Η σειρά των πράξεων είναι το σύνολο των κανόνων που σας δείχνει ποιο μέρος μιας μαθηματικής παράστασης πρέπει να υπολογίσετε πρώτο. Ο πιο συνηθισμένος τρόπος για να το θυμάστε είναι το PEMDAS: Parentheses (Παρενθέσεις), Exponents (Δυνάμεις), Multiplication (Πολλαπλασιασμός) και Division (Διαίρεση), Addition (Πρόσθεση) και Subtraction (Αφαίρεση). Ακολουθήστε αυτή τη σειρά και κάθε παράσταση θα έχει ακριβώς μία σωστή απάντηση. Σε αυτή τη σελίδα θα βρείτε τον κανόνα PEMDAS εξηγημένο βήμα προς βήμα, λυμένα παραδείγματα με παρενθέσεις και δυνάμεις, τα πιο συνηθισμένα λάθη των μαθητών και ένα διαδραστικό κουίζ για άμεση εξάσκηση.
Τι σημαίνει το PEMDAS: η σειρά των πράξεων
Το PEMDAS είναι ένα μνημονικό βοήθημα για τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι πράξεις. Πολλοί μαθητές το θυμούνται με τη φράση "Please Excuse My Dear Aunt Sally." Προχωρήστε στη σκάλα από πάνω προς τα κάτω:
- P — Parentheses (Παρενθέσεις). Κάντε πρώτα ό,τι βρίσκεται μέσα σε σύμβολα ομαδοποίησης: ( ), [ ], { }.
- E — Exponents (Δυνάμεις). Μετά τις δυνάμεις και τις ρίζες, όπως 3² ή √9.
- M και D — Multiplication και Division (Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση). Αυτά έχουν την ίδια προτεραιότητα. Εκτελέστε τα μαζί, προχωρώντας από αριστερά προς τα δεξιά.
- A και S — Addition και Subtraction (Πρόσθεση και Αφαίρεση). Αυτά έχουν επίσης την ίδια προτεραιότητα. Εκτελέστε τα τελευταία, πάλι από αριστερά προς τα δεξιά.
Η πιο σημαντική ιδέα που οι περισσότεροι μαθητές χάνουν είναι η εξής: το PEMDAS δεν αποτελείται από έξι ξεχωριστά βήματα. Ο πολλαπλασιασμός δεν προηγείται πάντα της διαίρεσης, και η πρόσθεση δεν προηγείται πάντα της αφαίρεσης. Κάθε ζεύγος βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο και μέσα σε αυτό το επίπεδο απλώς προχωράτε από αριστερά προς τα δεξιά.
Ο κανόνας από αριστερά προς τα δεξιά (Π/Δ και Π/Α είναι ισότιμα)
Επειδή ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, τα εκτελείτε με τη σειρά που εμφανίζονται, διαβάζοντας από αριστερά προς τα δεξιά — όχι "όλους τους πολλαπλασιασμούς και μετά όλες τις διαιρέσεις". Το ίδιο ισχύει για την πρόσθεση και την αφαίρεση.
Μια κλασική παγίδα είναι το 20 ÷ 4 × 5. Αν κάνατε πρώτα τον πολλαπλασιασμό (4 × 5 = 20), θα παίρνατε 20 ÷ 20 = 1 — το οποίο είναι λάθος. Επειδή η διαίρεση είναι στα αριστερά, την κάνετε πρώτη: 20 ÷ 4 = 5, μετά 5 × 5 = 25. Η ίδια λογική ισχύει για το 10 − 6 + 2: προχωρήστε από αριστερά προς τα δεξιά για να πάρετε 4 + 2 = 6, όχι 10 − 8 = 2.
PEMDAS έναντι BODMAS: ο ίδιος κανόνας, διαφορετικό όνομα
Στο Ηνωμένο Βασίλειο, την Αυστραλία και πολλές άλλες χώρες, ο ίδιος κανόνας διδάσκεται ως BODMAS (μερικές φορές BIDMAS ή BEDMAS). Τα γράμματα φαίνονται διαφορετικά, αλλά η σειρά είναι πανομοιότυπη — αλλάζει μόνο το λεξιλόγιο.
- B — Brackets (Αγκύλες) είναι το ίδιο με το P — Parentheses (Παρενθέσεις).
- O — Orders (Τάξεις) (ή I — Indices (Εκθέτες), E — Exponents (Δυνάμεις)) σημαίνει δυνάμεις και ρίζες.
- DM και MD είναι το ίδιο ζεύγος ίσης προτεραιότητας, που εκτελείται από αριστερά προς τα δεξιά.
- AS είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση, που εκτελούνται από αριστερά προς τα δεξιά.
Επομένως, το PEMDAS και το BODMAS δίνουν πάντα το ίδιο αποτέλεσμα. Η παρακάτω σύγκριση τα παραθέτει γράμμα προς γράμμα.
| Βήμα | PEMDAS | BODMAS | Τι κάνετε |
|---|---|---|---|
| 1 | Pαρενθέσεις | Brackets (Αγκύλες) | Πρώτα μέσα στα σύμβολα ομαδοποίησης |
| 2 | Eκθέτες (Δυνάμεις) | Orders / Indices | Δυνάμεις και ρίζες |
| 3 | Mολ/σμός / Dιαίρεση | Dιαίρεση / Mολ/σμός | Ίδια προτεραιότητα, αριστερά → δεξιά |
| 4 | Aπρόσθεση / Sαφαίρεση | Aπρόσθεση / Sαφαίρεση | Ίδια προτεραιότητα, αριστερά → δεξιά |
Παραδείγματα σειράς πράξεων (βήμα προς βήμα)
Παράδειγμα 1. Πολλαπλασιασμός πριν την πρόσθεση
Παράσταση: 3 + 4 × 2
Βήμα 1 — Παρενθέσεις / Δυνάμεις: δεν υπάρχουν εδώ, οπότε προχωράμε.
Βήμα 2 — Πολλαπλασιασμός / Διαίρεση: 4 × 2 = 8. Η παράσταση τώρα είναι 3 + 8.
Βήμα 3 — Πρόσθεση / Αφαίρεση: 3 + 8 = 11.
Ένα συνηθισμένο λάθος είναι το 14, που προκύπτει αν προσθέσετε πρώτα 3 + 4. Ο πολλαπλασιασμός πρέπει να γίνει πριν την πρόσθεση.
Παράδειγμα 2. Παρενθέσεις, δυνάμεις, μετά από αριστερά προς τα δεξιά
Παράσταση: (6 + 2) × 3² ÷ 4 − 5
Βήμα 1 — Παρενθέσεις: 6 + 2 = 8. Τώρα: 8 × 3² ÷ 4 − 5.
Βήμα 2 — Δυνάμεις: 3² = 9. Τώρα: 8 × 9 ÷ 4 − 5.
Βήμα 3 — Πολλαπλασιασμός / Διαίρεση (αριστερά προς δεξιά): 8 × 9 = 72, μετά 72 ÷ 4 = 18. Τώρα: 18 − 5.
Βήμα 4 — Πρόσθεση / Αφαίρεση: 18 − 5 = 13.
Παράδειγμα 3. Η παγίδα από αριστερά προς τα δεξιά
Παράσταση: 20 ÷ 4 × 5
Δεν υπάρχουν παρενθέσεις ή δυνάμεις, οπότε προχωράμε κατευθείαν στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Έχουν ίση προτεραιότητα, οπότε διαβάζουμε αριστερά προς τα δεξιά.
Βήμα 1: 20 ÷ 4 = 5 (η διαίρεση είναι πιο αριστερά). Τώρα: 5 × 5.
Βήμα 2: 5 × 5 = 25.
Αν είχατε πολλαπλασιάσει πρώτα (4 × 5 = 20), θα παίρνατε 20 ÷ 20 = 1 — ένα κλασικό λάθος. Η σειρά των γραμμάτων M-μετά-D δεν σημαίνει ότι ο πολλαπλασιασμός υπερισχύει· το "αριστερά προς τα δεξιά" υπερισχύει.
Συνηθισμένα λάθη στο PEMDAS
-
Να νομίζετε ότι ο πολλαπλασιασμός προηγείται πάντα της διαίρεσης (ή η πρόσθεση της αφαίρεσης) λόγω της σειράς των γραμμάτων M-D και A-S.
Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι ισότιμα, όπως και η πρόσθεση με την αφαίρεση. Μέσα σε κάθε ζεύγος, εργαστείτε από αριστερά προς τα δεξιά. Στο 20 ÷ 4 × 5 διαιρείτε πρώτα επειδή είναι στα αριστερά, δίνοντας 25 — όχι 1.
-
Να αγνοείτε τον κανόνα από αριστερά προς τα δεξιά για την αφαίρεση, οπότε το 10 − 6 + 2 διαβάζεται ως 10 − 8 = 2.
Πηγαίνετε από αριστερά προς τα δεξιά: 10 − 6 = 4, μετά 4 + 2 = 6. Η πρόσθεση δεν "πηδάει τη σειρά" μπροστά από την αφαίρεση που βρίσκεται στα αριστερά της.
-
Να παραλείπετε τις παρενθέσεις ή να τις κάνετε τελευταίες επειδή εμφανίζονται στη μέση της παράστασης.
Τα σύμβολα ομαδοποίησης είναι πάντα πρώτα, όπου κι αν βρίσκονται. Στο 2 × (3 + 4), υπολογίζετε το 3 + 4 = 7 πριν τον πολλαπλασιασμό, δίνοντας 14 — όχι 2 × 3 + 4 = 10.
-
Να διαβάζετε λάθος την εμβέλεια μιας δύναμης, θεωρώντας το −3² και το (−3)² ως το ίδιο πράγμα.
Μια δύναμη εφαρμόζεται μόνο στον αριθμό ακριβώς από κάτω της. Το −3² σημαίνει −(3²) = −9, ενώ το (−3)² σημαίνει (−3)(−3) = 9. Χρησιμοποιήστε παρενθέσεις όταν θέλετε να συμπεριλάβετε το πρόσημο.
-
Να εργάζεστε με εμφωλευμένες παρενθέσεις από έξω προς τα μέσα.
Ξεκινήστε με την εσωτερική ομαδοποίηση και προχωρήστε προς τα έξω. Στο 2 × [3 + (4 − 1)], κάντε πρώτα 4 − 1 = 3, μετά 3 + 3 = 6, μετά 2 × 6 = 12.
Συχνές ερωτήσεις
Τι σημαίνει το PEMDAS;
Το PEMDAS σημαίνει Parentheses (Παρενθέσεις), Exponents (Δυνάμεις), Multiplication (Πολλαπλασιασμός) και Division (Διαίρεση), Addition (Πρόσθεση) και Subtraction (Αφαίρεση). Είναι η σειρά με την οποία υπολογίζετε μια μαθηματική παράσταση. Πολλοί μαθητές το θυμούνται με τη φράση "Please Excuse My Dear Aunt Sally."
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ PEMDAS και BODMAS;
Δεν υπάρχει διαφορά στα μαθηματικά — μόνο στα ονόματα. Το BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) διδάσκεται στο Ηνωμένο Βασίλειο και πολλές άλλες χώρες, ενώ το PEMDAS χρησιμοποιείται στις ΗΠΑ. Οι αγκύλες (Brackets) είναι το ίδιο με τις παρενθέσεις (Parentheses), και οι τάξεις (Orders) ή εκθέτες (Indices) είναι το ίδιο με τις δυνάμεις (Exponents). Και τα δύο δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα για κάθε παράσταση.
Προηγείται πάντα ο πολλαπλασιασμός της διαίρεσης στο PEMDAS;
Όχι. Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση έχουν ίση προτεραιότητα. Κάνετε όποιο εμφανίζεται πρώτο διαβάζοντας από αριστερά προς τα δεξιά. Για παράδειγμα, στο 20 ÷ 4 × 5 διαιρείτε πρώτα επειδή είναι στα αριστερά, μετά πολλαπλασιάζετε, δίνοντας 25.
Γιατί χρειαζόμαστε τη σειρά των πράξεων;
Χωρίς μια συμφωνημένη σειρά, η ίδια παράσταση θα μπορούσε να δώσει διαφορετικές απαντήσεις σε διαφορετικούς ανθρώπους. Για παράδειγμα, το 3 + 4 × 2 θα ήταν 11 αν πολλαπλασιάζατε πρώτα ή 14 αν προσθέτατε πρώτα. Το PEMDAS διασφαλίζει ότι κάθε παράσταση έχει ακριβώς ένα σωστό αποτέλεσμα.
Πώς διαχειρίζεστε τις δυνάμεις και τα αρνητικά πρόσημα μαζί;
Μια δύναμη εφαρμόζεται μόνο στην τιμή ακριβώς από κάτω της. Έτσι, το −3² ισούται με −(3 × 3) = −9, επειδή η δύναμη δεσμεύει το 3 πριν εφαρμοστεί το αρνητικό πρόσημο. Αν θέλετε να συμπεριληφθεί το αρνητικό, γράψτε (−3)², το οποίο ισούται με 9. Οι παρενθέσεις ελέγχουν τι καλύπτει η δύναμη.
Τι κάνετε με τις εμφωλευμένες παρενθέσεις ή αγκύλες;
Εργαστείτε από την εσωτερική ομάδα προς τα έξω. Στο 2 × [3 + (4 − 1)], πρώτα κάντε 4 − 1 = 3, μετά 3 + 3 = 6, μετά 2 × 6 = 12. Κάθε επίπεδο ομαδοποίησης επιλύεται πριν από αυτό που το περιβάλλει.
