اتحادهای جبری (ФСУ) تساویهای آمادهای هستند که به ما اجازه میدهند بدون ضرب طولانی، پرانتزها را باز کنیم یا عبارتها را تجزیه کنیم. در این صفحه، جدول هر هفت اتحاد اصلی را میبینید: مربع مجموع و تفاضل، تفاضل مربعها، مکعب مجموع و تفاضل، و مجموع و تفاضل مکعبات. هر فرمول را با اثبات و مثال بررسی میکنیم و در پایان، یک تمرینساز تعاملی برای تسلط بیشتر قرار دادهایم.
اتحادهای جبری چیست
اتحادهای جبری تساویهایی هستند که با یک بار ضرب دقیق چندجملهایها به دست میآیند و نتیجه آنها به خاطر سپرده میشود. دیگر نیازی نیست هر بار پرانتزها را باز کنید: کافی است «الگو» را بشناسید و اعداد یا متغیرهای خود را در آن جایگذاری کنید.
در برنامه درسی جبر پایه هفتم، اتحادها در دو جهت کاربرد دارند:
- از چپ به راست — برای باز کردن سریع پرانتزها و به توان رساندن عبارتها؛
- از راست به چپ — برای تجزیه چندجملهایها (که برای سادهسازی کسرها و حل معادلات ضروری است).
در مجموع هفت اتحاد اصلی وجود دارد. در ادامه، جدول خلاصه و سپس بررسی هر فرمول به صورت جداگانه آمده است.
جدول اتحادهای جبری
همه هفت اتحاد جبری را میتوانید در این جدول مشاهده کنید. حروف \(a\) و \(b\) در اینجا میتوانند هر عبارتی باشند: یک عدد، یک متغیر یا یک تکجملهای مانند \(2x\).
| اتحاد | فرمول |
|---|---|
| مربع مجموع | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| مربع تفاضل | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| تفاضل مربعها | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| مکعب مجموع | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| مکعب تفاضل | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| مجموع مکعبات | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| تفاضل مکعبات | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
مربع مجموع و مربع تفاضل
مربع مجموع از ضرب \((a+b)\) در خودش به دست میآید:
به زبان ساده: مربع مجموع برابر است با مربع جمله اول به اضافه دو برابر حاصلضرب جمله اول در دوم به اضافه مربع جمله دوم. مربع تفاضل نیز به همین ترتیب اثبات میشود، با این تفاوت که علامت جمله وسط منفی میشود:
نکته مهم این است که جمله وسط \(2ab\) را فراموش نکنید: دقیقاً به همین دلیل است که \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). در مربع مجموع و مربع تفاضل، تنها علامت قبل از \(2ab\) متفاوت است و جملات کناری \(a^2\) و \(b^2\) همیشه مثبت هستند.
مثال. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
مربع مجموع یک تفسیر هندسی جالب دارد: این عبارت مساحت یک مربع بزرگ با ضلع \((a+b)\) است.
تفاضل مربعها
اگر حاصلضرب مجموع و تفاضل دو عبارت یکسان را محاسبه کنیم، جملات وسط یکدیگر را خنثی میکنند:
این فرمول تفاضل مربعها است: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). این مفیدترین اتحاد برای تجزیه عبارتها است: به محض اینکه تفاضل دو مربع را دیدید، آن را به صورت حاصلضرب بنویسید.
مثال (باز کردن پرانتز). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
مثال (تجزیه). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
نکته مهم: مجموع مربعها \(a^2 + b^2\) با این فرمول تجزیه نمیشود — فقط تفاضل مربعها قابل تجزیه است.
مکعب مجموع، مکعب تفاضل، مجموع و تفاضل مکعبات
مکعب مجموع و مکعب تفاضل شامل چهار جمله هستند:
در مکعب تفاضل، علامتها یکی در میان تغییر میکنند: \(+\,-\,+\,-\). باز هم یک اشتباه رایج: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — نمیتوانید توان را به سادگی «توزیع» کنید، جملات وسط \(3a^2b\) و \(3ab^2\) را نباید نادیده گرفت.
مثال. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
مجموع و تفاضل مکعبات در دستهای جداگانه قرار میگیرند — آنها برعکس، عبارت را تجزیه میکنند:
پرانتز دوم را مربع ناقص مجموع یا تفاضل مینامند. علامت جمله وسط آن همیشه مخالف علامت پرانتز اول است: در مجموع مکعبات \(-ab\) و در تفاضل مکعبات \(+ab\) است.
مثال. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
مثالهایی از کاربرد اتحادهای جبری
مثال ۱. باز کردن پرانتز: مربع مجموع
سوال. عبارت \((2x+5)^2\) را به توان دو برسان.
گام ۱. فرمول مربع مجموع را میشناسیم: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) که در آن \(a = 2x\) و \(b = 5\).
گام ۲. هر جمله را محاسبه میکنیم:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
پاسخ. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
مثال ۲. استفاده از اتحاد تفاضل مربعها
سوال. حاصلضرب \((3x-4)(3x+4)\) را پیدا کن.
گام ۱. ما با حاصلضرب تفاضل و مجموع دو عبارت یکسان روبرو هستیم — این همان تفاضل مربعها \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) است که در آن \(a = 3x\) و \(b = 4\).
گام ۲. هر عبارت را به توان دو میرسانیم: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\) و \(b^2 = 4^2 = 16\).
پاسخ. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
مثال ۳. تجزیه عبارت
سوال. عبارتهای \(x^2 - 36\) و \(x^3 + 27\) را تجزیه کن.
تفاضل مربعها. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
مجموع مکعبات. متوجه میشویم که \(27 = 3^3\) است، پس \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). فرمول \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) را با \(a = x\) و \(b = 3\) به کار میبریم:
به علامت \(-3x\) در مربع ناقص دقت کن — در مجموع مکعبات، جمله وسط علامت منفی دارد.
مثال ۴. مکعب مجموع
سوال. پرانتز \((x+2)^3\) را باز کن.
گام ۱. فرمول مکعب مجموع: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) که در آن \(a = x\) و \(b = 2\).
گام ۲. جملات را به ترتیب محاسبه میکنیم:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
پاسخ. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
اشتباهات رایج در کار با اتحادها
-
فراموش کردن دو برابر حاصلضرب: نوشتن $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
در مربع مجموع و تفاضل همیشه یک جمله وسط \(2ab\) وجود دارد: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). بررسی آن ساده است — \((a+b)(a+b)\) را به صورت ستونی ضرب کن تا جمله وسط خودش ظاهر شود.
-
اشتباه در علامتهای مربع تفاضل و تفاضل مربعها.
در مربع تفاضل، علامت منفی فقط برای جمله وسط است: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (جملات کناری مثبت هستند). اما در تفاضل مربعها، علامت منفی بین خود مربعها قرار دارد: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). اینها دو فرمول متفاوت هستند.
-
«توزیع» توان در مکعب: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
این کار اشتباه است. مکعب مجموع شامل چهار جمله است: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). فرمول \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) چیز دیگری است (مجموع مکعبات) و برای تجزیه به کار میرود.
-
قرار دادن دو برابر حاصلضرب ($2ab$) در مربع ناقص مجموع/تفاضل مکعبات.
مربع ناقص به صورت \(a^2 \pm ab + b^2\) است، بدون عدد ۲ قبل از \(ab\). علامت آن مخالف علامت پرانتز اول است: مجموع مکعبات \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\) و تفاضل مکعبات \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
تلاش برای تجزیه مجموع مربعها $a^2 + b^2$.
فقط تفاضل مربعها \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) تجزیه میشود. مجموع مربعها \(a^2 + b^2\) در برنامه درسی مدرسه تجزیه نمیشود.
پرسش و پاسخ
در مجموع چند اتحاد جبری وجود دارد؟
هفت تا: مربع مجموع، مربع تفاضل، تفاضل مربعها، مکعب مجموع، مکعب تفاضل، مجموع مکعبات و تفاضل مکعبات. همه آنها در جدول بالا جمعآوری شدهاند.
مربع مجموع برابر با چیست؟
برابر است با مربع جمله اول به اضافه دو برابر حاصلضرب اول در دوم به اضافه مربع جمله دوم: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). در مربع تفاضل، جمله وسط علامت منفی دارد: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
چگونه تفاضل مربعها را تجزیه کنیم؟
با استفاده از فرمول \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). برای مثال، \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). کافی است ببینید که هر دو جمله مربع کامل هستند و بین آنها علامت منفی قرار دارد.
چرا $(a+b)^2$ برابر با $a^2 + b^2$ نیست؟
چون هنگام ضرب \((a+b)(a+b)\)، دو جمله یکسان \(ab\) به دست میآیند که جمله وسط \(2ab\) را میسازند. نباید آن را نادیده گرفت: فرمول درست \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) است.
تفاوت مکعب مجموع با مجموع مکعبات چیست؟
مکعب مجموع \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) برای باز کردن پرانتز است. مجموع مکعبات \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) برعکس، برای تجزیه عبارت به کار میرود. اینها دو فرمول متفاوت هستند، آنها را اشتباه نگیر.
اتحادهای جبری در چه پایهای تدریس میشوند؟
معمولاً در پایه هفتم در درس جبر: ابتدا مربع مجموع و تفاضل و تفاضل مربعها، سپس فرمولهای مکعبات. از اینها در ادامه برای سادهسازی عبارتها، ساده کردن کسرها و حل معادلات به طور گسترده استفاده میشود.
