همزمان بر 2 و 5 بخشپذیر باشند.
قواعد بخشپذیری بر 3 و 9: مجموع ارقام
در اینجا رقم آخر هیچ چیز را تعیین نمیکند — مجموع تمام ارقام عدد کار میکند:
- عددی بر 3 بخشپذیر است که مجموع ارقامش بر 3 بخشپذیر باشد.
- عددی بر 9 بخشپذیر است که مجموع ارقامش بر 9 بخشپذیر باشد.
اگر مجموع بزرگ شد، میتوانید قاعده را دوباره برای آن اعمال کنید: برای عدد 899 991 مجموع ارقام 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45 است، و برای 45 مجموع 4 + 5 = 9 است — پس عدد اصلی هم بر 9 و هم بر 3 بخشپذیر است.
قواعد شبیه هم هستند، اما جایگزین یکدیگر نیستند. هر عددی که بر 9 بخشپذیر باشد، بر 3 نیز بخشپذیر است — چون خود 9 بر 3 بخشپذیر است. اما عکس آن درست نیست: مجموع ارقام ممکن است بر 3 بخشپذیر باشد اما بر 9 نباشد، و در این صورت عدد فقط یکی از دو قاعده را برآورده میکند. هر دو حالت در ادامه بررسی شدهاند.
قواعد بخشپذیری بر 4، 8 و 25: به «دم» عدد نگاه کنید
یک رقم آخر برای اینها کافی نیست — به «دم» شامل چند رقم آخر نیاز داریم:
- بر 4 عددی بخشپذیر است که دو رقم آخرش عددی را تشکیل دهند که بر 4 بخشپذیر باشد.
- بر 8 — اگر سه رقم آخر عددی را تشکیل دهند که بر 8 بخشپذیر باشد.
- بر 25 — اگر دو رقم آخر 00، 25، 50 یا 75 را تشکیل دهند.
چرا دم کافی است: 100 هم بر 4 و هم بر 25 بخشپذیر است، و 1000 بر 8 بخشپذیر است. بنابراین، هر چیزی که در سمت چپ قرار دارد، خودش بر عدد مورد نظر بخشپذیر است و تأثیری بر نتیجه ندارد.
از اینجا یک نتیجه مهم به دست میآید: زوج بودن برای 4 و 8 کافی نیست. عدد میتواند زوج باشد، اما اگر دم آن شامل دو یا سه رقم بر عدد مورد نظر بخشپذیر نباشد، کل عدد نیز بخشپذیر نخواهد بود. تجزیه و تحلیل دمها در کادر زیر آمده است.
قاعده بخشپذیری بر 6
عدد 6 قاعده جداگانه خود را ندارد: 6 = 2 · 3، و این عوامل نسبت به هم اول هستند. بنابراین، قاعده ترکیبی است — عددی بر 6 بخشپذیر است که همزمان بر 2 و 3 بخشپذیر باشد.
عدد 5124 را بررسی میکنیم: رقم آخر 4 است — عدد زوج است، پس بر 2 بخشپذیر است؛ مجموع ارقام 5 + 1 + 2 + 4 = 12 بر 3 بخشپذیر است. هر دو شرط برقرار است → 5124 : 6 = 854.
فقط زوج بودن کافی نیست: 1000 زوج است، اما مجموع ارقام آن 1 است و بر 3 بخشپذیر نیست، بنابراین بر 6 بخشپذیر نیست. نیمه دیگر نیز کار نمیکند: مجموع ارقام 4521 برابر 12 است که بر 3 بخشپذیر است، اما خود عدد فرد است — پس بر 6 نیز بخشپذیر نیست.
به همین ترتیب قواعد ترکیبی دیگر نیز ساخته میشوند: بر 12 — بخشپذیر بر 3 و 4، بر 15 — بر 3 و 5، بر 18 — بر 2 و 9، بر 45 — بر 5 و 9.
قاعده بخشپذیری بر 11
قاعده بخشپذیری بر 11 از مجموع متناوب ارقام استفاده میکند. ارقام را از انتها شروع کرده و به طور متناوب علامت را تغییر میدهند: مثبت، منفی، مثبت، منفی. اگر نتیجه بر 11 بخشپذیر باشد (از جمله صفر)، آنگاه کل عدد نیز بر 11 بخشپذیر است.
همین قاعده اغلب به شکل دیگری بیان میشود: تفاضل بین مجموع ارقام در مکانهای فرد و مجموع ارقام در مکانهای زوج باید بر 11 بخشپذیر باشد. این هر دو یک قاعده هستند.
مثالهایی از قواعد بخشپذیری
مثال 1. عدد 7254 بر چه اعدادی بخشپذیر است؟
مسئله. تعیین کنید که عدد 7254 بر کدام یک از اعداد 2، 3، 4، 5، 6، 9، 10 بخشپذیر است.
مرحله 1. بر 2. رقم آخر 4 است — زوج است. بخشپذیر است: 7254 : 2 = 3627.
مرحله 2. بر 5 و 10. عدد به 4 ختم میشود، نه به 0 یا 5. نه بر 5 و نه بر 10 بخشپذیر نیست.
مرحله 3. بر 3 و 9. مجموع ارقام: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. این هم بر 3 و هم بر 9 بخشپذیر است. پس 7254 : 3 = 2418 و 7254 : 9 = 806.
مرحله 4. بر 6. عدد هم بر 2 و هم بر 3 بخشپذیر است — پس بر 6 بخشپذیر است: 7254 : 6 = 1209.
مرحله 5. بر 4. دو رقم آخر 54 را تشکیل میدهند، و 54 بر 4 بخشپذیر نیست. بخشپذیر نیست.
پاسخ. 7254 بر 2، 3، 6 و 9 بخشپذیر است.
مثال 2. آیا 4715 بر 3 و 9 بخشپذیر است؟
مسئله. بخشپذیری عدد 4715 را بر 3 و 9 بررسی کنید.
مرحله 1. ارقام را جمع میکنیم: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
مرحله 2. بر 3. 17 بر 3 بخشپذیر نیست (نزدیکترین مضربها 15 و 18 هستند). پس 4715 نیز بر 3 بخشپذیر نیست.
مرحله 3. بر 9. 17 به طریق اولی بر 9 بخشپذیر نیست. پس 4715 نیز بر 9 بخشپذیر نیست.
عدد در هر صورت چه کاری انجام میدهد. رقم آخر 5 است → عدد بر 5 بخشپذیر است: 4715 : 5 = 943. بر 2 و 10 بخشپذیر نیست — عدد فرد است.
پاسخ. عدد 4715 نه بر 3 و نه بر 9 بخشپذیر نیست.
مثال 3. بخشپذیری بر 4 و 8: عدد 6248
مسئله. بررسی کنید که آیا 6248 بر 4 و 8 بخشپذیر است.
مرحله 1. بر 4. دو رقم آخر را میگیریم: 48. عدد 48 بر 4 بخشپذیر است (48 : 4 = 12)، پس 6248 نیز بخشپذیر است: 6248 : 4 = 1562.
مرحله 2. بر 8. سه رقم آخر را میگیریم: 248. تقسیم میکنیم: 248 : 8 = 31 — بخشپذیر است. پس 6248 : 8 = 781.
مراقب استدلال معکوس باشید. از بخشپذیری بر 4، بخشپذیری بر 8 نتیجه نمیشود: برای عدد 6244 دم 44 بر 4 بخشپذیر است (6244 : 4 = 1561)، اما سه رقم آخر 244 بر 8 بخشپذیر نیستند — پس عدد بر 8 بخشپذیر نیست.
پاسخ. 6248 هم بر 4 و هم بر 8 بخشپذیر است.
مثال 4. قاعده بخشپذیری بر 11: عدد 2926
مسئله. بررسی کنید که آیا 2926 بر 11 بخشپذیر است.
مرحله 1. ارقام را مینویسیم و از انتها علامتها را قرار میدهیم: آخرین رقم با علامت مثبت، و به ترتیب بعدی منفی و مثبت.
مرحله 2. مجموع متناوب علامتدار را محاسبه میکنیم: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
مرحله 3. نتیجه 11 بر 11 بخشپذیر است → کل عدد نیز بخشپذیر است.
بررسی با تقسیم. 2926 : 11 = 266.
پاسخ. 2926 بر 11 بخشپذیر است.
مثال 5. کسر را با استفاده از قواعد بخشپذیری ساده میکنیم
مسئله. کسر 270/378 را ساده کنید.
مرحله 1. مجموع ارقام را محاسبه میکنیم: 2 + 7 + 0 = 9 و 3 + 7 + 8 = 18. هر دو بر 9 بخشپذیرند → هم صورت و هم مخرج بر 9 بخشپذیرند.
مرحله 2. بر 9 ساده میکنیم: 270 : 9 = 30، 378 : 9 = 42. کسر 30/42 را به دست میآوریم.
مرحله 3. هر دو عدد زوج هستند → بر 2 ساده میکنیم: 30 : 2 = 15، 42 : 2 = 21. کسر 15/21 را به دست میآوریم.
مرحله 4. مجموع ارقام 6 و 3 بر 3 بخشپذیرند → بر 3 ساده میکنیم.
پاسخ. 270/378 = 5/7.
اشتباهات رایج در قواعد بخشپذیری
-
بخشپذیری بر 6 را فقط با زوج بودن بررسی میکنند: چون عدد زوج است — پس بر 6 بخشپذیر است.
به هر دو شرط همزمان نیاز است: هم بر 2 و هم بر 3. عدد 7124 زوج است، اما مجموع ارقام آن 14 بر 3 بخشپذیر نیست، بنابراین بر 6 بخشپذیر نیست. و برعکس: 3471 قاعده 3 را برآورده میکند (مجموع 15، 3471 : 3 = 1157)، اما فرد است — پس بر 6 نیز بخشپذیر نیست.
-
برای بخشپذیری بر 4 به یک رقم آخر نگاه میکنند: «8 بر 4 بخشپذیر است، پس 9138 نیز مناسب است».
برای 4، دو رقم آخر را در نظر میگیرند. برای 9138 این 38 است، و 38 بر 4 بخشپذیر نیست. مثال صحیح: برای 9136 دم 36 است، 36 : 4 = 9، پس 9136 : 4 = 2284. برای 8 دم حتی طولانیتر است — سه رقم.
-
قاعده بخشپذیری بر 9 را با رقم آخر بررسی میکنند: اعداد ختم شونده به 9 یا 0 را پیدا میکنند.
رقم آخر برای 9 هیچ معنایی ندارد. تمام ارقام را جمع میکنند: برای 4563 این 18 است، مجموع بر 9 بخشپذیر است — و عدد بخشپذیر است (4563 : 9 = 507)، اگرچه به 3 ختم میشود.
-
فکر میکنند که اگر عددی بر 3 بخشپذیر باشد، بر 9 نیز بخشپذیر است.
فقط در یک جهت کار میکند: بر 9 بخشپذیر است → بر 3 نیز بخشپذیر است. عکس آن درست نیست. برای 8241 مجموع ارقام 15 است: بر 3 بخشپذیر است (8241 : 3 = 2747)، اما بر 9 نه.
-
برای قاعده 11 به سادگی تمام ارقام را جمع میکنند، مانند 3 و 9.
برای 11، مجموع متناوب علامتدار است: ارقام را از انتها جمع میکنند، علامت را یکی در میان تغییر میدهند. برای 6479 این 9 − 7 + 4 − 6 = 0 است → بخشپذیر است (6479 : 11 = 589). مجموع ارقام معمولی در اینجا 26 است و هیچ چیز را نمیگوید.
-
قاعده بخشپذیری را با خود تقسیم اشتباه میگیرند: به سوال «آیا 5391 بر 9 بخشپذیر است» پاسخ میدهند «بله، 18».
18 مجموع ارقام است، نتیجه میانی قاعده. خارج قسمت را جداگانه محاسبه میکنند: 5391 : 9 = 599. قاعده فقط «بخشپذیر / بخشپذیر نیست» را پاسخ میدهد.
سوالات و پاسخها
قاعده بخشپذیری به زبان ساده چیست؟
این قانونی است که به شما امکان میدهد بفهمید آیا عددی بدون انجام تقسیم، بر عدد دیگر بخشپذیر است یا خیر. معمولاً کافی است به ارقام آخر عدد یا مجموع تمام ارقام آن نگاه کنید.
چگونه بفهمیم عددی بر 3 بخشپذیر است؟
تمام ارقام عدد را جمع کنید. اگر مجموع حاصل بر 3 بخشپذیر باشد، خود عدد نیز بر 3 بخشپذیر است. به عنوان مثال، برای 2571 مجموع ارقام 2 + 5 + 7 + 1 = 15 است، و 15 بر 3 بخشپذیر است → 2571 : 3 = 857.
تفاوت قاعده بخشپذیری بر 3 با قاعده بر 9 چیست؟
قاعده یکسان است — مجموع ارقام را محاسبه میکنیم، اما آن را برای اعداد مختلف بررسی میکنیم: برای 3 مجموع باید بر 3 بخشپذیر باشد، برای 9 — بر 9. بنابراین هر عددی که بر 9 بخشپذیر باشد، بر 3 نیز بخشپذیر است، اما عکس آن همیشه درست نیست: برای 9420 مجموع ارقام 15 بر 3 بخشپذیر است (9420 : 3 = 3140)، اما بر 9 نه.
اگر مجموع ارقام بزرگ شد چه کار کنیم؟
قاعده را دوباره اعمال کنید — این بار برای مجموع. برای عدد 777 771 مجموع ارقام 36 است، برای 36 مجموع 3 + 6 = 9 است. 9 بر 9 بخشپذیر است، پس عدد اصلی نیز بر 9 بخشپذیر است (و همچنین بر 3): 777 771 : 9 = 86 419.
آیا قاعده بخشپذیری بر 7 وجود دارد؟
قاعده سادهای مانند مجموع ارقام برای 7 وجود ندارد، و در جدول قواعد مدرسه گنجانده نمیشود. روشی وجود دارد: رقم آخر را حذف کنید، آن را دو برابر کنید و از عدد باقیمانده کم کنید. به عنوان مثال، برای 343: 3 را حذف میکنیم، دو برابر میکنیم — 6، محاسبه میکنیم 34 − 6 = 28. عدد 28 بر 7 بخشپذیر است، پس 343 نیز بخشپذیر است: 343 : 7 = 49.
قواعد بخشپذیری بر 12، 15 و 45 چیست؟
اینها ترکیبی هستند — عدد باید همزمان دو قاعده را برآورده کند: بر 12 — بخشپذیر بر 3 و 4، بر 15 — بر 3 و 5، بر 45 — بر 5 و 9. مهم است که عوامل نسبت به هم اول باشند: تجزیه 12 = 2 · 6 مناسب نیست، زیرا 18 هم بر 2 و هم بر 6 بخشپذیر است، اما بر 12 بخشپذیر نیست.
قواعد بخشپذیری در چه کلاسی تدریس میشود؟
در کلاس ششم در درس ریاضی: ابتدا قواعد بر 10، 5 و 2، سپس بر 3 و 9. قواعد بر 4، 8، 11 و 25 معمولاً به طور اضافی بررسی میشوند — اینها هنگام ساده کردن کسرها و در المپیادها مفید خواهند بود.
