Αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία, στην οποία κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο κατά έναν σταθερό αριθμό \(d\) (τη διαφορά της προόδου). Ο οποιοσδήποτε όρος της βρίσκεται με τον τύπο \(a_n = a_1 + (n-1)d\), και το άθροισμα των πρώτων \(n\) όρων με τον τύπο \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). Σε αυτή τη σελίδα αναλύονται ο ορισμός και η διαφορά, και οι δύο τύποι αθροίσματος, η χαρακτηριστική ιδιότητα, ο έλεγχος αν ένας αριθμός ανήκει στην πρόοδο, η διάκριση από τη γεωμετρική πρόοδο, τυπικές ασκήσεις ΟΓΕ και ένας διαδραστικός προπονητής για αυτοέλεγχο.
Τι είναι η αριθμητική πρόοδος
Αριθμητική πρόοδος είναι μια αριθμητική ακολουθία, στην οποία κάθε επόμενος όρος προκύπτει από τον προηγούμενο με την πρόσθεση ενός σταθερού αριθμού. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται διαφορά της προόδου και συμβολίζεται με το γράμμα \(d\).
Ορισμός με έναν τύπο: η ακολουθία \(a_1, a_2, a_3, \dots\) ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, αν για οποιονδήποτε δείκτη \(n\) ισχύει η ισότητα
Ας πάρουμε την ακολουθία 3, 7, 11, 15, 19, … Ο πρώτος όρος εδώ είναι \(a_1 = 3\), και η διαφορά \(d = 4\): κάθε επόμενος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο ακριβώς κατά 4. Επομένως, ο επόμενος όρος είναι 23, και πριν από το τρία (αν συνεχίσουμε προς τα πίσω) θα βρισκόταν η μονάδα με αρνητικό πρόσημο.
Ολόκληρη η πρόοδος καθορίζεται από δύο μόνο αριθμούς — τον πρώτο όρο \(a_1\) και τη διαφορά \(d\). Γνωρίζοντας αυτό το ζεύγος, μπορούμε να ονομάσουμε οποιονδήποτε όρο, να υπολογίσουμε το άθροισμα όσων πρώτων όρων θέλουμε και να ελέγξουμε αν ένας δοσμένος αριθμός εμφανίζεται στην ακολουθία. Η πρόοδος συμβολίζεται με το σύμβολο \((a_n)\), και οι όροι της με \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) και ούτω καθεξής, όπου ο κάτω δείκτης πάντα σημαίνει τον αριθμό, όχι την τιμή.
Διαφορά αριθμητικής προόδου: πώς να βρεις το d
Η διαφορά είναι πάντα ο επόμενος όρος μείον τον προηγούμενο:
Η σειρά της αφαίρεσης είναι σημαντική: αν αφαιρέσεις ανάποδα, το πρόσημο της διαφοράς θα είναι αντίθετο. Για την ακολουθία 20, 17, 14, 11, 8 η διαφορά είναι \(17 - 20 = -3\), όχι \(+3\).
Το πρόσημο του \(d\) καθορίζει πλήρως τη συμπεριφορά της προόδου:
- \(d > 0\) — η πρόοδος αυξάνεται, οι όροι μεγαλώνουν;
- \(d < 0\) — η πρόοδος μειώνεται, οι όροι μικραίνουν;
- \(d = 0\) — όλοι οι όροι είναι ίδιοι, π.χ. 6, 6, 6, 6, … Αυτή είναι επίσης αριθμητική πρόοδος, απλώς σταθερή.
Αν είναι γνωστοί δύο όροι με διαφορετικούς δείκτες, η διαφορά βρίσκεται με τον τύπο
Παράδειγμα. Έστω \(a_4 = 30\) και \(a_{10} = 6\). Τότε \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), και ο πρώτος όρος είναι \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Ας ελέγξουμε την αρχή της προόδου: 42, 38, 34, 30 — ο τέταρτος όρος είναι όντως 30.
Η διαφορά δεν είναι απαραίτητο να είναι ακέραιος: για την ακολουθία 1; 1,5; 2; 2,5 η διαφορά είναι 0,5, και αυτή είναι μια πλήρης αριθμητική πρόοδος.
Τύπος ν-οστού όρου αριθμητικής προόδου
Ο κύριος τύπος του θέματος επιτρέπει να βρεις οποιονδήποτε όρο, χωρίς να γράψεις όλους τους προηγούμενους:
Από πού προκύπτει το \(n - 1\); Για να φτάσεις από τον πρώτο όρο στον \(n\)-οστό, η διαφορά προστίθεται όχι \(n\) φορές, αλλά μία φορά λιγότερο: μέχρι τον δεύτερο όρο — ένα βήμα, μέχρι τον τρίτο — δύο, μέχρι τον εικοστό — δεκαεννέα.
Παράδειγμα. Για την πρόοδο 3, 7, 11, 15, 19, … έχουμε \(a_1 = 3\) και \(d = 4\), επομένως
Μια τέτοια συμπτυγμένη μορφή είναι πολύ βολική: φαίνεται αμέσως ότι \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), και \(a_{100} = 399\). Επίσης, υποδεικνύει τη διαφορά: σε οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδο ο τύπος του \(n\)-οστού όρου είναι γραμμικός, της μορφής \(a_n = dn + c\), και ο συντελεστής μπροστά από το \(n\) είναι η διαφορά.
Μερικές φορές ο πρώτος όρος είναι άγνωστος, αλλά δίνεται κάποιος άλλος. Τότε λειτουργεί η ίδια ιδέα στη γενική μορφή: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Χαρακτηριστική ιδιότητα αριθμητικής προόδου
Οποιοσδήποτε όρος της προόδου, εκτός από τον πρώτο, ισούται με τον αριθμητικό μέσο των γειτόνων του:
Ακριβώς γι' αυτό η πρόοδος ονομάζεται αριθμητική. Αυτή η ισότητα ισχύει και αντίστροφα: αν σε μια ακολουθία κάθε μέσος όρος ισούται με το μισό του αθροίσματος των γειτόνων του, τότε η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. Μια τέτοια δήλωση ονομάζεται κριτήριο αριθμητικής προόδου, και σε ασκήσεις χρησιμοποιείται για να αποδειχθεί ότι τρεις αριθμοί σχηματίζουν πρόοδο.
Παράδειγμα. Οι αριθμοί 7, \(x\), 23 είναι τρεις διαδοχικοί όροι μιας προόδου. Τότε \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Έλεγχος: 7, 15, 23 — οι διαφορές είναι 8 και 8, όλα ταιριάζουν.
Μια βολική μορφή γραφής της ίδιας ιδιότητας: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), δηλαδή ο διπλάσιος μέσος όρος ισούται με το άθροισμα των άκρων. Με αυτή τη μορφή η ιδιότητα εφαρμόζεται ευκολότερα, όταν οι όροι δίνονται με αλγεβρικές παραστάσεις.
Άθροισμα των πρώτων n όρων αριθμητικής προόδου
Το άθροισμα \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) υπολογίζεται με έναν από τους δύο τύπους:
Η ιδέα του πρώτου τύπου είναι αυτή που, σύμφωνα με τον θρύλο, βρήκε ο μαθητής Gauss, αθροίζοντας τους αριθμούς από το 1 έως το 100. Αν αθροίσουμε τον πρώτο όρο με τον τελευταίο, τον δεύτερο με τον προτελευταίο και ούτω καθεξής, όλα τα ζεύγη θα δώσουν ένα σταθερό άθροισμα. Από εδώ \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Ο δεύτερος τύπος προκύπτει από τον πρώτο με αντικατάσταση του \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — χρειάζεται όταν ο τελευταίος όρος δεν δίνεται και δεν θέλουμε να τον υπολογίσουμε ξεχωριστά.
Παράδειγμα. Ας βρούμε το άθροισμα των πρώτων είκοσι όρων της προόδου 3, 7, 11, 15, 19, …
Με τον πρώτο τύπο: \(a_{20} = 79\), επομένως \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Με τον δεύτερο: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Τα αποτελέσματα ταυτίστηκαν — αυτό είναι ο καλύτερος έλεγχος των υπολογισμών.
Πώς να μάθεις αν ένας αριθμός ανήκει σε αριθμητική πρόοδο
Το ερώτημα «είναι ο αριθμός μέλος της προόδου» λύνεται με εξίσωση. Ένας αριθμός ανήκει στην πρόοδο τότε και μόνο τότε, όταν ο δείκτης του \(n\) προκύπτει φυσικός: 1, 2, 3 και ούτω καθεξής. Ένας κλασματικός ή μη θετικός \(n\) σημαίνει ότι τέτοιος όρος δεν υπάρχει.
Παράδειγμα 1. Ανήκει ο αριθμός 99 στην πρόοδο 3, 7, 11, 15, 19, …; Ο τύπος του \(n\)-οστού όρου εδώ είναι \(a_n = 4n - 1\), επομένως λύνουμε \(4n - 1 = 99\), από όπου \(4n = 100\) και \(n = 25\). Ο δείκτης είναι φυσικός — άρα, το 99 υπάρχει στην πρόοδο, είναι ο εικοστός πέμπτος όρος της.
Παράδειγμα 2. Και ο αριθμός 2026; Από το \(4n - 1 = 2026\) παίρνουμε \(4n = 2027\) και \(n = 506{,}75\). Ο δείκτης είναι κλασματικός, επομένως το 2026 δεν είναι όρος αυτής της προόδου.
Μια χρήσιμη υπόδειξη για γρήγορη εκτίμηση: σε μια πρόοδο με τύπο \(a_n = 4n - 1\), όλοι οι όροι όταν διαιρεθούν με το 4 δίνουν υπόλοιπο 3. Ο αριθμός 2026 δίνει υπόλοιπο 2, επομένως «αστοχεί» ως προς την πρόοδο.
Τυπικές ασκήσεις ΟΓΕ στην αριθμητική πρόοδο
Στις εξετάσεις ΟΓΕ στα μαθηματικά, οι πρόοδοι εμφανίζονται κάθε χρόνο, και σχεδόν όλες οι ασκήσεις ανάγονται σε τέσσερις θεματικές ενότητες.
Εύρεση όρου με βάση τον δείκτη. Δίνεται \(a_1\) και \(d\) (ή μερικοί πρώτοι όροι) — αντικαθιστούμε στον τύπο \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Εύρεση δείκτη με βάση την τιμή. Δίνεται ένας αριθμός — τον εξισώνουμε με τον τύπο του \(n\)-οστού όρου και λύνουμε την εξίσωση ως προς \(n\).
Εύρεση αθροίσματος. Υπολογίζουμε το \(S_n\) με έναν από τους δύο τύπους· αν λείπει το \(a_n\) — πρώτα το βρίσκουμε.
Εύρεση αριθμού όρων. Από τον τύπο του \(n\)-οστού όρου προκύπτει μια χρήσιμη συνέπεια: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Ξεχωριστά αξίζει η πρόβλημα κειμένου, όπου η πρόοδος είναι κρυμμένη στην ιστορία. Για παράδειγμα: την πρώτη μέρα ένας εργάτης κατασκεύασε 12 εξαρτήματα, και κάθε επόμενη μέρα — 3 εξαρτήματα περισσότερα από την προηγούμενη· πόσα εξαρτήματα θα κατασκευάσει σε 15 ημέρες; Εδώ \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Υπολογίζουμε τον τελευταίο όρο: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Τότε \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) εξαρτήματα.
Η κύρια συμβουλή για τέτοιες ασκήσεις: πρώτα γράψτε σε ξεχωριστή γραμμή τι δίνεται (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) και τι πρέπει να βρεθεί. Το μισό των λαθών στις εξετάσεις συμβαίνει όχι λόγω των τύπων, αλλά επειδή ο δείκτης συγχέεται με την τιμή του όρου.
Αριθμητική και γεωμετρική πρόοδος: ποια η διαφορά
Και οι δύο πρόοδοι είναι κανόνες, με τους οποίους από έναν όρο προκύπτει ο επόμενος. Η διαφορά βρίσκεται στη δράση: στην αριθμητική προσθέτουμε στον όρο έναν σταθερό αριθμό \(d\), στη γεωμετρική — πολλαπλασιάζουμε με έναν σταθερό αριθμό \(q\), ο οποίος ονομάζεται λόγος της προόδου.
Από εδώ και η διαφορετική συμπεριφορά. Η αριθμητική πρόοδος αυξάνεται ομοιόμορφα, «κατά σκαλοπάτια»: 3, 7, 11, 15 — κάθε βήμα προσθέτει 4. Η γεωμετρική αυξάνεται σαν χιονοστιβάδα: 3, 6, 12, 24 — κάθε βήμα διπλασιάζει τον αριθμό, και μετά από δέκα βήματα ο όρος θα είναι μεγαλύτερος από χίλια πεντακόσια.
Ο έλεγχος του τύπου της ακολουθίας είναι απλός: υπολογίστε τις διαφορές των διαδοχικών όρων και τις αναλογίες τους. Ίδιες διαφορές — αριθμητική πρόοδος, ίδιες αναλογίες — γεωμετρική πρόοδος. Αν δεν ταιριάζει ούτε το ένα ούτε το άλλο, έχετε απλώς μια ακολουθία: για παράδειγμα, 1, 4, 9, 16 — είναι τα τετράγωνα των φυσικών αριθμών, και δεν είναι πρόοδος (οι διαφορές 3, 5, 7 είναι διαφορετικές, οι αναλογίες επίσης).
Στο σχολικό πρόγραμμα και οι δύο θεματικές διδάσκονται διαδοχικά στην 9η τάξη, επομένως οι τύποι συγχέονται εύκολα. Κρατήστε στο μυαλό σας μια στήριξη: στην αριθμητική η διαφορά \(d\) αφαιρείται, στη γεωμετρική ο λόγος \(q\) διαιρείται. Όλα τα άλλα είναι συνέπειες.
Παραδείγματα επίλυσης ασκήσεων στην αριθμητική πρόοδο
Παράδειγμα 1. Εύρεση πρώτου όρου και διαφοράς με βάση δύο όρους
Δεδομένα. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Βρες \(a_1\), \(d\) και \(a_{20}\).
Βήμα 1. Από τον τρίτο όρο μέχρι τον έβδομο υπάρχουν ακριβώς \(7 - 3 = 4\) βήματα, σε κάθε ένα από τα οποία προστίθεται \(d\). Άρα \(a_7 = a_3 + 4d\), δηλαδή \(30 = 14 + 4d\), από όπου \(4d = 16\) και \(d = 4\).
Βήμα 2. Επιστρέφουμε προς τα πίσω στον πρώτο όρο: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Βήμα 3. Γράφουμε τον τύπο του \(n\)-οστού όρου: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Βήμα 4. Υπολογίζουμε τον ζητούμενο όρο: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Έλεγχος. Ας γράψουμε την αρχή της προόδου: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Ο τρίτος όρος είναι 14, ο έβδομος 30 — ταιριάζει.
Απάντηση: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Παράδειγμα 2. Άθροισμα των πρώτων 30 όρων (και οι δύο τύποι)
Δεδομένα. Πρόοδος \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Βρες \(S_{30}\).
Βήμα 1. Προσδιορίζουμε τις παραμέτρους: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Βήμα 2. Βρίσκουμε τον τριακοστό όρο: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Βήμα 3. Υπολογίζουμε με τον πρώτο τύπο: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Βήμα 4. Έλεγχος με τον δεύτερο τύπο. Πρώτα ο αριθμητής: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Συνεχίζουμε όπως στο τρίτο βήμα: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Και οι δύο δρόμοι έδωσαν 1155 — άρα, η αριθμητική είναι σωστή.
Απάντηση: \(S_{30} = 1155\).
Παράδειγμα 3. Άθροισμα όλων των διψήφιων αριθμών που είναι πολλαπλάσια του 7
Άσκηση. Βρες το άθροισμα όλων των διψήφιων αριθμών που διαιρούνται με το 7.
Βήμα 1. Αυτοί οι αριθμοί σχηματίζουν από μόνοι τους αριθμητική πρόοδο με διαφορά 7. Ο μικρότερος διψήφιος πολλαπλάσιος του επτά είναι το 14, ο μεγαλύτερος — το 98 (ο επόμενος, 105, είναι ήδη τριψήφιος). Παίρνουμε \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Βήμα 2. Υπολογίζουμε τον αριθμό των όρων: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Βήμα 3. Υπολογίζουμε το άθροισμα: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Βήμα 4. Έλεγχος με τον δεύτερο τύπο. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Απάντηση: 728.
Παράδειγμα 4. Έλεγχος αν ένας αριθμός ανήκει στην πρόοδο
Άσκηση. Είναι ο αριθμός 145 όρος της προόδου \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\); Και ο αριθμός 142;
Βήμα 1. Παράμετροι της προόδου: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), επομένως \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Βήμα 2. Ελέγχουμε το 145: η εξίσωση \(5n + 2 = 145\) δίνει \(5n = 143\) και \(n = 28{,}6\). Ο δείκτης είναι κλασματικός, επομένως το 145 δεν ανήκει στην πρόοδο.
Βήμα 3. Ελέγχουμε το 142: \(5n + 2 = 142\), από όπου \(5n = 140\) και \(n = 28\). Ο δείκτης είναι φυσικός — ο αριθμός ανήκει.
Βήμα 4. Έλεγχος με αντικατάσταση. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Σωστό.
Απάντηση: Το 145 δεν ανήκει στην πρόοδο· το 142 ανήκει και είναι ο 28ος όρος της.
Παράδειγμα 5. Χαρακτηριστική ιδιότητα με αλγεβρικούς όρους
Άσκηση. Για ποια τιμή του \(x\) οι αριθμοί \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) είναι τρεις διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου;
Βήμα 1. Σύμφωνα με τη χαρακτηριστική ιδιότητα, ο διπλάσιος μέσος όρος ισούται με το άθροισμα των άκρων:
Βήμα 2. Ανοίγουμε τις παρενθέσεις: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Βήμα 3. Λύνουμε: \(2 + 4 = 5x - 4x\), δηλαδή \(x = 6\).
Βήμα 4. Έλεγχος. Αντικαθιστούμε \(x = 6\): ο πρώτος όρος \(6 - 3 = 3\), ο δεύτερος \(2\cdot 6 + 1 = 13\), ο τρίτος \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Διαφορές: \(13 - 3 = 10\) και \(23 - 13 = 10\) — ίδιες.
Απάντηση: \(x = 6\), η πρόοδος είναι 3, 13, 23 με διαφορά 10.
Παράδειγμα 6. Πόσοι αρνητικοί όροι υπάρχουν στην πρόοδο
Άσκηση. Πόσοι αρνητικοί όροι υπάρχουν στην πρόοδο \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Βήμα 1. Παράμετροι: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Ο τύπος του \(n\)-οστού όρου: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Βήμα 2. Γράφουμε την συνθήκη «ο όρος είναι αρνητικός»: \(3n - 24 < 0\), από όπου \(3n < 24\) και \(n < 8\).
Βήμα 3. Οι δείκτες είναι φυσικοί, επομένως ταιριάζουν οι \(n = 1, 2, \dots, 7\) — συνολικά επτά όροι.
Βήμα 4. Έλεγχος του ορίου. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — αρνητικός. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — το μηδέν δεν είναι αρνητικός αριθμός, επομένως ο όγδοος όρος δεν τον μετράμε πια. \(a_9 = 3\) — θετικός.
Απάντηση: επτά αρνητικοί όροι.
Συχνά λάθη σε ασκήσεις αριθμητικής προόδου
-
Στον τύπο του $n$-οστού όρου γράφουν $a_n = a_1 + nd$ αντί για $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Από τον πρώτο όρο μέχρι τον \(n\)-οστό γίνονται ένα βήμα λιγότερο από τον δείκτη. Για την πρόοδο \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) ο δέκατος όρος ισούται με \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), όχι 45. Γρήγορος έλεγχος του τύπου: αντικατάστησε \(n = 1\) — θα πρέπει να προκύψει ακριβώς \(a_1\).
-
Η διαφορά υπολογίζεται ανάποδα: $d = a_1 - a_2$, και το πρόσημο βγαίνει αντίθετο.
Η διαφορά είναι ο επόμενος όρος μείον τον προηγούμενο: \(d = a_2 - a_1\). Για την πρόοδο \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) ισχύει \(d = 34 - 40 = -6\). Το αρνητικό πρόσημο εδώ δεν είναι λάθος, αλλά ένδειξη φθίνουσας προόδου.
-
Στον τύπο του αθροίσματος ξεχνούν να διαιρέσουν με το 2 ή να πολλαπλασιάσουν με $n$: γράφουν $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Αθροίζονται ζεύγη «πρώτος με τελευταίο», τους είναι ακριβώς \(\dfrac{n}{2}\), επομένως η διαίρεση με το 2 είναι υποχρεωτική. Για την πρόοδο \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) έχουμε \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) και \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), όχι 670.
-
Κατά τον έλεγχο ένταξης ενός αριθμού παίρνουν $n = 0$ ή αρνητικό $n$ και παρόλα αυτά απαντούν «ανήκει».
Ο δείκτης του όρου είναι φυσικός αριθμός, η αρίθμηση ξεκινά από τη μονάδα. Για παράδειγμα, για την πρόοδο \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) η εξίσωση \(10 + 4(n-1) = 6\) δίνει \(n = 0\), άρα το 6 δεν ανήκει στην πρόοδο: αυτός ο αριθμός θα βρισκόταν πριν από τον πρώτο όρο.
-
Συγχέουν τι βρέθηκε: αντικαθιστούν την τιμή ενός όρου εκεί που χρειάζεται ο δείκτης του, και αντίστροφα.
\(a_n\) είναι η τιμή, \(n\) είναι ο αύξων αριθμός. Αν στην άσκηση ρωτούν «ποιος κατά σειρά όρος ισούται με 142», η απάντηση θα είναι 28, όχι 142. Μια χρήσιμη συνήθεια: γράψτε πριν τη λύση τη γραμμή «δεδομένα: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), ζητείται: \(n\)».
-
Θεωρούν ότι η πρόοδος πρέπει απαραίτητα να αυξάνεται και να αποτελείται από ακέραιους αριθμούς.
Η διαφορά μπορεί να είναι αρνητική (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), κλασματική (1; 1,5; 2; 2,5) και ακόμη και μηδενική (8, 8, 8, …). Και οι τρεις περιπτώσεις είναι νόμιμες αριθμητικές πρόοδοι, και όλοι οι τύποι για αυτές λειτουργούν χωρίς αλλαγές.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Τι είναι η αριθμητική πρόοδος με απλά λόγια;
Είναι μια ακολουθία αριθμών, στην οποία κάθε επόμενος αριθμός προκύπτει από τον προηγούμενο με την πρόσθεση ενός σταθερού αριθμού \(d\) — της διαφοράς της προόδου. Για παράδειγμα, 3, 7, 11, 15, 19, … — είναι μια πρόοδος με πρώτο όρο 3 και διαφορά 4.
Ποιος είναι ο τύπος του ν-οστού όρου της αριθμητικής προόδου;
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), όπου \(a_1\) είναι ο πρώτος όρος, \(d\) η διαφορά, \(n\) ο δείκτης. Αν είναι γνωστός όχι ο πρώτος, αλλά κάποιος άλλος όρος, ισχύει η γενική μορφή \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Πώς να βρεις τη διαφορά της αριθμητικής προόδου;
Αφαίρεσε από οποιονδήποτε όρο τον προηγούμενο: \(d = a_n - a_{n-1}\). Αν δίνονται δύο όροι με διαφορετικούς δείκτες, χρησιμοποίησε \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Για παράδειγμα, με \(a_5 = 23\) και \(a_9 = 43\) παίρνουμε \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), και ο πρώτος όρος είναι \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Πώς να βρεις τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου;
Από τον τύπο του \(n\)-οστού όρου: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Για παράδειγμα, αν \(a_{12} = 60\) και \(d = 4\), τότε \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Έλεγχος: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Πώς να βρεις το άθροισμα των πρώτων n όρων της αριθμητικής προόδου;
Με τον τύπο \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), αν είναι γνωστός ο τελευταίος όρος, ή με τον τύπο \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), αν είναι γνωστοί μόνο ο πρώτος όρος και η διαφορά. Και οι δύο δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, επομένως ο δεύτερος είναι χρήσιμος ως έλεγχος του πρώτου.
Πώς να βρεις τον αριθμό των όρων μιας αριθμητικής προόδου;
Από τον τύπο του \(n\)-οστού όρου: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Για παράδειγμα, στην πρόοδο \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) η διαφορά είναι 5, επομένως \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) όροι.
Σε τι διαφέρει η αριθμητική πρόοδος από τη γεωμετρική;
Στην αριθμητική προσθέτουμε τη διαφορά \(d\) σε κάθε όρο, ενώ στη γεωμετρική πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο με τον λόγο \(q\). Οι τύποι του \(n\)-οστού όρου: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) έναντι \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Για να προσδιορίσεις τον τύπο, υπολόγισε τις διαφορές των διαδοχικών όρων και τους λόγους τους: ίδιες διαφορές — αριθμητική, ίδιοι λόγοι — γεωμετρική.
Μπορεί η διαφορά να είναι αρνητική ή μηδέν;
Ναι. Με \(d < 0\) η πρόοδος μειώνεται (π.χ., 20, 17, 14, 11), με \(d = 0\) όλοι οι όροι είναι ίδιοι (6, 6, 6, …) — είναι σταθερή πρόοδος. Η διαφορά μπορεί να είναι και κλασματική: 1; 1,5; 2; 2,5 — είναι επίσης αριθμητική πρόοδος.
Σε ποια τάξη διδάσκονται οι αριθμητικές πρόοδοι;
Στην 9η τάξη στα μαθήματα άλγεβρας, μαζί με τις γεωμετρικές προόδους και τις αριθμητικές ακολουθίες. Ασκήσεις στις προόδους περιλαμβάνονται στις εξετάσεις ΟΓΕ: συνήθως απαιτείται η εύρεση ενός όρου με βάση τον δείκτη, του δείκτη με βάση την τιμή, του αριθμού των όρων ή του αθροίσματος των πρώτων \(n\) όρων.
