نامساوی دو عبارت است که با علامتهای \(<\), \(>\), \(\le\) یا \(\ge\) به هم متصل شدهاند. حل نامساوی یعنی یافتن تمام مقادیری از متغیر که آن را به یک نامساوی عددی درست تبدیل میکنند. پاسخ یک عدد نخواهد بود، بلکه مجموعهای کامل است: یک بازه روی محور اعداد یا اجتماع بازهها. در این صفحه، پایهای جمعآوری شده است که برای همه انواع نامساویها مشترک است: نحوه خواندن علامتها، کدام تبدیلها مجاز هستند، چرا علامت هنگام تقسیم بر عدد منفی برعکس میشود و نحوه صحیح نوشتن پاسخ. و در ادامه - مروری بر تمام انواع نامساویها با لینک به توضیحات مفصل و تمرین برای سنجش خود.
منظور از حل نامساوی چیست
حل نامساوی هر مقداری از متغیر است که نامساوی را به یک نامساوی عددی درست تبدیل کند. و حل نامساوی یعنی یافتن تمام این مقادیر و نوشتن آنها به صورت یک مجموعه.
با معادله مقایسه کنید. معادله \(2x = 8\) پاسخی تکعددی \(x = 4\) دارد. نامساوی \(2x < 8\) پاسخی بینهایت عددی دارد: \(3\)، \(0\)، \(-100\) و \(3{,}999\) همگی مناسب هستند. نوشتن آنها به صورت تکتک غیرممکن است، بنابراین پاسخ به صورت یک بازه نوشته میشود: \(x < 4\)، یعنی \((-\infty;\ 4)\).
بررسی اینکه آیا یک عدد خاص، جواب است، آسان است: آن را به جای متغیر قرار دهید و ببینید آیا نامساوی درستی به دست میآید.
- \(x = 1\) در نامساوی \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — درست است، پس \(1\) یک جواب است.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — نادرست است، پس \(5\) جواب نیست.
دو نامساوی را همارز مینامند اگر مجموعههای جواب آنها یکسان باشد. کل حل نامساوی، زنجیرهای از انتقال به یک نامساوی همارز سادهتر است تا زمانی که در سمت چپ فقط \(x\) باقی بماند.
علامتهای نامساوی: اکید و غیر اکید
چهار علامت وجود دارد و اینکه کدام یک استفاده میشود، بر پاسخ و نحوه نوشتن آن تأثیر میگذارد. علامتهای اکید \(<\) و \(>\) نقطه مرزی را در پاسخ شامل نمیشوند، علامتهای غیر اکید \(\le\) و \(\ge\) آن را شامل میشوند.
این تفاوت در کل حل ادامه دارد: علامت اکید یک نقطه توخالی (خالی) روی محور و یک پرانتز گرد در پاسخ ایجاد میکند، علامت غیر اکید یک نقطه پر و یک کروشه در پاسخ ایجاد میکند.
| علامت | نحوه خواندن و نتیجه در پاسخ |
|---|---|
| < | کوچکتراکیدنقطه توخالی، پرانتز گرد |
| > | بزرگتراکیدنقطه توخالی، پرانتز گرد |
| ≤ | کوچکتر یا مساویغیر اکیدنقطه پر، کروشه |
| ≥ | بزرگتر یا مساویغیر اکیدنقطه پر، کروشه |
تبدیلهای همارز: با نامساوی چه کارهایی میتوان انجام داد
تقریباً همان کارهایی را میتوان با نامساوی انجام داد که با معادله انجام میدهیم، اما با یک تفاوت مهم. جمع و تفریق را میتوان آزادانه انجام داد: اگر یک عدد یا عبارت را به هر دو طرف اضافه یا از هر دو طرف کم کنیم، مجموعه جواب تغییر نمیکند. دقیقاً به همین دلیل است که جملات را با تغییر علامت «منتقل» میکنیم.
اما ضرب و تقسیم به علامت عامل ضرب بستگی دارد. هنگام ضرب یا تقسیم هر دو طرف بر عدد منفی، علامت نامساوی به علامت مخالف تغییر میکند: \(<\) تبدیل به \(>\) میشود، \(\le\) تبدیل به \(\ge\) و بالعکس. دلیل آن با اعداد مشخص میشود: از \(3 < 5\) درست، پس از ضرب در \(-1\)، \(-3\) و \(-5\) به دست میآید، و \(-3 > -5\) است - ترتیب اعداد برعکس شده است.
همین اتفاق میافتد اگر سمت چپ و راست را جابجا کنیم: از \(7 < y\)، \(y > 7\) به دست میآید.
| چه کاری با هر دو طرف انجام میدهیم | چه اتفاقی برای علامت میافتد |
|---|---|
| یک عدد یا عبارت را به هر دو طرف اضافه یا کم میکنیم | علامت حفظ میشود |
| در عدد مثبت ضرب یا تقسیم میکنیم | علامت حفظ میشود |
| در عدد منفی ضرب یا تقسیم میکنیم | علامت تغییر میکند |
| سمت چپ و راست را جابجا میکنیم | علامت تغییر میکند |
| در عبارتی شامل متغیر (x − 2) ضرب یا تقسیم میکنیم | این کار مجاز نیست |
نحوه نوشتن پاسخ: محور اعداد و بازهها
وقتی متغیر تنها ماند، حل تقریباً تمام شده است - فقط باید آن را بنویسیم. راحتترین راه این است که ابتدا پاسخ را روی محور اعداد مشخص کنیم و سپس از روی محور، بازه را بخوانیم.
فقط سه قانون برای نوشتن وجود دارد و این قوانین با نوع نامساوی تغییر نمیکنند:
- پرانتز گرد - نقطه در پاسخ گنجانده نمیشود (علامت اکید، نقطه توخالی);
- کروشه - نقطه گنجانده میشود (علامت غیر اکید، نقطه پر);
- کنار بینهایت همیشه پرانتز گرد است: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) - فرمهایی مانند \([-\infty;\ 4]\) وجود ندارد، بینهایت یک عدد نیست و قابل دستیابی نیست.
اگر پاسخ شامل دو بخش از محور باشد، آنها را با علامت اجتماع \(\cup\) به هم وصل میکنیم: مثلاً \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
انواع نامساویها و روشهای حل آنها
نامساویها بر اساس نحوه ورود متغیر به آنها - اینکه آیا در درجه اول، زیر مربع، در مخرج یا زیر قدر مطلق قرار دارد - دستهبندی میشوند. دقیقاً همین موضوع روش حل را تعیین میکند، بنابراین اولین قدم در هر حل، شناسایی نوع نامساوی است. منطق کلی در ادامه یکسان است: نامساوی را به شکل «عبارت با صفر مقایسه میشود» تبدیل کنید و سپس از روش مناسب برای این نوع استفاده کنید. خلاصه انواع و روشها در جدول زیر آمده است.
به طور جداگانه، نحوه باز شدن قدر مطلق را باید به خاطر سپرد - جدول این را شامل نمیشود. برای \(a > 0\)، نامساوی \(|f(x)| < a\) معادل نامساوی دوگانه \(-a < f(x) < a\) است (یک دستگاه به دست میآید)، و \(|f(x)| > a\) معادل اجتماع \(f(x) < -a\) یا \(f(x) > a\) است (یک اجتماع بازه به دست میآید). اگر \(a < 0\) باشد، اصلاً نیازی به فکر کردن نیست: قدر مطلق نامنفی است، بنابراین \(|f(x)| < a\) جوابی ندارد، و \(|f(x)| > a\) برای تمام \(x\)های مجاز درست است.
نامساویهای گنگ (با رادیکال) و نمایی در دبیرستان مورد بحث قرار میگیرند: به تبدیلهای معمولی، کار با دامنه مقادیر مجاز اضافه میشود.
توضیحات مفصل انواع جداگانه: نامساویهای خطی، نامساویهای گویا و روش بازهها، و ریشههای سهجملهای درجه دوم به راحتی با قضیه ویتا پیدا میشوند.
| نوع | نحوه نمایش و نحوه حل |
|---|---|
| خطی | ax + b > 0جملات را منتقل میکنیم و بر ضریب $x$ تقسیم میکنیم |
| درجه دوم | ax2 + bx + c > 0ریشههای سهجملهای را پیدا میکنیم و به سهمی نگاه میکنیم |
| کسری-گویا | P(x) / Q(x) ≥ 0روش بازهها، ریشههای مخرج را خالی میگذاریم |
| با قدر مطلق | | f(x) | < aقدر مطلق را طبق تعریف باز میکنیم |
| دستگاه | دو نامساوی در آکولادهر کدام را حل میکنیم، اشتراک را میگیریم |
دستگاهها و اجتماع نامساویها
اغلب یک نامساوی به دو قسمت تقسیم میشود و در این صورت مهم است که اشتباه نکنیم که با مجموعههای به دست آمده چه کاری انجام دهیم.
دستگاه (آکولاد) به معنی «هم این و هم آن به طور همزمان» است. هر نامساوی را جداگانه حل میکنیم، هر دو پاسخ را روی یک محور مشخص میکنیم و اشتراک - بخش مشترک - را میگیریم. اگر بخش مشترکی وجود نداشته باشد، دستگاه جوابی ندارد.
اجتماع (قلاب) به معنی «یا این یا آن» است. در اینجا اجتماع - هر آنچه حداقل توسط یکی از پاسخها رنگآمیزی شده است - گرفته میشود. اجتماع، مثلاً هنگام باز کردن قدر مطلق با علامت «بزرگتر» ظاهر میشود.
به طور جداگانه، نامساوی دوگانه به شکل \(-3 < 2x + 1 \le 7\) قرار دارد: این یک نمایش کوتاه از دستگاه است. تبدیلها بلافاصله روی هر سه بخش انجام میشوند - کم میکنیم، تقسیم میکنیم، و هنگام تقسیم بر عدد منفی، هر دو علامت را برعکس میکنیم.
مثالهای حل نامساوی
مثال ۱. بررسی اینکه آیا عدد، جواب است
وظیفه. آیا \(x = -1\) جواب نامساوی \(3x + 5 \ge 1\) است؟
مرحله ۱. \(-1\) را به جای \(x\) قرار میدهیم: \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
مرحله ۲. با سمت راست مقایسه میکنیم: \(2 \ge 1\) - یک نامساوی عددی درست است.
پاسخ. بله، \(-1\) یکی از جوابهاست. اما حل نامساوی یعنی یافتن تمام این اعداد، نه فقط یکی: در اینجا پاسخ \(x \ge -\frac{4}{3}\) است.
مثال ۲. نامساوی خطی با تغییر علامت
وظیفه. حل \(7 - 3x < 1\).
مرحله ۱. \(7\) را به سمت راست منتقل میکنیم (یعنی \(7\) را از هر دو طرف کم میکنیم - علامت نامساوی تغییر نمیکند): \(-3x < 1 - 7\)، یعنی \(-3x < -6\).
مرحله ۲. هر دو طرف را بر \(-3\) تقسیم میکنیم. مقسومعلیه منفی است، بنابراین علامت برعکس میشود: \(x > 2\).
مرحله ۳. روی محور مشخص میکنیم: نقطه توخالی در \(2\)، همه چیز به سمت راست رنگآمیزی میشود.
پاسخ. \(x > 2\)، یعنی \(x \in (2;\ +\infty)\).
مثال ۳. نامساوی درجه دوم
وظیفه. حل \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
مرحله ۱. ریشههای سهجملهای را پیدا میکنیم: \(D = 16 + 20 = 36\)، \(\sqrt{D} = 6\)، از اینجا \(x_1 = -1\)، \(x_2 = 5\).
مرحله ۲. ضریب \(x^2\) مثبت است، بنابراین شاخههای سهمی رو به بالا هستند: بین ریشهها سهجملهای منفی و خارج از ریشهها مثبت است.
مرحله ۳. ما به علامت \(\le 0\) نیاز داریم، یعنی مقادیر منفی و خود ریشهها (علامت غیر اکید) - بازه بین ریشهها را همراه با انتها میگیریم.
پاسخ. \(x \in [-1;\ 5]\).
مثال ۴. نامساوی با قدر مطلق
وظیفه. حل \(|x + 1| > 4\).
مرحله ۱. قدر مطلق بزرگتر از عدد مثبت است - یعنی عبارت زیر قدر مطلق یا بزرگتر از \(4\) است یا کوچکتر از \(-4\). اجتماع به دست میآوریم: \(x + 1 > 4\) یا \(x + 1 < -4\).
مرحله ۲. هر کدام را حل میکنیم: از اولی \(x > 3\)، از دومی \(x < -5\).
مرحله ۳. این یک اجتماع است، بنابراین اجتماع بازهها را میگیریم، نه اشتراک.
پاسخ. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
مثال ۵. دستگاه نامساوی
وظیفه. حل دستگاه \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
مرحله ۱. نامساوی اول: \(2x > -4\)، بر مثبت \(2\) تقسیم میکنیم - علامت حفظ میشود، \(x > -2\).
مرحله ۲. نامساوی دوم: \(x \le 4\).
مرحله ۳. هر دو پاسخ را روی یک محور مشخص میکنیم و اشتراک را میگیریم - ناحیهای که دو بار رنگآمیزی شده است. مرز چپ شامل نمیشود (علامت اکید)، مرز راست شامل میشود (غیر اکید).
پاسخ. \(x \in (-2;\ 4]\).
اشتباهات رایج در حل نامساویها
-
بر دو طرف نامساوی بر عدد منفی تقسیم شده و علامت قبلی حفظ شده است.
هنگام ضرب و تقسیم هر دو طرف بر عدد منفی، علامت حتماً باید به علامت مخالف تغییر کند. از \(-5x \ge 10\)، \(x \le -2\) به دست میآید، نه \(x \ge -2\). میتوانید خود را با جایگذاری بررسی کنید: \(x = -3\) نتیجه \(15 \ge 10\) را میدهد - درست است، پس پاسخ صحیح واقعاً «کوچکتر یا مساوی» است.
-
نوشتن کروشه کنار بینهایت: $[-\infty;\ 7]$.
بینهایت یک عدد نیست، نمیتوان به آن «رسید»، بنابراین پرانتز کنار \(\infty\) همیشه گرد است: \((-\infty;\ 7]\). کروشه فقط در کنار مرز متناهی که در پاسخ گنجانده میشود، قرار میگیرد.
-
اشتباه گرفتن نوع پرانتز و نوع نقطه: علامت اکید با کروشه نوشته میشود.
علامت اکید (\(<\), \(>\)) - مرز شامل نمیشود: نقطه توخالی و پرانتز گرد. علامت غیر اکید (\(\le\), \(\ge\)) - مرز شامل میشود: نقطه پر و کروشه. بررسی ساده است: نقطه مرزی را در نامساوی اصلی جایگذاری کنید و ببینید آیا درست به دست میآید.
-
ضرب هر دو طرف در عبارتی شامل متغیر برای «خلاص شدن از شر کسر».
علامت چنین عبارتی نامشخص است، بنابراین مشخص نیست که آیا علامت نامساوی باید برعکس شود یا خیر - تبدیل همارز نیست. به جای آن، همه چیز را به یک طرف منتقل میکنیم، به یک کسر واحد میرسانیم و از روش بازهها استفاده میکنیم.
-
نوشتن یک عدد به عنوان پاسخ: «$x = 3$» به جای مجموعه.
حل نامساوی یک مجموعه از مقادیر است. آن را به صورت بازه بنویسید: \(x > 3\)، یعنی \((3;\ +\infty)\). یک عدد میتواند فقط عنصری از پاسخ باشد، نه خود پاسخ.
-
برای دستگاه اجتماع و برای اجتماع اشتراک گرفته میشود.
برای دستگاه (آکولاد، «و») - اشتراک، بخش مشترک بازهها. برای اجتماع (قلاب، «یا») - اجتماع از طریق علامت \(\cup\). و همچنین: نمایش «\(-2 < x > 5\)» بیمعنی است - چنین پاسخی به صورت اجتماع دو بازه نوشته میشود.
سوالات و پاسخها
منظور از حل نامساوی چیست؟
حل نامساوی یعنی یافتن تمام مقادیری از متغیر که آن را به یک نامساوی عددی درست تبدیل میکنند و نوشتن آنها به صورت یک مجموعه. پاسخ یک بازه یا اجتماع بازهها خواهد بود، نه یک عدد جداگانه.
چه نوع نامساویهایی وجود دارد؟
بر اساس شکل عبارت شامل متغیر، نامساویهای خطی (\(ax + b > 0\))، درجه دوم (\(ax^2 + bx + c > 0\))، کسری-گویا (متغیر در مخرج)، با قدر مطلق، گنگ و نمایی را تشخیص میدهیم. جداگانه، دستگاهها و اجتماع نامساویها را برجسته میکنیم. بر اساس علامت نامساوی، آنها را به اکید (\(<\), \(>\)) و غیر اکید (\(\le\), \(\ge\)) تقسیم میکنیم.
چه زمانی علامت نامساوی برعکس میشود؟
در دو حالت: وقتی هر دو طرف در عدد منفی ضرب یا تقسیم میشوند و وقتی سمت چپ و راست جابجا میشوند. هنگام جمع، تفریق و تقسیم بر عدد مثبت، علامت همانطور باقی میماند.
چه زمانی پرانتز گرد و چه زمانی کروشه است؟
گرد - اگر نقطه مرزی در پاسخ گنجانده نشود (علامت اکید، نقطه توخالی روی محور). کروشه - اگر گنجانده شود (علامت غیر اکید، نقطه پر). کنار \(+\infty\) و \(-\infty\) همیشه پرانتز گرد است.
حل نامساوی چه تفاوتی با حل معادله دارد؟
تبدیلها تقریباً یکسان هستند، اما معادله معمولاً پاسخی شامل اعداد جداگانه دارد، در حالی که نامساوی پاسخی شامل بازههای کامل دارد. علاوه بر این، نامساوی قانون تغییر علامت هنگام ضرب و تقسیم بر عدد منفی را دارد که در معادلات وجود ندارد.
به چه نامساویای کسری گفته میشود و کجا بررسی میشود؟
نامساوی کسری (کسری-گویا) نامساویای است که در آن متغیر در مخرج قرار دارد، مانند \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\)؛ به دلیل مخرج، دامنه مقادیر مجاز پیدا میکند و نمیتوان آن را با تقسیم معمولی حل کرد. الگوریتم گام به گام با مثالها در یک مطلب جداگانه نامساویهای گویا و روش بازهها آمده است.
حل نامساویها در کدام کلاس تدریس میشود؟
نامساویهای خطی و بازههای عددی در کلاس هشتم (طبق کتاب مرزلیiak - نهم)، نامساویهای درجه دوم و کسری-گویا با روش بازهها - در کلاسهای هشتم-نهم، و نامساویهای گنگ و نمایی - در دبیرستان.
