نامعادله گویا — نامعادلهای به شکل \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) است که در آن \(P(x)\) و \(Q(x)\) چندجملهای هستند و به جای علامت \(>\) میتواند \(<\), \(\ge\) یا \(\le\) قرار گیرد. این نامعادلهها با روش بازهها حل میشوند: همه چیز به سمت چپ منتقل میشود، به عاملها تجزیه میشود، ریشههای صورت و ریشههای مخرج روی محور اعداد مشخص میشوند و علامتها تعیین میگردند. در ادامه — تعریف، الگوریتم کامل، قاعده نقاط حفرهدار، مرتبه ریشهها، مثالهای حل شده و تمرینکننده با امکان بررسی.
نامعادله گویا چیست؟
نامعادله گویا — نامعادلهای است که هر دو طرف آن با عبارات گویا، یعنی چندجملهایها و کسرهایی از چندجملهایها، نوشته شدهاند. پس از انتقال همه چیز به یک طرف، همیشه به شکل زیر درمیآید:
که در آن \(P(x)\) و \(Q(x)\) چندجملهای هستند و به جای \(\vee\) یکی از علامتهای \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\) قرار دارد. سمت راست حتماً باید صفر باشد — این شرطی است که بدون آن روش بازهها کار نمیکند.
نامعادلههای گویا به دو دسته تقسیم میشوند. اگر متغیر فقط در صورت ظاهر شود، نامعادله را گویای صحیح مینامند: نیازی به تقسیم نیست و هر مقداری برای \(x\) مناسب است. اگر متغیر در مخرج وجود داشته باشد، نامعادله گویای کسری (که به آن نامعادله کسری یا نامعادله با کسر نیز گفته میشود) است — و در این صورت بلافاصله محدودیت \(Q(x) \neq 0\) ظاهر میشود.
چرا نمیتوان دو طرف را در مخرج ضرب کرد
وسوسهانگیزترین کار هنگام حل نامعادله با کسر، «خلاص شدن از شر مخرج» با ضرب کردن دو طرف در آن است. با معادلات میتوان این کار را کرد، اما با نامعادلهها نه. دلیل ساده است: هنگام ضرب در عدد منفی، جهت نامعادله برعکس میشود، اما علامت عبارت \(Q(x)\) از قبل مشخص نیست — به \(x\) بستگی دارد.
نامعادله \(\frac{5}{x-3} < 1\) را در نظر بگیرید. دو طرف را در \(x - 3\) ضرب میکنیم، انگار که عددی مثبت است: \(5 < x - 3\) به دست میآید، یعنی \(x > 8\). پاسخ را با جایگذاری \(x = 0\) بررسی میکنیم: \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — نامعادله درست است، پس صفر نیز جواب است، اما در پاسخ \(x > 8\) قرار نگرفته است. پاسخ گم شده است.
راه درست این است که همه چیز را به سمت چپ منتقل کرده و به یک کسر تبدیل کنیم:
در مرحله آخر، دو طرف را در \(-1\) ضرب کرده و جهت نامعادله را برعکس کردیم — این کار قانونی است، زیرا \(-1\) همیشه منفی است. در ادامه روش بازهها کار میکند و پاسخ به دست میآید \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) — که شامل صفر نیز میشود.
سادهترین راه برای به خاطر سپردن این است: ضرب کردن دو طرف در عبارتی شامل متغیر مجاز نیست، انتقال جملات همیشه مجاز است. انتقال علامت نامعادله را تغییر نمیدهد.
روش بازهها: الگوریتم حل گام به گام
روش بازهها بر یک خاصیت تکیه دارد: بین ریشههای متوالی یک عبارت گویا، علامت آن ثابت است. بنابراین، کافی است تمام نقاطی را که صورت یا مخرج صفر میشوند پیدا کنیم، محور اعداد را با آنها تقسیم کنیم و علامت را در هر قطعه با یک نقطه آزمایشی یا با مرتبه ریشهها تعیین کنیم.
نقاط حفرهدار و پرشده: دامنه تعریف و علامت نامعادله
اشتباه در یک پرانتز، راهحل درست را به پاسخی نادرست تبدیل میکند، بنابراین قاعده مربوط به نقاط را باید جداگانه یاد گرفت. دقیقاً دو نکته در اینجا کاربرد دارد.
اول — دامنه تعریف. ریشه مخرج همیشه، با هر علامتی از نامعادله، حفرهدار میشود. در این نقطه کسر تعریف نشده است: تقسیم بر صفر مجاز نیست، بنابراین آن عدد نمیتواند جواب باشد، حتی اگر علامت نامساوی نباشد.
دوم — علامت اکید یا غیر اکید. ریشههای صورت، کسر را صفر میکنند. در علامت غیر اکید (\(\le\) یا \(\ge\))، برابری با صفر برای ما قابل قبول است، بنابراین نقطه پر میشود و با پرانتز مربع وارد پاسخ میشود. در علامت اکید (\(<\) یا \(>\))، صفر مناسب نیست و نقطه حفرهدار میشود.
برای مثال، در نامعادله \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) نقطه \(x = 6\) پر میشود (ریشه صورت، علامت غیر اکید)، و نقطه \(x = -1\) حفرهدار میشود (ریشه مخرج). پاسخ: \(x \in (-1; 6]\).
| چه نقطهای | چگونه علامت میزنیم |
|---|---|
| ریشه مخرج، Q(x) = 0 | حفرهدار همیشه، با هر علامتی — نقطه در دامنه تعریف نیست |
| ریشه صورت، علامت اکید < یا > | حفرهدار کسر صفر است، اما علامت اکید نیاز به مقداری غیر صفر دارد |
| ریشه صورت، علامت غیر اکید ≤ یا ≥ | پرشده برابری با صفر قابل قبول است، نقطه وارد پاسخ میشود |
مرتبه ریشهها: کجا علامت عوض میشود و کجا نه
علامتها در بازهها لزوماً به سادگی یکی در میان عوض نمیشوند — این رایجترین اشتباه در این مبحث است. یکی در میان عوض شدن فقط زمانی کار میکند که همه پرانتزها با توان اول ظاهر شوند. قاعده دقیقتر از طریق مرتبه ریشه بیان میشود — توان مربوط به پرانتز مربوطه.
هنگام عبور از ریشه با مرتبه فرد (توان ۱، ۳، ۵) علامت عبارت عوض میشود. هنگام عبور از ریشه با مرتبه زوج (توان ۲، ۴) علامت عوض نمیشود: پرانتز با توان زوج نامنفی است و علامت عبارت را خراب نمیکند. مرتبه به طور یکسان برای صورت و مخرج شمرده میشود.
عبارت \((x-9)^2(x+3) > 0\) را در نظر بگیرید. ریشهها: \(x = 9\) با مرتبه ۲ و \(x = -3\) با مرتبه ۱. سمت راست ۹ عبارت مثبت است. از ۹ عبور میکنیم — مرتبه زوج است، علامت حفظ میشود، در بازه \((-3; 9)\) نیز مثبت است. از \(-3\) عبور میکنیم — مرتبه فرد است، علامت به منفی تغییر میکند. پاسخ نامعادله اکید: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\)، نقطه ۹ حفرهدار است زیرا عبارت در آنجا صفر میشود. اما برای نامعادله غیر اکید \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) پاسخ متفاوت است: \(x \in [-3; +\infty)\) — ۹ پر میشود و دو بازه را «به هم میچسباند».
| مرتبه ریشه | علامت هنگام عبور |
|---|---|
| فرد: (x − a), (x − a)3 | عوض میشود |
| زوج: (x − a)2, (x − a)4 | عوض نمیشود |
محور اعداد در یک مثال: تعیین علامتها
همه چیز را با هم در نامعادله \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\) جمعبندی میکنیم. ریشههای صورت: \(x = -7\). ریشههای مخرج: \(x = 2\) و \(x = 5\) که دامنه تعریف را نیز تعیین میکنند. هر سه پرانتز توان اول دارند، بنابراین علامتها یکی در میان عوض میشوند. نقطه آزمایشی \(x = 10\) در راستترین بازه \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) را میدهد — از مثبت شروع میکنیم و به سمت چپ میرویم، با عبور از هر نقطه علامت را عوض میکنیم.
مثالهای حل نامعادلههای گویا
مثال ۱. نامعادله کسری ساده
حل کنید \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
گام ۱. سمت راست صفر است، کسر نیز یکتاست — نیازی به انتقال و تبدیل نیست.
گام ۲. دامنه تعریف. \(x + 5 \neq 0\) یعنی \(x \neq -5\).
گام ۳. ریشهها. صورت در \(x = 3\) صفر میشود، مخرج در \(x = -5\).
گام ۴. نقاط روی محور. \(x = 3\) پر میشود (ریشه صورت، علامت غیر اکید)، \(x = -5\) حفرهدار میشود (ریشه مخرج).
گام ۵. علامتها. نقطه آزمایشی \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) — سمت راست مثبت است. هر دو پرانتز توان اول دارند، بنابراین علامتها یکی در میان عوض میشوند: در \((-5; 3)\) منفی، در \((-\infty; -5)\) مثبت. بررسی میکنیم: برای \(x = -6\) داریم \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) — درست است.
گام ۶. پاسخ. علامت «مثبت یا صفر» مورد نیاز است: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
مثال ۲. سمت راست صفر نیست — منتقل میکنیم
حل کنید \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
گام ۱. عدد ۱ را به سمت چپ منتقل میکنیم. ضرب کردن در \(x - 4\) مجاز نیست، زیرا علامت این عبارت نامشخص است:
گام ۲. به یک کسر تبدیل میکنیم.
گام ۳. دامنه تعریف. \(x \neq 4\).
گام ۴. نقاط. \(x = -5\) — ریشه صورت، علامت غیر اکید، پر میشود. \(x = 4\) — ریشه مخرج، حفرهدار میشود.
گام ۵. علامتها. برای \(x = 5\) کسر برابر \(\frac{10}{1} > 0\) است. پس در \((4; +\infty)\) مثبت، در \((-5; 4)\) منفی، در \((-\infty; -5)\) مثبت است.
گام ۶. پاسخ. \(x \in [-5; 4)\). بررسی نقاط مرزی: برای \(x = -5\) کسر صفر است — برای \(\le\) مناسب است؛ برای \(x = 4\) کسر تعریف نشده است — مناسب نیست.
مثال ۳. ریشه زوج و نقطه ایزوله
حل کنید \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
گام ۱. دامنه تعریف. \(x \neq 9\).
گام ۲. ریشهها و مرتبهها. \(x = 2\) — مرتبه ۲ (زوج)، \(x = -6\) — مرتبه ۱، \(x = 9\) — مرتبه ۱ در مخرج.
گام ۳. نقاط. \(x = 2\) و \(x = -6\) پر میشوند (ریشههای صورت با علامت غیر اکید)، \(x = 9\) حفرهدار میشود.
گام ۴. علامتها. نقطه آزمایشی \(x = 10\): صورت مثبت، مخرج ۱ — مثبت. به سمت چپ میرویم. از ۹ (مرتبه فرد) علامت عوض میشود: در \((2; 9)\) منفی. از ۲ (مرتبه زوج) علامت عوض نمیشود: در \((-6; 2)\) نیز منفی. از \(-6\) (مرتبه فرد) علامت عوض میشود: در \((-\infty; -6)\) مثبت.
گام ۵. پاسخ. بازههای با علامت «مثبت» به علاوه تمام نقاطی که عبارت در آنها صفر است را انتخاب میکنیم. نقطه \(x = 2\) در بازه منفی قرار دارد، اما خود عبارت در آنجا صفر است، بنابراین به طور جداگانه وارد پاسخ میشود:
چنین نقطه «تنها» در پاسخ — نشانه قطعی ریشه زوج با علامت غیر اکید است.
مثال ۴. سادهسازی کسر: تله دامنه تعریف
حل کنید \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
گام ۱. به عاملها تجزیه میکنیم. صورت مربع کامل است: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). برای مخرج، دلتا را محاسبه میکنیم: \(D = 81 + 40 = 121\)، ریشهها \(x_1 = \frac{1}{5}\) و \(x_2 = -2\)، بنابراین \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
گام ۲. دامنه تعریف — قبل از هرگونه سادهسازی. \(5x - 1 \neq 0\) و \(x + 2 \neq 0\) یعنی \(x \neq \frac{1}{5}\) و \(x \neq -2\).
گام ۳. ساده میکنیم. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\)، اما فقط برای \(x \neq \frac{1}{5}\) — سادهسازی نقطه حفرهدار را برنمیگرداند.
گام ۴. \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\) را حل میکنیم. ریشهها: \(\frac{1}{5}\) و \(-2\). برای \(x = 1\) کسر برابر \(\frac{4}{3} > 0\) است. پس در \((\frac{1}{5}; +\infty)\) مثبت، در \((-2; \frac{1}{5})\) منفی، در \((-\infty; -2)\) مثبت است.
گام ۵. دامنه تعریف را برمیگردانیم. بازه \((-2; \frac{1}{5}]\) از نظر علامت مناسب بود، اما نقطه \(\frac{1}{5}\) حفرهدار است: در نامعادله اصلی مخرج \(5x^2+9x-2\) برای \(x = \frac{1}{5}\) صفر میشود، کسر در آنجا تعریف نشده است.
پاسخ: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — هر دو پرانتز گرد هستند.
مثال ۵. چندجملهای درجه دو در صورت
حل کنید \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
گام ۱. صورت را تجزیه میکنیم. طبق قضیه ویتا، مجموع ریشهها ۷ و حاصلضرب ۱۰ است، بنابراین \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). نامعادله به شکل \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\) درمیآید.
گام ۲. دامنه تعریف. \(x \neq -4\).
گام ۳. نقاط. هر سه نقطه حفرهدار هستند: \(-4\) — ریشه مخرج، ۲ و ۵ — ریشههای صورت با علامت اکید.
گام ۴. علامتها. نقطه آزمایشی \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). همه پرانتزها توان اول دارند، بنابراین علامتها یکی در میان عوض میشوند: در \((5; +\infty)\) مثبت، در \((2; 5)\) منفی، در \((-4; 2)\) مثبت، در \((-\infty; -4)\) منفی.
گام ۵. پاسخ. علامت اکید منفی مورد نیاز است: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). کنترل با جایگذاری: برای \(x = -5\) داریم \(\frac{70}{-1} < 0\)، برای \(x = 3\) داریم \(\frac{-2}{7} < 0\) — هر دو بازه مناسب هستند.
اشتباهات رایج در حل نامعادلههای گویا
-
ضرب کردن دو طرف نامعادله در مخرج: از $\frac{3}{x-8} > 1$ به $3 > x - 8$ تبدیل میکنند و مینویسند $x < 11$.
علامت عبارت \(x - 8\) از قبل نامشخص است، و هنگام ضرب در عدد منفی جهت نامعادله برعکس میشود. بررسی: \(x = 0\) نتیجه میدهد \(\frac{3}{-8} < 1\) — صفر جواب نیست، هرچند در پاسخ \(x < 11\) قرار گرفته است. راه درست: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\) یعنی \(\frac{11-x}{x-8} > 0\) که از آن \(x \in (8; 11)\) به دست میآید.
-
پر کردن ریشه مخرج به دلیل علامت غیر اکید: برای $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ پاسخ را با پرانتز مربع در کنار ۷ مینویسند.
ریشه مخرج همیشه، با هر علامتی، حفرهدار میشود: در آن نقطه کسر تعریف نشده است. پاسخ درست: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — برای ۱ پرانتز مربع، برای ۷ پرانتز گرد.
-
سادهسازی کسر و از دست دادن دامنه تعریف: از $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ به $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ میرسند و نقطه $x = -3$ را در پاسخ لحاظ میکنند.
دامنه تعریف را قبل از سادهسازی، بر اساس مخرج اصلی مینویسند: \(x \neq -3\) و \(x \neq 5\). کسر سادهشده \(\frac{x+3}{x-5}\) در بازه \([-3; 5)\) نامثبت است — برای \(x = 0\) برابر \(-0{,}6\) است که برای علامت \(\le\) لازم است. اما نقطه \(-3\) به دلیل دامنه تعریف حفرهدار است، بنابراین پاسخ \((-3; 5)\) است، نه \([-3; 5)\).
-
فرض میکنند که علامتها در بازهها همیشه یکی در میان عوض میشوند و برای $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ در سمت راست ۱ علامت منفی میگذارند.
یکی در میان عوض شدن فقط برای پرانتزهای با توان اول درست است. ریشه \(x = 1\) مرتبه ۲ دارد، بنابراین علامت از آن عبور نمیکند. عبارت در کل \((-4; +\infty)\) مثبت است، به جز خود ۱ که در آن صفر میشود. پاسخ: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
تغییر علامت نامعادله هنگام انتقال جمله: از $\frac{x}{x-2} \le 3$ به $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$ تبدیل میکنند.
انتقال جمله از یک طرف به طرف دیگر علامت نامعادله را تغییر نمیدهد — فقط علامت خود جمله تغییر میکند. علامت فقط هنگام ضرب یا تقسیم دو طرف در عدد منفی برعکس میشود. درست است: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\)، سپس \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\) یعنی \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
فقط ریشههای صورت را روی محور علامت میزنند و مخرج را «بعداً» بررسی میکنند: برای $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ یک نقطه $-11$ میگذارند.
همه ریشهها را بلافاصله روی محور علامت میزنند — هم صورت و هم مخرج، در غیر این صورت بازهها اشتباه خواهند بود. در اینجا \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\)، بنابراین سه نقطه وجود دارد: \(-11\)، \(-4\) و \(۴\)، نه یکی. همه حفرهدار هستند (علامت اکید)، پاسخ: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
سوالات و پاسخها
نامعادله گویا چیست؟
نامعادلهای است که هر دو طرف آن عبارات گویا (چندجملهایها و کسرهایی از چندجملهایها) هستند. پس از انتقال همه چیز به سمت چپ، به شکل \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) درمیآید که در آن \(P(x)\) و \(Q(x)\) چندجملهای هستند و به جای \(>\) میتواند \(<\), \(\le\) یا \(\ge\) قرار گیرد.
چگونه نامعادلههای گویا را حل کنیم؟
با روش بازهها در شش گام: همه چیز را به سمت چپ منتقل کنید تا سمت راست صفر شود؛ به یک کسر تبدیل کرده و صورت و مخرج را به عاملها تجزیه کنید؛ دامنه تعریف را بنویسید (\(Q(x) \neq 0\))؛ ریشههای صورت و مخرج را روی محور اعداد علامت بزنید؛ علامتها را در بازهها با یک نقطه آزمایشی و مرتبه ریشهها تعیین کنید؛ بازههایی با علامت مورد نظر را به صورت پاسخ بنویسید.
نامعادله گویای کسری چه تفاوتی با گویای صحیح دارد؟
در نامعادله گویای صحیح، متغیر فقط در صورت قرار دارد، مثلاً \((x-1)(x+4) > 0\) و دامنه تعریف همه اعداد حقیقی است. در نامعادله گویای کسری، متغیر در مخرج وجود دارد، مثلاً \(\frac{x-1}{x+4} > 0\) و محدودیت \(x \neq -4\) ظاهر میشود. الگوریتم در هر دو حالت یکسان است — فقط نقاط حفرهدار تغییر میکنند.
چگونه نامعادلهها با کسر را حل کنیم؟
مانند هر نامعادله گویای دیگری: ابتدا همه چیز را به سمت چپ منتقل کرده و به یک کسر تبدیل کنید، نه اینکه سعی کنید مخرج را حذف کنید. برای مثال، \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) به \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\) یعنی \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\) تبدیل میشود. صورت ثابت و منفی است، بنابراین کسر نامنفی است فقط زمانی که مخرج منفی باشد: \(x + 2 < 0\). پاسخ: \(x \in (-\infty; -2)\).
چرا نمیتوان دو طرف نامعادله را در مخرج ضرب کرد؟
زیرا علامت مخرج به \(x\) بستگی دارد: هنگام ضرب در عبارت مثبت، علامت نامعادله حفظ میشود، و هنگام ضرب در عبارت منفی — برعکس میشود. از قبل مشخص نیست که کدام حالت پیش میآید، بنابراین بخشی از پاسخها گم میشود و بخشی به اشتباه اضافه میشود. انتقال جملات همیشه مجاز است — انتقال علامت نامعادله را تغییر نمیدهد.
چگونه دامنه تعریف را در نامعادله پیدا کنیم؟
برای نامعادله گویا، دامنه تعریف تمام مقادیری از \(x\) است که مخرج صفر نمیشود. مخرج را برابر صفر قرار دهید، معادله را حل کنید و اعداد به دست آمده را حذف کنید. دامنه تعریف را باید بر اساس مخرج اصلی، قبل از سادهسازی کسر بنویسید — در غیر این صورت نقاط حفرهدار گم میشوند.
کدام نقاط حفرهدار و کدام پرشده هستند؟
ریشههای مخرج همیشه، با هر علامتی از نامعادله، حفرهدار هستند. ریشههای صورت در علامت غیر اکید (\(\le\) یا \(\ge\)) پر میشوند و در علامت اکید (\(<\) یا \(>\)) حفرهدار میشوند. در نمایش پاسخ، به نقطه حفرهدار پرانتز گرد و به نقطه پرشده پرانتز مربع نسبت داده میشود.
مرتبه ریشه چیست و چرا در روش بازهها لازم است؟
مرتبه، توانی است که پرانتز در تجزیه ظاهر میشود. هنگام عبور از ریشه با مرتبه فرد، علامت عبارت عوض میشود، هنگام عبور از ریشه با مرتبه زوج — حفظ میشود. به همین دلیل علامتها همیشه به سادگی یکی در میان عوض نمیشوند: در \((x-9)^2(x+3)\) در نقطه ۹ علامت ثابت میماند.
نامعادلههای گویا در کدام کلاس تدریس میشوند؟
در کلاس نهم در درس جبر، پس از نامعادلههای درجه دوم و تجزیه چندجملهایها به عاملها. روش بازهها بعداً برای نامعادلههای نمایی، لگاریتمی و گنگ، و همچنین در مسائل OGE و ЕГЭ پروفایل استفاده میشود.
