Οι κανόνες διαιρετότητας είναι κανόνες που μας επιτρέπουν να μάθουμε αν ένας αριθμός διαιρείται ακέραια, χωρίς να εκτελέσουμε τη διαίρεση: αρκεί να κοιτάξουμε τα τελευταία ψηφία ή να προσθέσουμε όλα τα ψηφία του αριθμού. Σε αυτή τη σελίδα, θα βρείτε έναν πίνακα κανόνων διαιρετότητας με 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 και 25, μια σαφή ανάλυση των κανόνων για το 3 και το 9 μέσω του αθροίσματος των ψηφίων, παραδείγματα με λύσεις, συχνά λάθη και έναν διαδραστικό εξασκητή, όπου μπορείτε να ελέγξετε τον εαυτό σας αμέσως.
Τι είναι ο κανόνας διαιρετότητας
Κανόνας διαιρετότητας είναι ένας κανόνας, με τον οποίο μπορούμε να μάθουμε αν ένας αριθμός διαιρείται ακέραια με έναν άλλο αριθμό, χωρίς να εκτελέσουμε την ίδια τη διαίρεση. Αρκεί να κοιτάξουμε τα τελευταία ψηφία ή να προσθέσουμε όλα τα ψηφία του αριθμού.
Οι κανόνες διαιρετότητας είναι χρήσιμοι παντού όπου χρειάζεται να κατανοήσουμε γρήγορα τη «δομή» ενός αριθμού:
- κατά τη μείωση κλασμάτων — είναι άμεσα εμφανές με τι μπορούμε να απλοποιήσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή.
- κατά την ανάλυση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες.
- κατά την εύρεση του κοινού διαιρέτη και του κοινού πολλαπλάσιου.
- κατά τον γρήγορο έλεγχο της απάντησης σε ασκήσεις και προβλήματα.
Είναι σημαντικό να μην συγχέουμε δύο διαφορετικές ερωτήσεις. «Διαιρείται το 3726 με το 9;» — σε αυτό απαντά ο κανόνας διαιρετότητας: το άθροισμα των ψηφίων 3 + 7 + 2 + 6 = 18 διαιρείται με το 9, άρα ναι. Και «πόσο θα βγει;» — αυτή είναι ήδη η ίδια η διαίρεση: 3726 : 9 = 414. Ο κανόνας δίνει μόνο την απάντηση «ναι» ή «όχι», αλλά άμεσα και νοερά.
Πίνακας κανόνων διαιρετότητας
Όλοι οι σχολικοί κανόνες διαιρετότητας είναι βολικό να τους έχουμε μπροστά στα μάτια μας σε έναν πίνακα. Το χρώμα υποδεικνύει πού να κοιτάξουμε: στο τελευταίο ψηφίο, στο άθροισμα των ψηφίων, στην «ουρά» των δύο-τριών τελευταίων ψηφίων ή απευθείας σε δύο κανόνες.
| Με τι | Κανόνας διαιρετότητας | Παράδειγμα |
|---|---|---|
| 2 | το τελευταίο ψηφίο είναι 0, 2, 4, 6 ή 8 | 3726 → 6 |
| 3 | το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με το 3 | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | τα δύο τελευταία ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 4 | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | το τελευταίο ψηφίο είναι 0 ή 5 | 1435 → 5 |
| 6 | διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 3 | 5124 → 4 και 12 |
| 8 | τα τρία τελευταία ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8 | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με το 9 | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | το τελευταίο ψηφίο είναι 0 | 2340 → 0 |
| 11 | τα ψηφία από το τέλος εναλλάξ με + και −· το άθροισμα διαιρείται με το 11 | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | τα δύο τελευταία ψηφία είναι 00, 25, 50 ή 75 | 1875 → 75 |
Κανόνες διαιρετότητας με 2, 5 και 10
Η πιο απλή ομάδα: κοιτάμε μόνο το τελευταίο ψηφίο, τα υπόλοιπα δεν έχουν σημασία.
- με το 2 διαιρούνται όλοι οι άρτιοι αριθμοί — αυτοί που τελειώνουν σε 0, 2, 4, 6 ή 8.
- με το 5 — αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 5.
- με το 10 — αριθμοί που τελειώνουν σε 0.
Το μήκος του αριθμού δεν παίζει ρόλο: το 987 654 320 διαιρείται και με 2, και με 5, και με 10, επειδή τελειώνει σε μηδέν. Ενώ το 1435 διαιρείται με το 5 (τελευταίο ψηφίο 5), αλλά δεν διαιρείται ούτε με 2, ούτε με 10 — ο αριθμός είναι περιττός.
Από εδώ προκύπτει ένα χρήσιμο συμπέρασμα: με το 10 διαιρούνται ακριβώς οι αριθμοί που διαιρούνται και με το 2, και με το 5 ταυτόχρονα.
Κανόνες διαιρετότητας με 3 και 9: άθροισμα ψηφίων
Εδώ το τελευταίο ψηφίο δεν έχει σημασία — λειτουργεί το άθροισμα όλων των ψηφίων του αριθμού:
- ένας αριθμός διαιρείται με το 3, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3.
- ένας αριθμός διαιρείται με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.
Αν το άθροισμα είναι μεγάλο, ο κανόνας μπορεί να εφαρμοστεί ξανά: στον αριθμό 899 991 το άθροισμα των ψηφίων είναι 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, και στο 45 το άθροισμα είναι 4 + 5 = 9 — άρα, ο αρχικός αριθμός διαιρείται και με 9, και με 3.
Οι κανόνες είναι παρόμοιοι, αλλά δεν αντικαθιστούν ο ένας τον άλλον. Κάθε αριθμός που διαιρείται με το 9, διαιρείται και με το 3 — αφού το ίδιο το 9 διαιρείται με το 3. Το αντίστροφο δεν ισχύει: το άθροισμα των ψηφίων μπορεί να διαιρείται με το 3 και ταυτόχρονα να μην διαιρείται με το 9, και τότε ο αριθμός ικανοποιεί μόνο έναν από τους δύο κανόνες. Και οι δύο περιπτώσεις αναλύονται παρακάτω.
Κανόνες διαιρετότητας με 4, 8 και 25: κοιτάμε την «ουρά» του αριθμού
Ένα μόνο τελευταίο ψηφίο δεν αρκεί — χρειάζεται μια «ουρά» από μερικά τελευταία ψηφία:
- με το 4 διαιρείται ένας αριθμός, του οποίου τα δύο τελευταία ψηφία σχηματίζουν έναν αριθμό που διαιρείται με το 4.
- με το 8 — αν τα τρία τελευταία ψηφία σχηματίζουν έναν αριθμό που διαιρείται με το 8.
- με το 25 — αν τα δύο τελευταία ψηφία σχηματίζουν 00, 25, 50 ή 75.
Γιατί αρκεί η ουρά: το 100 διαιρείται και με 4, και με 25, ενώ το 1000 διαιρείται με το 8. Επομένως, ό,τι βρίσκεται αριστερά διαιρείται ήδη με τον απαιτούμενο αριθμό και δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.
Από εδώ προκύπτει ένα σημαντικό συμπέρασμα: η αρτιότητα δεν αρκεί για το 4 και το 8. Ένας αριθμός μπορεί να είναι άρτιος, αλλά αν η ουρά του από δύο ή τρία ψηφία δεν διαιρείται ακέραια, τότε ούτε ολόκληρος ο αριθμός διαιρείται. Η ανάλυση των ουρών γίνεται στην παρακάτω ενότητα.
Κανόνας διαιρετότητας με 6
Το 6 δεν έχει δικό του ξεχωριστό κανόνα: 6 = 2 · 3, και οι παράγοντες είναι πρώτοι μεταξύ τους. Επομένως, ο κανόνας είναι σύνθετος — ένας αριθμός διαιρείται με το 6, αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 3.
Ας ελέγξουμε το 5124: το τελευταίο ψηφίο είναι 4 — ο αριθμός είναι άρτιος, άρα διαιρείται με το 2· το άθροισμα των ψηφίων 5 + 1 + 2 + 4 = 12 διαιρείται με το 3. Και οι δύο συνθήκες ικανοποιούνται → 5124 : 6 = 854.
Η αρτιότητα από μόνη της δεν αρκεί: το 1000 είναι άρτιος, αλλά το άθροισμα των ψηφίων του είναι 1 και δεν διαιρείται με το 3, επομένως ο αριθμός δεν διαιρείται με το 6. Ούτε η αντίστροφη μισή συνθήκη λειτουργεί: στο 4521 το άθροισμα των ψηφίων 12 διαιρείται με το 3, αλλά ο ίδιος ο αριθμός είναι περιττός — δεν διαιρείται ούτε με το 6.
Με τον ίδιο τρόπο συνδυάζονται άλλοι σύνθετοι κανόνες: με το 12 — διαιρείται με 3 και 4, με το 15 — με 3 και 5, με το 18 — με 2 και 9, με το 45 — με 5 και 9.
Κανόνας διαιρετότητας με 11
Ο κανόνας διαιρετότητας με το 11 χρησιμοποιεί το εναλλασσόμενο άθροισμα ψηφίων. Τα ψηφία προστίθενται, ξεκινώντας από το τελευταίο, αλλάζοντας εναλλάξ το πρόσημο: συν, πλην, συν, πλην. Αν το αποτέλεσμα διαιρείται με το 11 (συμπεριλαμβανομένου του μηδενός), τότε και ολόκληρος ο αριθμός διαιρείται με το 11.
Ο ίδιος κανόνας συχνά διατυπώνεται διαφορετικά: η διαφορά μεταξύ του αθροίσματος των ψηφίων στις περιττές θέσεις και του αθροίσματος των ψηφίων στις άρτιες θέσεις πρέπει να διαιρείται με το 11. Πρόκειται για τον ίδιο κανόνα.
Παραδείγματα κανόνων διαιρετότητας
Παράδειγμα 1. Με ποιους αριθμούς διαιρείται το 7254
Άσκηση. Προσδιορίστε με ποιους από τους αριθμούς 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 διαιρείται το 7254.
Βήμα 1. Με το 2. Το τελευταίο ψηφίο είναι 4 — άρτιος. Διαιρείται: 7254 : 2 = 3627.
Βήμα 2. Με το 5 και το 10. Ο αριθμός τελειώνει σε 4, όχι σε 0 ή 5. Δεν διαιρείται ούτε με 5, ούτε με 10.
Βήμα 3. Με το 3 και το 9. Άθροισμα ψηφίων: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. Διαιρείται και με 3, και με 9. Άρα, 7254 : 3 = 2418 και 7254 : 9 = 806.
Βήμα 4. Με το 6. Ο αριθμός διαιρείται και με 2, και με 3 — άρα, διαιρείται με 6: 7254 : 6 = 1209.
Βήμα 5. Με το 4. Τα δύο τελευταία ψηφία δίνουν 54, και το 54 δεν διαιρείται με το 4. Δεν διαιρείται.
Απάντηση. Το 7254 διαιρείται με 2, 3, 6 και 9.
Παράδειγμα 2. Διαιρείται το 4715 με το 3 και το 9;
Άσκηση. Ελέγξτε τη διαιρετότητα του αριθμού 4715 με το 3 και το 9.
Βήμα 1. Προσθέτουμε τα ψηφία: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
Βήμα 2. Με το 3. Το 17 δεν διαιρείται με το 3 (τα πλησιέστερα πολλαπλάσια είναι 15 και 18). Άρα, ούτε το 4715 διαιρείται με το 3.
Βήμα 3. Με το 9. Το 17 δεν διαιρείται ούτε με το 9. Άρα, ούτε το 4715 διαιρείται με το 9.
Τι μπορεί να κάνει ο αριθμός, παρόλα αυτά. Το τελευταίο ψηφίο είναι 5 → ο αριθμός διαιρείται με το 5: 4715 : 5 = 943. Δεν διαιρείται με 2 και 10 — είναι περιττός.
Απάντηση. Ο αριθμός 4715 δεν διαιρείται ούτε με το 3, ούτε με το 9.
Παράδειγμα 3. Διαιρετότητα με 4 και 8: ο αριθμός 6248
Άσκηση. Ελέγξτε αν το 6248 διαιρείται με 4 και με 8.
Βήμα 1. Με το 4. Παίρνουμε τα δύο τελευταία ψηφία: 48. Ο αριθμός 48 διαιρείται με το 4 (48 : 4 = 12), άρα και το 6248 διαιρείται: 6248 : 4 = 1562.
Βήμα 2. Με το 8. Παίρνουμε τα τρία τελευταία ψηφία: 248. Διαιρούμε: 248 : 8 = 31 — διαιρείται. Άρα, 6248 : 8 = 781.
Προσοχή στην αντίστροφη λογική. Από τη διαιρετότητα με το 4 δεν προκύπτει η διαιρετότητα με το 8: στο 6244 η ουρά 44 διαιρείται με το 4 (6244 : 4 = 1561), αλλά τα τρία τελευταία ψηφία 244 δεν διαιρούνται με το 8 — ο αριθμός δεν διαιρείται με το 8.
Απάντηση. Το 6248 διαιρείται και με 4, και με 8.
Παράδειγμα 4. Κανόνας διαιρετότητας με 11: ο αριθμός 2926
Άσκηση. Ελέγξτε αν το 2926 διαιρείται με το 11.
Βήμα 1. Γράφουμε τα ψηφία και τοποθετούμε τα πρόσημα από το τέλος: το τελευταίο ψηφίο με συν, μετά εναλλάξ πλην και συν.
Βήμα 2. Υπολογίζουμε το εναλλασσόμενο άθροισμα: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
Βήμα 3. Το αποτέλεσμα 11 διαιρείται με το 11 → διαιρείται και ολόκληρος ο αριθμός.
Έλεγχος με διαίρεση. 2926 : 11 = 266.
Απάντηση. Το 2926 διαιρείται με το 11.
Παράδειγμα 5. Απλοποιούμε ένα κλάσμα με κανόνες διαιρετότητας
Άσκηση. Απλοποιήστε το κλάσμα 270/378.
Βήμα 1. Υπολογίζουμε τα αθροίσματα ψηφίων: 2 + 7 + 0 = 9 και 3 + 7 + 8 = 18. Και τα δύο διαιρούνται με το 9 → και ο αριθμητής, και ο παρονομαστής διαιρούνται με το 9.
Βήμα 2. Απλοποιούμε με το 9: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. Παίρνουμε 30/42.
Βήμα 3. Και οι δύο αριθμοί είναι άρτιοι → απλοποιούμε με το 2: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. Παίρνουμε 15/21.
Βήμα 4. Τα αθροίσματα ψηφίων 6 και 3 διαιρούνται με το 3 → απλοποιούμε με το 3.
Απάντηση. 270/378 = 5/7.
Συχνά λάθη στους κανόνες διαιρετότητας
-
Η διαιρετότητα με το 6 ελέγχεται μόνο με την αρτιότητα: αν ο αριθμός είναι άρτιος — άρα, διαιρείται με το 6.
Χρειάζονται και οι δύο συνθήκες ταυτόχρονα: και με το 2, και με το 3. Ο αριθμός 7124 είναι άρτιος, αλλά το άθροισμα των ψηφίων του 14 δεν διαιρείται με το 3, επομένως δεν διαιρείται με το 6. Και αντίστροφα: το 3471 ικανοποιεί τον κανόνα του 3 (άθροισμα 15, 3471 : 3 = 1157), αλλά είναι περιττός — δεν διαιρείται ούτε με το 6.
-
Για τη διαιρετότητα με το 4 κοιτάνε ένα μόνο τελευταίο ψηφίο: «το 8 διαιρείται με το 4, άρα και το 9138 θα είναι εντάξει».
Για το 4 παίρνουμε ΔΥΟ τελευταία ψηφία. Στο 9138 είναι 38, και το 38 δεν διαιρείται με το 4. Σωστό παράδειγμα: στο 9136 η ουρά 36, 36 : 4 = 9, άρα 9136 : 4 = 2284. Για το 8 η ουρά είναι ακόμη μεγαλύτερη — τρία ψηφία.
-
Ο κανόνας διαιρετότητας με το 9 ελέγχεται με το τελευταίο ψηφίο: ψάχνουν αριθμούς που τελειώνουν σε 9 ή 0.
Το τελευταίο ψηφίο για το 9 δεν σημαίνει τίποτα. Υπολογίζουν το άθροισμα όλων των ψηφίων: στο 4563 είναι 18, το άθροισμα διαιρείται με το 9 — και ο αριθμός διαιρείται (4563 : 9 = 507), παρόλο που τελειώνει σε 3.
-
Υπολογίζουν ότι αν ένας αριθμός διαιρείται με το 3, τότε διαιρείται και με το 9.
Λειτουργεί μόνο προς μία κατεύθυνση: διαιρείται με το 9 → διαιρείται και με το 3. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Στο 8241 το άθροισμα ψηφίων είναι 15: διαιρείται με το 3 (8241 : 3 = 2747), αλλά όχι με το 9.
-
Για τον κανόνα με το 11 απλώς προσθέτουν όλα τα ψηφία, όπως για το 3 και το 9.
Για το 11 το άθροισμα είναι εναλλασσόμενο: τα ψηφία προστίθενται από το τέλος, αλλάζοντας το πρόσημο κάθε δεύτερο. Για το 6479 είναι 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → διαιρείται (6479 : 11 = 589). Το συνηθισμένο άθροισμα ψηφίων εδώ είναι 26 και δεν λέει τίποτα.
-
Ο κανόνας διαιρετότητας συγχέεται με την ίδια τη διαίρεση: στην ερώτηση «διαιρείται το 5391 με το 9» απαντούν «ναι, 18».
Το 18 είναι το άθροισμα των ψηφίων, ένα ενδιάμεσο αποτέλεσμα του κανόνα. Το πηλίκο υπολογίζεται ξεχωριστά: 5391 : 9 = 599. Ο κανόνας απαντά μόνο «διαιρείται / δεν διαιρείται».
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Τι είναι ο κανόνας διαιρετότητας με απλά λόγια;
Είναι ένας κανόνας που μας επιτρέπει να μάθουμε αν ένας αριθμός θα διαιρεθεί ακέραια, χωρίς να εκτελέσουμε την ίδια τη διαίρεση. Συνήθως αρκεί να κοιτάξουμε τα τελευταία ψηφία του αριθμού ή να προσθέσουμε όλα τα ψηφία του.
Πώς να μάθεις αν ένας αριθμός διαιρείται με το 3;
Πρόσθεσε όλα τα ψηφία του αριθμού. Αν το άθροισμα που προκύπτει διαιρείται με το 3, τότε και ο ίδιος ο αριθμός διαιρείται με το 3. Για παράδειγμα, στο 2571 το άθροισμα ψηφίων είναι 2 + 5 + 7 + 1 = 15, και το 15 διαιρείται με το 3 → 2571 : 3 = 857.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ του κανόνα διαιρετότητας με το 3 και του κανόνα με το 9;
Ο κανόνας είναι ο ίδιος — υπολογίζουμε το άθροισμα των ψηφίων, αλλά το ελέγχουμε για διαφορετικούς αριθμούς: για το τρία το άθροισμα πρέπει να διαιρείται με το 3, για το εννέα — με το 9. Επομένως, κάθε αριθμός που διαιρείται με το 9, διαιρείται και με το 3, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα: στο 9420 το άθροισμα ψηφίων 15 διαιρείται με το 3 (9420 : 3 = 3140), αλλά όχι με το 9.
Τι να κάνεις αν το άθροισμα των ψηφίων είναι μεγάλο;
Εφάρμοσε τον κανόνα ξανά — αυτή τη φορά στο άθροισμα. Στον αριθμό 777 771 το άθροισμα ψηφίων είναι 36, στο 36 το άθροισμα είναι 3 + 6 = 9. Το 9 διαιρείται με το 9, άρα και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 9 (και ταυτόχρονα με το 3): 777 771 : 9 = 86 419.
Υπάρχει κανόνας διαιρετότητας με το 7;
Δεν υπάρχει απλός κανόνας όπως το άθροισμα ψηφίων για το επτά, και δεν περιλαμβάνεται στον σχολικό πίνακα κανόνων. Υπάρχει μια μέθοδος: αφαιρέστε το τελευταίο ψηφίο, διπλασιάστε το και αφαιρέστε το από τον υπόλοιπο αριθμό. Για παράδειγμα, για το 343: αφαιρούμε το 3, διπλασιάζουμε — 6, υπολογίζουμε 34 − 6 = 28. Ο αριθμός 28 διαιρείται με το 7, άρα και το 343 διαιρείται: 343 : 7 = 49.
Ποιοι είναι οι κανόνες διαιρετότητας με 12, 15 και 45;
Είναι σύνθετοι — ο αριθμός πρέπει να ικανοποιεί ταυτόχρονα δύο κανόνες: με το 12 — να διαιρείται με 3 και 4, με το 15 — με 3 και 5, με το 45 — με 5 και 9. Είναι σημαντικό οι παράγοντες να είναι πρώτοι μεταξύ τους: η ανάλυση 12 = 2 · 6 δεν είναι κατάλληλη, καθώς το 18 διαιρείται και με 2, και με 6, αλλά όχι με 12.
Σε ποια τάξη διδάσκονται οι κανόνες διαιρετότητας;
Στην 6η δημοτικού στα μαθήματα μαθηματικών: πρώτα οι κανόνες με 10, 5 και 2, μετά με 3 και 9. Οι κανόνες με 4, 8, 11 και 25 συνήθως αναλύονται επιπλέον — θα είναι χρήσιμοι κατά την απλοποίηση κλασμάτων και σε διαγωνισμούς.
