Πώς να λύσετε αναλογίες: βασική ιδιότητα και επίλυση προβλημάτων

Λόγος δύο αριθμών είναι το πηλίκο τους. Ο λόγος \(2:3\) (διαβάζεται «δύο προς τρία») δείχνει πόσες φορές ο ένας αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον άλλο ή τι μέρος αποτελεί ο ένας από τον άλλο. Μπορεί να γραφτεί με δύο τρόπους: \(2:3\) ή ως κλάσμα \(\frac{2}{3}\) — είναι το ίδιο.

Αναλογία είναι η ισότητα δύο λόγων:

Στην αναλογία υπάρχουν τέσσερις αριθμοί και έχουν ονόματα. Οι αριθμοί στα άκρα της εγγραφής είναι οι άκρα όροι, οι αριθμοί στη μέση είναι οι μέσοι όροι. Μια αναλογία είναι σωστή όταν και οι δύο λόγοι είναι ίσοι με τον ίδιο αριθμό.

Βασική ιδιότητα της αναλογίας: το γινόμενο των άκρων όρων ισούται με το γινόμενο των μέσων όρων.

Γιατί συμβαίνει αυτό; Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της ισότητας \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) με \(b \cdot d\). Στα αριστερά θα απλοποιηθεί το \(b\), στα δεξιά το \(d\), και θα μείνει ακριβώς \(a \cdot d = c \cdot b\). Καμία μαγεία — απλή ιδιότητα των ισοτήτων.

Ακριβώς αυτό ονομάζουν οι μαθητές «λύση αναλογιών χιαστί»: πολλαπλασιάζουν τους αριθμούς διαγώνια, χιαστί. Η ιδιότητα ισχύει και αντίστροφα: αν για τέσσερις αριθμούς (κανένας από αυτούς δεν είναι μηδέν) ισχύει \(a \cdot d = b \cdot c\), τότε μπορούν να σχηματιστούν από αυτούς μια σωστή αναλογία.

Από εδώ προκύπτουν αμέσως δύο δεξιότητες: έλεγχος αν μια αναλογία είναι σωστή και εύρεση ενός άγνωστου αριθμού σε αυτήν.

Από τη βασική ιδιότητα προκύπτουν δύο σύντομοι κανόνες:

• άγνωστος άκρος όρος = γινόμενο μέσων : γνωστός άκρος;
• άγνωστος μέσος όρος = γινόμενο άκρων : γνωστός μέσος.

Δεν είναι απαραίτητο να τα απομνημονεύσετε. Αρκεί μια ενιαία μέθοδος: πολλαπλασιάστε χιαστί, αποκτήστε μια ισότητα της μορφής «αριθμός \(\cdot\, x\) = αριθμός» και διαιρέστε. Ας το αναλύσουμε βήμα προς βήμα με την αναλογία \(x : 7 = 12 : 21\).

Το τελευταίο βήμα — ο έλεγχος — διαρκεί πέντε δευτερόλεπτα και πιάνει σχεδόν κάθε αριθμητικό λάθος, επομένως δεν πρέπει να παραλείπεται.

Δύο ποσότητες ονομάζονται άμεσα ανάλογες αν, όταν η μία αυξάνεται κάποιες φορές, η άλλη αυξάνεται τόσες φορές. Αγοράσαμε διπλάσιες τετράδες — πληρώσαμε διπλάσια. Σε τέτοιες ποσότητες ο λόγος τους είναι σταθερός.

Οι ποσότητες είναι αντίστροφα ανάλογες αν, όταν η μία αυξάνεται κάποιες φορές, η άλλη μειώνεται τόσες φορές. Διπλάσιοι εργάτες — διπλάσιες μέρες για την ίδια εργασία. Σε τέτοιες ποσότητες το γινόμενο τους είναι σταθερό.

Η κύρια διαφορά φαίνεται τη στιγμή που γράφουμε την αναλογία. Για άμεση εξάρτηση, συντάσσεται «ως έχει»: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Για αντίστροφη, ο δεύτερος λόγος αντιστρέφεται: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).

Γιατί; Για την αντίστροφη εξάρτηση, το γινόμενο είναι σταθερό: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Διαιρούμε και τα δύο μέλη με \(a_2 \cdot b_1\) — και παίρνουμε ακριβώς \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Έτσι, η «αντιστροφή» δεν είναι ξόρκι που πρέπει να θυμάστε, αλλά συνέπεια του γεγονότος ότι σταθερό παραμένει το γινόμενο, όχι ο λόγος.

Τα προβλήματα κειμένου «με αναλογία» λύνονται με ένα σενάριο:

1. Γράψτε την συνθήκη σε δύο στήλες έτσι ώστε οι ίδιες ποσότητες να στέκονται η μία κάτω από την άλλη (μερίδες κάτω από μερίδες, γραμμάρια κάτω από γραμμάρια).
2. Ονομάστε το ζητούμενο με \(x\).
3. Προσδιορίστε τον τύπο της εξάρτησης: αυξήστε νοητά την πρώτη ποσότητα και δείτε αν η δεύτερη αυξάνεται ή μειώνεται.
4. Συντάξτε την αναλογία — για αντίστροφη εξάρτηση, αντιστρέψτε τον δεύτερο λόγο.
5. Λύστε χιαστί και ελέγξτε αν η απάντηση είναι λογική.

Ας δείξουμε με μια συνταγή. Για 4 μερίδες τηγανίτες χρειάζονται 300 γρ αλεύρι — πόσο αλεύρι χρειάζεται για 6 μερίδες; Οι μερίδες είναι περισσότερες, άρα και το αλεύρι είναι περισσότερο: η εξάρτηση είναι άμεση, η αναλογία συντάσσεται «ως έχει»:

Για 6 μερίδες χρειάζονται 450 γρ αλεύρι. Η απάντηση είναι λογική: οι μερίδες έγιναν 1,5 φορές περισσότερες, και το αλεύρι χρειάστηκε 1,5 φορές περισσότερο.

Με τον ίδιο τρόπο λύνονται προβλήματα με κλίμακα (η απόσταση στον χάρτη αναφέρεται στην απόσταση στο έδαφος όπως 1 προς τον αριθμό της κλίμακας) και με τιμή (η ποσότητα του προϊόντος αναφέρεται στην ποσότητα όπως το κόστος προς το κόστος). Πλήρεις αναλύσεις — στα παραδείγματα παρακάτω.

Το ποσοστό είναι το εκατοστό μέρος ενός αριθμού, επομένως κάθε απλό πρόβλημα ποσοστών μετατρέπεται σε αναλογία:

Κάπου ένας από τους τέσσερις αριθμούς είναι άγνωστος — αυτόν βρίσκουμε χιαστί.

Εύρεση μέρους. Πόσο θα είναι το 15% του 240; Συντάσσουμε \(x : 240 = 15 : 100\), άρα \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) και \(x = 36\).

Εύρεση όλου. Ο αριθμός 21 αποτελεί το 35% κάποιου αριθμού. Συντάσσουμε \(21 : x = 35 : 100\), άρα \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) και \(x = 60\).

Εύρεση ποσοστού. Τι ποσοστό αποτελεί το 18 από το 45; Συντάσσουμε \(18 : 45 = p : 100\), άρα \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) και \(p = 40\), δηλαδή 40%.

Μια μέθοδος — τρεις διαφορετικοί τύποι προβλημάτων, δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε τίποτα επιπλέον. Ξεχωριστά στέκεται μόνο το ερώτημα «κατά πόσα τοις εκατό αυξήθηκε ή μειώθηκε η ποσότητα»: εκεί πρώτα βρίσκουμε την αλλαγή, και μετά τη διαιρούμε με την αρχική τιμή — αυτό είναι ήδη ο τύπος της ποσοστιαίας αλλαγής, και όχι απλή αναλογία.