Τετραγωνικές εξισώσεις

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

Μασκότ-μαθηματικός μπροστά από πίνακα με τετραγωνική εξίσωση, τύπο διακρίνουσας και τύπο ριζών

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής $ax^2 + bx + c = 0$, όπου $a \neq 0$. Ο αριθμός των ριζών της καθορίζεται από τη διακρίνουσα $D = b^2 - 4ac$, και οι ίδιες οι ρίζες βρίσκονται με τον τύπο $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Αυτή η σελίδα συγκεντρώνει τα πάντα για το θέμα: τυπική μορφή και συντελεστές, τρεις τύποι ελλιπών εξισώσεων, διακρίνουσα και τρεις περιπτώσεις, τύπος ριζών και η «άρτια» παραλλαγή του, κανονικοποιημένη εξίσωση και θεώρημα Vieta, παραγοντοποίηση και διτετράγωνες εξισώσεις — με παραδείγματα βήμα προς βήμα, ανάλυση συχνών λαθών και διαδραστικό προσομοιωτή.

Τι είναι η τετραγωνική εξίσωση

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής

\[ax^2 + bx + c = 0,\]

όπου $x$ είναι η άγνωστη μεταβλητή και $a$, $b$, $c$ είναι αριθμοί (συντελεστές), με την προϋπόθεση ότι $a \neq 0$. Αυτή η μορφή ονομάζεται τυπική μορφή τετραγωνικής εξίσωσης: τα μέλη είναι διατεταγμένα κατά φθίνουσα δύναμη του $x$ και το δεξί μέλος είναι μηδέν.

Η συνθήκη $a \neq 0$ δεν είναι τυπική. Είναι ο όρος $ax^2$ που καθιστά την εξίσωση τετραγωνική: αν $a = 0$, απομένει $bx + c = 0$, δηλαδή μια συνηθισμένη γραμμική εξίσωση με μία ρίζα. Γι' αυτό, σε προβλήματα με παράμετρο, ελέγχεται πρώτα αν ο μεγαλύτερος συντελεστής μηδενίζεται.

Μια εξίσωση μπορεί σχεδόν πάντα να μετατραπεί σε τυπική μορφή: ανοίγοντας παρενθέσεις, μεταφέροντας όλα τα μέλη στο αριστερό μέρος και αναλύοντας όμοιους όρους. Για παράδειγμα, η $5x^2 = 3x - 2$ μετά τη μεταφορά γίνεται $5x^2 - 3x + 2 = 0$, από όπου $a = 5$, $b = -3$, $c = 2$. Ο όρος «κβαντική εξίσωση» σημαίνει ακριβώς το ίδιο — είναι απλώς μια άλλη ονομασία.

ax² + bx + c = 0

Συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου — ο πολλαπλασιαστής του x². Πάντα a ≠ 0: αν a = 0, η εξίσωση γίνεται γραμμική.

Συντελεστής του πρωτοβάθμιου όρου — ο πολλαπλασιαστής του x. Μπορεί να είναι οποιοσδήποτε, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός ή αρνητικός.

Σταθερός όρος — ο όρος χωρίς x. Επίσης μπορεί να είναι μηδέν.

Τα πρόσημα περιλαμβάνονται στους συντελεστές: για την x² − 4x − 5 = 0, έχουμε a = 1, b = −4, c = −5. Αν a = 1, η εξίσωση ονομάζεται κυρτή και γράφεται x² + px + q = 0.

Πλήρεις και ελλιπείς τετραγωνικές εξισώσεις

Αν και οι τρεις συντελεστές είναι διάφοροι του μηδενός, η εξίσωση ονομάζεται πλήρης. Αν $b$ ή $c$ (ή και οι δύο) είναι μηδέν — ελλιπής. Υπάρχουν ακριβώς τρεις τύποι ελλιπών εξισώσεων, και καμία από αυτές δεν απαιτεί διακρίνουσα: κάθε μία λύνεται σε μία-δύο γραμμές, και αυτός είναι ο πιο γρήγορος τρόπος για να εξοικονομήσετε χρόνο σε μια εξέταση.

Η βασική ιδέα για την $ax^2 + bx = 0$ είναι η εξαγωγή κοινού παράγοντα. Το γινόμενο $x(ax + b)$ είναι μηδέν αν και μόνο αν τουλάχιστον ένας παράγοντας είναι μηδέν, από όπου προκύπτουν αμέσως δύο ρίζες. Για την $ax^2 + c = 0$ η ιδέα είναι διαφορετική: εκφράζουμε το $x^2$ και κοιτάμε το πρόσημο του αριθμού που προκύπτει — το τετράγωνο ενός πραγματικού αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

Είδος εξίσωσης	Πώς να λύσετε
ax² + c = 02x² − 50 = 0	Μεταφέρετε το c στη δεξιά πλευρά και διαιρέστε με το a: x² = −c/a. Βγάλτε την τετραγωνική ρίζα, χωρίς να χάσετε το δεύτερο πρόσημο.x = 5 και x = −5
ax² + bx = 0x² + 7x = 0	Βγάλτε το x κοινό παράγοντα: x(ax + b) = 0. Το γινόμενο είναι μηδέν όταν ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν.x = 0 και x = −7
ax² = 09x² = 0	Διαιρέστε με το a και βγάλτε την τετραγωνική ρίζα του μηδενός. Η ρίζα είναι πάντα ακριβώς μία.x = 0

Στην πρώτη γραμμή μπορεί να μην υπάρχουν ρίζες: αν το −c/a είναι αρνητικό, το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να ισούται με αρνητικό αριθμό.

Διακρίνουσα: πώς να τη βρείτε και πόσες ρίζες θα έχει

Η διακρίνουσα είναι ένας αριθμός που υπολογίζεται από τους συντελεστές της πλήρους εξίσωσης:

\[D = b^2 - 4ac.\]

Η ίδια η λέξη σημαίνει «διαχωριστής»: η διακρίνουσα δεν λύνει τίποτα, απλώς διακρίνει τρεις καταστάσεις — δύο ρίζες, μία ρίζα ή καμία ρίζα. Γι' αυτό, το ερώτημα «πόσες ρίζες έχει η εξίσωση» λύνεται χωρίς να βρεθούν οι ίδιες οι ρίζες.

Ο υπολογισμός του $D$ πρέπει να γίνεται προσεκτικά: το $b^2$ είναι πάντα θετικό, ακόμα κι αν το ίδιο το $b$ είναι αρνητικό, και τα πρόσημα των $a$ και $c$ περιλαμβάνονται στο γινόμενο $4ac$ όπως είναι. Ας πάρουμε την $x^2 + 4x - 5 = 0$: εδώ $a = 1$, $b = 4$, $c = -5$, άρα $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$. Η διακρίνουσα είναι θετική, και θα υπάρχουν δύο ρίζες.

D = b² − 4ac

D > 0

Δύο άνισες ρίζες

x_1,2 = (−b ± √D) / 2a

D = 0

Μία ρίζα

x = −b / 2a

D < 0

Καμία πραγματική ρίζα

Η εξαγωγή τετραγωνικής ρίζας από αρνητικό αριθμό δεν είναι δυνατή.

Τύπος ριζών τετραγωνικής εξίσωσης

Όταν $D \ge 0$, οι ρίζες βρίσκονται με τον κύριο τύπο του θέματος:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

Το σύμβολο $\pm$ σημαίνει δύο υπολογισμούς: μία φορά με πρόσθεση, άλλη μία με αφαίρεση. Όταν $D = 0$, και οι δύο υπολογισμοί δίνουν τον ίδιο αριθμό $x = -\dfrac{b}{2a}$ — αυτή η ρίζα ονομάζεται διπλή.

Δύο σημεία όπου γίνονται συχνά λάθη: στον αριθμητή βρίσκεται το μείον του $b$ (για $b = -7$ αυτό είναι $+7$), και στον παρονομαστή είναι το $2a$, όχι απλώς 2. Όταν $a = 1$, η διαφορά δεν είναι εμφανής, γι' αυτό το λάθος εμφανίζεται ακριβώς εκεί όπου ο μεγαλύτερος συντελεστής διαφέρει από τη μονάδα.

Ας λύσουμε την $2x^2 - 9x - 5 = 0$: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$, $\sqrt{D} = 11$, άρα $x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5$ και $x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5$.

Μετατροπή σε τυπική μορφή

άνοιγμα παρενθέσεων, μεταφορά όλων αριστερά και αναγωγή ομοίων όρων: ax² + bx + c = 0

Απαρίθμηση των a, b, c μαζί με τα πρόσημα

το μείον πριν από έναν όρο είναι μέρος του συντελεστή, όχι ξεχωριστό πρόσημο

Υπολογισμός της διακρίνουσας

D = b² − 4ac — το τετράγωνο του b είναι πάντα θετικό

Σύγκριση του D με το μηδέν και εύρεση των ριζών

x_1,2 = (−b ± √D) / 2a; αν D = 0, η ρίζα είναι μία, αν D < 0, δεν υπάρχουν ρίζες

Επαλήθευση με αντικατάσταση

αντικαταστήστε κάθε ρίζα στην αρχική εξίσωση — θα πρέπει να προκύψει 0 = 0

Άρτιος δεύτερος συντελεστής: τύπος με D₁

Αν το $b$ είναι άρτιος αριθμός, είναι βολικό να το γράψουμε ως $b = 2k$ και να υπολογίσουμε τη «μειωμένη» διακρίνουσα:

\[D_1 = k^2 - ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}.\]

Οι αριθμοί στους υπολογισμούς γίνονται τέσσερις φορές μικρότεροι ($D = 4D_1$), και το πρόσημο του $D_1$ είναι το ίδιο με αυτό του $D$ — άρα, το συμπέρασμα για τον αριθμό των ριζών δεν αλλάζει.

Παράδειγμα: $3x^2 + 8x - 3 = 0$. Εδώ $b = 8$, άρα $k = 4$, και $D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25$, $\sqrt{D_1} = 5$. Τότε $x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}$ και $x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3$. Με τον συνηθισμένο τύπο θα έπρεπε να δουλέψουμε με $D = 100$ — το αποτέλεσμα είναι το ίδιο, αλλά η αριθμητική είναι περισσότερη.

Κανονικοποιημένη εξίσωση και θεώρημα Vieta

Μια εξίσωση με $a = 1$ ονομάζεται κανονικοποιημένη και γράφεται ως $x^2 + px + q = 0$. Κάθε τετραγωνική εξίσωση μπορεί να μετατραπεί σε αυτή τη μορφή διαιρώντας με το $a$: για παράδειγμα, η $4x^2 - 12x + 8 = 0$ μετά τη διαίρεση με 4 γίνεται $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Η κανονικοποιημένη μορφή είναι πολύτιμη επειδή για αυτήν ισχύει το θεώρημα Vieta: το άθροισμα των ριζών ισούται με $-p$, και το γινόμενο ισούται με $q$. Για την $x^2 - 7x + 10 = 0$ χρειάζονται δύο αριθμοί με άθροισμα 7 και γινόμενο 10 — αυτοί είναι οι 2 και 5, και δεν χρειάστηκε να υπολογίσουμε τη διακρίνουσα.

Η εύρεση με το θεώρημα Vieta είναι χρήσιμη όταν οι ρίζες είναι ακέραιοι και μικροί αριθμοί, και επιπλέον ελέγχει δωρεάν την απάντηση που βρέθηκε μέσω της διακρίνουσας: το άθροισμα πρέπει να δίνει $-p$, το γινόμενο $q$. Οι τύποι για τη γενική μορφή, το αντίστροφο θεώρημα και ο αλγόριθμος εύρεσης αναλύονται σε ξεχωριστό υλικό — θεώρημα Vieta.

Παραγοντοποίηση τριωνύμου δευτέρου βαθμού

Αν οι ρίζες $x_1$ και $x_2$ έχουν βρεθεί, το τριώνυμο δευτέρου βαθμού παραγοντοποιείται ως εξής:

\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).\]

Ο παράγοντας $a$ δεν πρέπει να ξεχνιέται — χωρίς αυτόν η ισότητα παύει να είναι αληθής. Ο έλεγχος της παραγοντοποίησης είναι πάντα εύκολος: ανοίγοντας τις παρενθέσεις και συγκρίνοντας με το αρχικό τριώνυμο. Για παράδειγμα, η $x^2 + 2x - 8$ έχει ρίζες 2 και $-4$, άρα $x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)$.

Λειτουργεί και η αντίστροφη πορεία: αν το τριώνυμο παραγοντοποιηθεί προφορικά, οι ρίζες είναι άμεσα ορατές και η διακρίνουσα δεν χρειάζεται. Εδώ βοηθούν οι τύποι συντομευμένης παραγοντοποίησης — για παράδειγμα, η $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ δίνει τις ρίζες $4$ και $-4$ ακαριαία.

Μια τρίτη μέθοδος για να αποφύγετε τον τύπο των ριζών είναι η συμπλήρωση τετραγώνου. Στην $x^2 + 6x + 5 = 0$, οι δύο πρώτοι όροι συμπληρώνονται σε τετράγωνο αθροίσματος: $(x + 3)^2 - 9 + 5 = 0$, δηλαδή $(x + 3)^2 = 4$, από όπου $x + 3 = \pm 2$ και $x = -1$ ή $x = -5$. Ακριβώς με αυτή τη μέθοδο βγαίνει ο τύπος των ριζών στη γενική μορφή.

Εξισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικές: διτετράγωνες

Μια διτετράγωνη εξίσωση έχει τη μορφή $ax^4 + bx^2 + c = 0$: οι δυνάμεις είναι μόνο άρτιες. Λύνεται με αντικατάσταση $t = x^2$, με την απαραίτητη προϋπόθεση $t \ge 0$ — το τετράγωνο ενός πραγματικού αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

Μετά την αντικατάσταση, προκύπτει μια συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση $at^2 + bt + c = 0$. Αυτή λύνεται με τη διακρίνουσα, και στη συνέχεια για κάθε μη αρνητική ρίζα $t$ επιστρέφουμε στο $x = \pm\sqrt{t}$. Από εδώ προκύπτει και ο αριθμός των ριζών: έως και τέσσερις.

Για παράδειγμα, η $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ μετά την αντικατάσταση δίνει $t^2 - 5t + 4 = 0$ με ρίζες $t = 1$ και $t = 4$. Και οι δύο είναι θετικές, άρα $x = \pm 1$ και $x = \pm 2$ — συνολικά τέσσερις ρίζες. Αν μία από τις $t$ ήταν αρνητική, απλώς θα απορριπτόταν.

Με την ίδια μέθοδο λύνονται οι κλασματικές-ρητές εξισώσεις (μετά τη μετατροπή σε κοινό παρονομαστή και την απόρριψη απαγορευμένων τιμών) και οι εξισώσεις με αντικατάσταση της μορφής $t = x^2 + 3x$.

Παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων

Παράδειγμα 1. Πλήρης εξίσωση, D > 0

Λύστε την $3x^2 - 7x + 2 = 0$.

Βήμα 1. Η εξίσωση είναι ήδη σε τυπική μορφή: $a = 3$, $b = -7$, $c = 2$.

Βήμα 2. $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0$ — υπάρχουν δύο ρίζες.

Βήμα 3. $\sqrt{D} = 5$, άρα $x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}$: $x_1 = \dfrac{12}{6} = 2$, $x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

Βήμα 4. Έλεγχος με αντικατάσταση. $3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0$; $3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0$.

Απάντηση: $x_1 = 2$, $x_2 = \dfrac{1}{3}$.

Παράδειγμα 2. Διακρίνουσα μηδέν

Λύστε την $4x^2 - 12x + 9 = 0$.

Βήμα 1. $a = 4$, $b = -12$, $c = 9$.

Βήμα 2. $D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$ — η ρίζα είναι μία.

Βήμα 3. $x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5$.

Βήμα 4. Έλεγχος. $4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$.

Απάντηση: $x = 1{,}5$. Σημειώστε: το αριστερό μέλος είναι τέλειο τετράγωνο $(2x - 3)^2$, γι' αυτό η ρίζα βγήκε μία.

Παράδειγμα 3. Αρνητική διακρίνουσα

Λύστε την $2x^2 + 3x + 5 = 0$.

Βήμα 1. $a = 2$, $b = 3$, $c = 5$.

Βήμα 2. $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0$.

Βήμα 3. Η διακρίνουσα είναι αρνητική, άρα δεν μπορούμε να βγάλουμε $\sqrt{D}$ στους πραγματικούς αριθμούς. Δεν χρειάζεται να εφαρμόσουμε τον τύπο των ριζών — η λύση έχει τελειώσει.

Απάντηση: δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες. Αυτή είναι μια πλήρης απάντηση, όχι σημάδι λάθους: η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = 2x^2 + 3x + 5$ απλώς δεν τέμνει τον άξονα $x$.

Παράδειγμα 4. Ελλιπής εξίσωση της μορφής ax² + c = 0

Λύστε την $3x^2 - 27 = 0$.

Βήμα 1. Μεταφέρουμε τον σταθερό όρο: $3x^2 = 27$.

Βήμα 2. Διαιρούμε με 3: $x^2 = 9$.

Βήμα 3. Το τετράγωνο ισούται με 9 για δύο αριθμούς: $x = 3$ και $x = -3$. Το δεύτερο πρόσημο χάνεται συχνότερα.

Βήμα 4. Έλεγχος. $3 \cdot 3^2 - 27 = 0$; $3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0$.

Απάντηση: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$. Συγκρίνετε με την εξίσωση $2x^2 + 8 = 0$: εκεί $x^2 = -4$, και δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.

Παράδειγμα 5. Ελλιπής εξίσωση της μορφής ax² + bx = 0

Λύστε την $5x^2 - 15x = 0$.

Βήμα 1. Εξάγουμε τον κοινό παράγοντα: $5x(x - 3) = 0$.

Βήμα 2. Το γινόμενο είναι μηδέν όταν ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν: $5x = 0$ ή $x - 3 = 0$.

Βήμα 3. Από εδώ $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

Βήμα 4. Έλεγχος. $5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0$; $5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0$.

Απάντηση: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Αν απλοποιήσουμε την αρχική εξίσωση με $x$, θα μείνει μόνο $x = 3$ — η ρίζα $x = 0$ θα χαθεί. Δεν επιτρέπεται η διαίρεση με παράσταση που περιέχει άγνωστο.

Παράδειγμα 6. Άρτιος δεύτερος συντελεστής

Λύστε την $5x^2 - 22x + 8 = 0$.

Βήμα 1. $b = -22$ είναι άρτιος, άρα $k = -11$, και $a = 5$, $c = 8$.

Βήμα 2. $D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81$, $\sqrt{D_1} = 9$.

Βήμα 3. $x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}$: $x_1 = 4$, $x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$.

Βήμα 4. Έλεγχος. $5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0$; $5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0$.

Απάντηση: $x_1 = 4$, $x_2 = 0{,}4$. Η συνηθισμένη διακρίνουσα θα έδινε $D = 324$ — το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά ο υπολογισμός θα ήταν μακρύτερος.

Παράδειγμα 7. Πρώτα μετατροπή σε τυπική μορφή

Λύστε την $(x - 3)(x + 5) = 9$.

Βήμα 1. Ανοίγουμε τις παρενθέσεις: $x^2 + 5x - 3x - 15 = 9$, δηλαδή $x^2 + 2x - 15 = 9$.

Βήμα 2. Μεταφέρουμε το 9 στο αριστερό μέλος: $x^2 + 2x - 24 = 0$. Μόνο τώρα μπορούμε να αναγράψουμε τους συντελεστές: $a = 1$, $b = 2$, $c = -24$.

Βήμα 3. $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$, $\sqrt{D} = 10$, $x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}$: $x_1 = 4$, $x_2 = -6$.

Βήμα 4. Έλεγχος στην αρχική εξίσωση. $(4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9$; $(-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9$.

Απάντηση: $x_1 = 4$, $x_2 = -6$. Συχνό λάθος εδώ είναι να εξισώνεται κάθε παρένθεση με 9: ο κανόνας «το γινόμενο είναι μηδέν» ισχύει μόνο για το μηδέν.

Παράδειγμα 8. Παραγοντοποίηση τριωνύμου

Παραγοντοποιήστε το $2x^2 - 5x - 3$ σε παράγοντες.

Βήμα 1. Εξισώνουμε το τριώνυμο με μηδέν και βρίσκουμε τις ρίζες: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$, $\sqrt{D} = 7$, $x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}$: $x_1 = 3$, $x_2 = -\dfrac{1}{2}$.

Βήμα 2. Αντικαθιστούμε στον τύπο $a(x - x_1)(x - x_2)$: $2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)$.

Βήμα 3. Είναι βολικό να εισάγουμε το 2 στη δεύτερη παρένθεση: $(x - 3)(2x + 1)$.

Βήμα 4. Έλεγχος με άνοιγμα παρενθέσεων. $(x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$.

Απάντηση: $2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)$.

Παράδειγμα 9. Διτετράγωνη εξίσωση

Λύστε την $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Βήμα 1. Αντικατάσταση $t = x^2$, όπου $t \ge 0$. Η εξίσωση μετατρέπεται σε $t^2 - 13t + 36 = 0$.

Βήμα 2. $D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$, $\sqrt{D} = 5$, $t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}$: $t_1 = 9$, $t_2 = 4$.

Βήμα 3. Και οι δύο τιμές είναι μη αρνητικές, άρα επιστρέφουμε στο $x$: από $x^2 = 9$ παίρνουμε $x = \pm 3$, από $x^2 = 4$ — $x = \pm 2$.

Βήμα 4. Έλεγχος. $3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0$; $2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0$. Για τις αρνητικές τιμές, οι άρτιες δυνάμεις δίνουν τους ίδιους αριθμούς.

Απάντηση: $x = \pm 2$ και $x = \pm 3$ — τέσσερις ρίζες.

Συχνά λάθη κατά την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων

Υπολογισμός διακρίνουσας χωρίς μετατροπή της εξίσωσης σε τυπική μορφή: για την $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ παίρνουν αμέσως $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.

Πρώτα μεταφέρουμε τα πάντα αριστερά και αναλύουμε όμοιους όρους: $2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0$, δηλαδή $x^2 + 3x - 5 = 0$. Μόνο από εδώ $a = 1$, $b = 3$, $c = -5$. Ο τύπος των ριζών λειτουργεί αποκλειστικά με την τυπική μορφή.
Απώλεια προσήμου κατά την ύψωση του $b$ στο τετράγωνο: για την $x^2 - 9x + 14 = 0$ γράφουν $D = -81 - 56$.

Το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού είναι μη αρνητικό: $(-9)^2 = 81$, όχι $-81$. Σωστά $D = 81 - 56 = 25$, ρίζες $x = \dfrac{9 \pm 5}{2}$, δηλαδή 7 και 2. Έλεγχος: $49 - 63 + 14 = 0$ και $4 - 18 + 14 = 0$.
Στον αριθμητή αφήνουν $b$ αντί για $-b$: για την $x^2 + 5x - 6 = 0$ υπολογίζουν $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.

Ο τύπος έχει $-b$, άρα για $b = 5$ στον αριθμητή θα είναι $-5$: $x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}$, από όπου $x_1 = 1$, $x_2 = -6$. Η αντικατάσταση επιβεβαιώνει: $1 + 5 - 6 = 0$ και $36 - 30 - 6 = 0$.
Όταν $D = 0$ γράφουν «δεν υπάρχουν ρίζες»: για την $x^2 + 14x + 49 = 0$ η διακρίνουσα είναι μηδενική, και η λύση διακόπτεται.

Δεν υπάρχουν ρίζες μόνο όταν $D < 0$. Όταν $D = 0$ η ρίζα είναι ακριβώς μία: $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7$. Έλεγχος: $49 - 98 + 49 = 0$.
Απλοποίηση της εξίσωσης $4x^2 - 9x = 0$ με $x$ και λήψη μοναδικής ρίζας $x = 2{,}25$.

Δεν επιτρέπεται η διαίρεση με παράσταση που περιέχει άγνωστο: το $x$ μπορεί να είναι μηδέν, και η ρίζα $x = 0$ χάνεται. Σωστά εξάγουμε τον παράγοντα: $x(4x - 9) = 0$, από όπου $x_1 = 0$ και $x_2 = 2{,}25$. Έλεγχος: $4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0$.
Στην εξίσωση $x^2 = 16$ γράφουν μόνο $x = 4$.

Το τετράγωνο ισούται με 16 και για τον αριθμό $-4$. Πρέπει να γραφτούν και οι δύο ρίζες: $x = \pm 4$. Πιο αξιόπιστο είναι να λυθεί μέσω της τυπικής μορφής $x^2 - 16 = 0$, δηλαδή $(x - 4)(x + 4) = 0$ — τότε και οι δύο παράγοντες είναι άμεσα ορατοί.
Δεν ελέγχουν τη συνθήκη $a \neq 0$ σε εξίσωση με παράμετρο: στην $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ υπολογίζουν αμέσως τη διακρίνουσα.

Όταν $m = 2$, ο κύριος συντελεστής μηδενίζεται, και η εξίσωση γίνεται γραμμική $3x - 1 = 0$ με μοναδική ρίζα $x = \dfrac{1}{3}$. Η περίπτωση $m = 2$ εξετάζεται ξεχωριστά, και ο τύπος των ριζών εφαρμόζεται μόνο όταν $m \neq 2$.

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Τι είναι η τετραγωνική εξίσωση;

Είναι μια εξίσωση της μορφής $ax^2 + bx + c = 0$, όπου $a$, $b$, $c$ είναι αριθμοί και $a \neq 0$. Η άγνωστη μεταβλητή εμφανίζεται στη δεύτερη δύναμη, γι' αυτό οι ρίζες μπορεί να είναι δύο, μία ή καμία.

Πώς φαίνεται η τυπική μορφή της τετραγωνικής εξίσωσης;

Η τυπική (γενική) μορφή είναι $ax^2 + bx + c = 0$: όλοι οι όροι συγκεντρώνονται αριστερά κατά φθίνουσα δύναμη, και δεξιά είναι το μηδέν. Σε αυτήν μετατρέπεται κάθε τετραγωνική εξίσωση πριν τον υπολογισμό της διακρίνουσας.

Πώς βρίσκουμε τη διακρίνουσα;

Με τον τύπο $D = b^2 - 4ac$, αντικαθιστώντας τους συντελεστές μαζί με τα πρόσημά τους. Για παράδειγμα, για την $x^2 + 3x - 10 = 0$ παίρνουμε $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$, και οι ρίζες είναι $\dfrac{-3 \pm 7}{2}$, δηλαδή 2 και $-5$.

Ποιος είναι ο τύπος των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης;

$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, ή πιο σύντομα $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Εφαρμόζεται όταν $D \ge 0$; στον παρονομαστή είναι ακριβώς $2a$, όχι 2.

Πόσες ρίζες μπορεί να έχει μια τετραγωνική εξίσωση;

Το πολύ δύο. Όταν $D > 0$ υπάρχουν δύο ρίζες, όταν $D = 0$ — μία (διπλή), όταν $D < 0$ δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.

Τι είναι η ελλιπής τετραγωνική εξίσωση;

Είναι μια εξίσωση όπου $b = 0$, $c = 0$ ή και οι δύο ταυτόχρονα: $ax^2 + c = 0$, $ax^2 + bx = 0$, $ax^2 = 0$. Και οι τρεις λύνονται χωρίς διακρίνουσα — με μεταφορά όρου ή εξαγωγή του $x$ ως κοινού παράγοντα.

Πώς λύνονται τετραγωνικές εξισώσεις χωρίς διακρίνουσα;

Υπάρχουν τρεις τρόποι: εύρεση ριζών με το θεώρημα Vieta για την κανονικοποιημένη εξίσωση, παραγοντοποίηση και συμπλήρωση τετραγώνου. Ο πιο γρήγορος είναι η εύρεση όταν οι ρίζες είναι μικροί ακέραιοι αριθμοί.

Τι να κάνω αν η διακρίνουσα είναι αρνητική;

Να γράψετε ότι δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες και να ολοκληρώσετε τη λύση. Η αρνητική διακρίνουσα είναι μια κανονική απάντηση: η γραφική παράσταση της αντίστοιχης παραβολής δεν τέμνει τον άξονα $x$. Ρίζες σε τέτοια περίπτωση υπάρχουν μόνο στους μιγαδικούς αριθμούς, τους οποίους μελετούν αργότερα.

Πώς ελέγχονται οι ρίζες που βρέθηκαν;

Αντικαταστήστε κάθε ρίζα στην αρχική εξίσωση — πρέπει να προκύψει μια αληθής ισότητα. Για την κανονικοποιημένη εξίσωση υπάρχει και γρήγορος έλεγχος με το θεώρημα Vieta: το άθροισμα των ριζών ισούται με $-p$, το γινόμενο ισούται με $q$.

Τετραγωνική και κβαντική εξίσωση — είναι το ίδιο πράγμα;

Ναι, είναι δύο ονομασίες για το ίδιο αντικείμενο $ax^2 + bx + c = 0$. Μην το συγχέετε με την τετραγωνική συνάρτηση $y = ax^2 + bx + c$: οι ρίζες της εξίσωσης είναι ακριβώς οι τετμημένες των σημείων όπου η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα $x$.

Σε ποια τάξη διδάσκονται οι τετραγωνικές εξισώσεις;

Στην 8η τάξη της Άλγεβρας: πρώτα οι ελλιπείς εξισώσεις, μετά η διακρίνουσα, ο τύπος των ριζών και το θεώρημα Vieta. Στη συνέχεια, το θέμα εμφανίζεται στην τετραγωνική συνάρτηση, τις ανισώσεις, και στα προβλήματα των εξετάσεων OGE και ЕГЭ.