Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού \(a\) είναι ένας αριθμός του οποίου το τετράγωνο ισούται με \(a\), ενώ ως αριθμητική τετραγωνική ρίζα ονομάζουμε μόνο τη μη αρνητική τιμή της: \(\sqrt{25} = 5\). Μπορούμε να εξάγουμε ρίζα μόνο από μη αρνητικούς αριθμούς, αλλά οι ιδιότητες της ρίζας μετατρέπουν τις περίπλοκες παραστάσεις σε απλές. Σε αυτή τη σελίδα θα βρείτε τον ορισμό και το πεδίο ορισμού, όλες τις ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας με τύπους, πίνακα τετραγωνικών ριζών από το 1 έως το 20, μεθόδους εξαγωγής ρίζας και εξαγωγής παράγοντα, λυμένα παραδείγματα, συνηθισμένα λάθη και έναν διαδραστικό προσομοιωτή.
Τι είναι η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού
Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού \(a\) είναι ένας αριθμός του οποίου το τετράγωνο ισούται με \(a\). Η εξαγωγή ρίζας και η ύψωση στο τετράγωνο είναι αντίστροφες πράξεις: από το \(7^2 = 49\) προκύπτει αμέσως ότι η τετραγωνική ρίζα του 49 είναι 7.
Ωστόσο, ένας θετικός αριθμός έχει ακριβώς δύο τετραγωνικές ρίζες, οι οποίες διαφέρουν μόνο στο πρόσημο: \(5^2 = 25\) και \((-5)^2 = 25\), δηλαδή τετραγωνικές ρίζες του 25 είναι και το \(5\) και το \(-5\). Για να συμβολίζει η παράσταση \(\sqrt{25}\) έναν μοναδικό αριθμό, συμφωνήσαμε: με το σύμβολο \(\sqrt{\phantom{a}}\) γράφουμε μόνο τη μη αρνητική ρίζα. Αυτή ονομάζεται αριθμητική.
Η παράσταση έχει τη δική της ορολογία: το σύμβολο \(\sqrt{\phantom{a}}\) είναι το ριζικό, και ο αριθμός ή η παράσταση κάτω από αυτό είναι η υπόριζη ποσότητα.
Αριθμητική τετραγωνική ρίζα: ορισμός και πεδίο ορισμού
Αριθμητική τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού \(a\) ονομάζουμε τον μη αρνητικό αριθμό του οποίου το τετράγωνο ισούται με \(a\). Συμβολίζεται ως \(\sqrt{a}\) και διαβάζεται «ρίζα του a».
Στον ορισμό κρύβονται δύο συνθήκες, και οι δύο εξίσου σημαντικές:
- η υπόριζη ποσότητα είναι μη αρνητική: \(a \ge 0\);
- η τιμή της ρίζας είναι μη αρνητική: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Από εδώ προκύπτει αμέσως: \(\sqrt{25} = 5\), και όχι \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); ενώ η παράσταση \(\sqrt{-9}\) στους πραγματικούς αριθμούς δεν έχει νόημα — δεν υπάρχει αριθμός του οποίου το τετράγωνο να είναι αρνητικό.
Η πρώτη συνθήκη καθορίζει το πεδίο ορισμού μιας παράστασης με ρίζα. Για παράδειγμα, η \(\sqrt{x-7}\) έχει νόημα όταν \(x - 7 \ge 0\), δηλαδή όταν \(x \ge 7\): οποιαδήποτε μικρότερη τιμή του \(x\) οδηγεί σε αρνητικό αριθμό κάτω από τη ρίζα.
Από τον ορισμό προκύπτει επίσης η ισότητα \((\sqrt{a})^2 = a\) για \(a \ge 0\): η ύψωση της ρίζας στο τετράγωνο επιστρέφει τον υπόριζο αριθμό. Αυτό ισχύει ακόμα και όταν δεν μπορούμε να υπολογίσουμε ακριβώς τη ρίζα: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Πίνακας τετραγωνικών ριζών: τετράγωνα αριθμών από το 1 έως το 20
Η ρίζα εξάγεται ακριβώς όταν ο υπόριζος αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο. Επομένως, ο πίνακας τετραγώνων λειτουργεί και ως πίνακας τετραγωνικών ριζών: διαβάζεται και προς τις δύο κατευθύνσεις — \(14^2 = 196\), άρα \(\sqrt{196} = 14\).
Ο πίνακας βοηθά όχι μόνο με ακέραιους αριθμούς:
- δεκαδικοί αριθμοί: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), επειδή \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- κοινά κλάσματα: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — η ρίζα εξάγεται ξεχωριστά από τον αριθμητή και ξεχωριστά από τον παρονομαστή;
- στρογγυλοί αριθμοί: \(\sqrt{2500} = 50\), αφού \(2500 = 25 \cdot 100\), και η ρίζα κάθε παράγοντα είναι γνωστή.
Ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας
Οι ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας επιτρέπουν τον υπολογισμό παραστάσεων χωρίς να εξάγουμε κάθε ρίζα ξεχωριστά, και την απλοποίηση του αποτελέσματος.
Η ρίζα γινομένου ισούται με το γινόμενο των ριζών: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) για \(a \ge 0\) και \(b \ge 0\). Για παράδειγμα, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — το ίδιο αποτέλεσμα με το \(\sqrt{144}\).
Η ρίζα πηλίκου ισούται με το πηλίκο των ριζών: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) για \(a \ge 0\) και \(b > 0\). Για παράδειγμα, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Η συνθήκη \(b > 0\) είναι αυστηρή: δεν επιτρέπεται η διαίρεση με το μηδέν.
Η ρίζα τετραγώνου ισούται με την απόλυτη τιμή: \(\sqrt{a^2} = |a|\), και αυτό ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό \(a\). Εδώ βρίσκεται η κύρια λεπτομέρεια όλου του θέματος. Αν \(a \ge 0\), δεν αλλάζει τίποτα: \(\sqrt{7^2} = 7\). Αλλά για αρνητικό \(a\), το πρόσημο «ισιώνει»: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), και όχι \(-6\) — αφού η αριθμητική ρίζα δεν μπορεί να είναι αρνητική.
Το τετράγωνο της ρίζας επιστρέφει τον υπόριζο αριθμό: \((\sqrt{a})^2 = a\) για \(a \ge 0\).
Ωστόσο, για το άθροισμα και τη διαφορά δεν υπάρχουν παρόμοιες ιδιότητες: η ρίζα του αθροίσματος δεν ισούται με το άθροισμα των ριζών. Αυτό είναι το πιο συνηθισμένο λάθος στο θέμα, η ανάλυση ακολουθεί παρακάτω.
| Ιδιότητα και συνθήκη | Παράδειγμα |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bγια a ≥ 0 και b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bγια a ≥ 0 και b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|για οποιοδήποτε a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aγια a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bγια b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Πώς να εξάγετε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού
Δεν έχουμε πάντα υπολογιστή πρόχειρο, και οι σχολικές ασκήσεις είναι σχεδόν πάντα επιλεγμένες έτσι ώστε η ρίζα να εξάγεται. Η σειρά των ενεργειών είναι η εξής.
- Έλεγχος στον πίνακα τετραγώνων. Αν ο αριθμός υπάρχει στον πίνακα, η απάντηση είναι έτοιμη: \(\sqrt{289} = 17\).
- Διαχωρισμός στρογγυλού παράγοντα. Για αριθμούς με μηδενικά είναι βολικό να ξεχωρίσουμε το \(100\), \(10\,000\) κ.λπ.: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Ανάλυση σε πρώτους παράγοντες. Αυτή είναι μια καθολική μέθοδος: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), διαιρούμε τους εκθέτες των δυνάμεων δια δύο και παίρνουμε \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Μετατροπή δεκαδικού κλάσματος σε κοινό. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Παράλληλα, αυτό μας προστατεύει από την απώλεια ψηφίου.
- Αν δεν υπάρχει τέλειο τετράγωνο — η ρίζα είναι άρρητη. Τότε είτε την αφήνουμε στην απάντηση ως σύμβολο (γράφουμε: \(\sqrt{30}\)), είτε την εκτιμούμε ανάμεσα σε γειτονικά τετράγωνα.
Ο έλεγχος διαρκεί ένα δευτερόλεπτο: υψώνουμε τον αριθμό που βρήκαμε στο τετράγωνο και βλέπουμε αν επιστρέψαμε στον υπόριζο αριθμό. \(24^2 = 576\) — σωστά.
Εξαγωγή παράγοντα από το ριζικό
Σπάνια αφήνουμε τη ρίζα «ακατέργαστη» — βγάζουμε έξω από αυτή ό,τι μπορεί να εξαχθεί. Ισχύει η ιδιότητα \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) για \(b \ge 0\): αναζητούμε τον μεγαλύτερο τετραγωνικό διαιρέτη του υπόριζου αριθμού.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Η αντίστροφη πράξη — εισαγωγή παράγοντα κάτω από τη ρίζα: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) για \(a \ge 0\). Για παράδειγμα, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Με αρνητικό παράγοντα χρειάζεται προσοχή: το μείον δεν μπαίνει κάτω από τη ρίζα και παραμένει απέξω. Η σωστή γραφή είναι \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), και όχι \(\sqrt{12}\).
Γιατί είναι χρήσιμο: μετά την εξαγωγή του παράγοντα, οι ρίζες με την ίδια υπόριζη ποσότητα γίνονται όμοιοι όροι και μπορούν να προστεθούν. Ενώ η εισαγωγή παράγοντα κάτω από τη ρίζα είναι ο πιο γρήγορος τρόπος για να συγκρίνουμε δύο παραστάσεις με ρίζες.
Πόσο ισούται η τετραγωνική ρίζα που δεν εξάγεται
Αν ο υπόριζος αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο, η ρίζα είναι άρρητος αριθμός: η δεκαδική του αναπαράσταση είναι άπειρη και μη περιοδική. Για παράδειγμα, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), και η ακριβής τιμή γράφεται μόνο με το σύμβολο \(\sqrt{2}\). Η στρογγυλοποιημένη απάντηση γράφεται μόνο όταν ζητείται στην άσκηση.
Μπορούμε να εκτιμήσουμε μια τέτοια ρίζα χωρίς υπολογιστή: βρίσκουμε δύο γειτονικά τέλεια τετράγωνα, ανάμεσα στα οποία βρίσκεται ο υπόριζος αριθμός. Ισχύει ο κανόνας σύγκρισης: για \(a \ge 0\) και \(b \ge 0\), από το \(a < b\) προκύπτει \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — στον μεγαλύτερο υπόριζο αριθμό αντιστοιχεί η μεγαλύτερη ρίζα.
Παραδείγματα υπολογισμών με τετραγωνικές ρίζες
Παράδειγμα 1. Τιμή παράστασης με ρίζες
Υπολογίστε \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Βήμα 1. \(\sqrt{121} = 11\), επειδή \(11^2 = 121\).
Βήμα 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), επειδή \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Βήμα 3. Η ρίζα του κλάσματος εξάγεται από τον αριθμητή και τον παρονομαστή: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Βήμα 4. Προσθέτουμε: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Απάντηση: 11.
Παράδειγμα 2. Ρίζα γινομένου
Υπολογίστε \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Βήμα 1. Ξεχωριστά αυτές οι ρίζες δεν εξάγονται, επομένως τις ενώνουμε σε μία: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Βήμα 2. Υπολογίζουμε το γινόμενο κάτω από τη ρίζα: \(8 \cdot 18 = 144\).
Βήμα 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Άλλος τρόπος — βγάζουμε τους παράγοντες εκ των προτέρων: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) και \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), τότε \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Οι απαντήσεις ταυτίζονται.
Απάντηση: 12.
Παράδειγμα 3. Εξαγωγή ρίζας με ανάλυση σε παράγοντες
Υπολογίστε \(\sqrt{576}\) και \(\sqrt{6400}\).
Βήμα 1. Ο αριθμός 576 δεν υπάρχει στον πίνακα τετραγώνων, επομένως τον αναλύουμε σε πρώτους παράγοντες: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Βήμα 2. Διαιρούμε τους εκθέτες των δυνάμεων δια δύο: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Βήμα 3. Έλεγχος. \(24^2 = 576\) — σωστά.
Βήμα 4. Για τον αριθμό 6400 είναι πιο βολικό να διαχωρίσουμε τον στρογγυλό παράγοντα: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Έλεγχος: \(80^2 = 6400\).
Απάντηση: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Παράδειγμα 4. Εξαγωγή παράγοντα και αναγωγή ομοίων όρων
Απλοποιήστε \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Βήμα 1. Βγάζουμε τους παράγοντες από κάθε ρίζα: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), άρα \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Βήμα 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Βήμα 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Βήμα 4. Μπορούμε να προσθέσουμε μόνο ρίζες με την ίδια υπόριζη ποσότητα: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), ενώ ο όρος με το \(\sqrt{3}\) παραμένει ξεχωριστά.
Απάντηση: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Παράδειγμα 5. Ρίζα τετραγώνου με μεταβλητή
Απλοποιήστε \(\sqrt{(x-4)^2}\) για \(x < 4\).
Βήμα 1. Σύμφωνα με την ιδιότητα της ρίζας τετραγώνου \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — γράφουμε αμέσως την απόλυτη τιμή, και όχι \(x - 4\).
Βήμα 2. Ανοίγουμε την απόλυτη τιμή σύμφωνα με τη συνθήκη. Αν \(x < 4\), τότε η διαφορά \(x - 4\) είναι αρνητική, και η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του: \(|x-4| = 4 - x\).
Βήμα 3. Έλεγχος. Ας πάρουμε \(x = 1\): αριστερά \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), δεξιά \(4 - 1 = 3\) — συμπίπτουν.
Απάντηση: \(4 - x\). Για σύγκριση, για \(x \ge 4\) η απάντηση θα ήταν \(x - 4\).
Παράδειγμα 6. Σύγκριση παραστάσεων με ρίζες
Συγκρίνετε \(3\sqrt{5}\) και \(5\sqrt{2}\).
Βήμα 1. Και οι δύο αριθμοί είναι θετικοί, επομένως εισάγουμε τον παράγοντα κάτω από τη ρίζα: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Βήμα 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Βήμα 3. Συγκρίνουμε τους υπόριζους αριθμούς: \(45 < 50\), και στον μεγαλύτερο υπόριζο αριθμό αντιστοιχεί η μεγαλύτερη ρίζα.
Απάντηση: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Συνηθισμένα λάθη κατά την εργασία με την τετραγωνική ρίζα
-
Γράφουν $\sqrt{a^2} = a$, ξεχνώντας την απόλυτη τιμή.
Η σωστή ισότητα είναι \(\sqrt{a^2} = |a|\). Για αρνητικό αριθμό αυτό είναι καθοριστικό: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), και όχι \(-13\). Η αριθμητική ρίζα δεν μπορεί να είναι αρνητική, επομένως το πρόσημο κάτω από τη ρίζα «ισιώνει».
-
Θεωρούν ότι η ρίζα του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των ριζών: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Δεν υπάρχει τέτοια ιδιότητα. Πρώτα εκτελούμε την πράξη κάτω από τη ρίζα: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), και όχι 7. Ιδιότητες υπάρχουν μόνο για το γινόμενο και το πηλίκο: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) και \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Απαντούν ότι $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) — η αριθμητική ρίζα είναι πάντα μία και είναι μη αρνητική. Δύο τιμές εμφανίζονται σε άλλη άσκηση: στην εξίσωση \(x^2 = 49\) οι ρίζες είναι \(x = 7\) και \(x = -7\). Δεν πρέπει να συγχέουμε τη γραφή της ρίζας με τη λύση της εξίσωσης.
-
Γράφουν $\sqrt{-16} = -4$, συλλογιζόμενοι «πλην επί πλην».
Κάτω από τη ρίζα δεν μπορεί να υπάρχει αρνητικός αριθμός: \((-4)^2 = 16\), και όχι \(-16\), έτσι η \(\sqrt{-16}\) στους πραγματικούς αριθμούς δεν υπάρχει. Ενώ η παράσταση \(-\sqrt{16} = -4\) είναι απόλυτα σωστή — το μείον βρίσκεται μπροστά από τη ρίζα, και όχι κάτω από αυτή.
-
Εισάγουν κάτω από τη ρίζα αρνητικό παράγοντα: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Ο κανόνας \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) ισχύει μόνο για \(a \ge 0\). Το μείον παραμένει απέξω: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Έλεγχος με πρόσημο: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), ενώ \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — οι αριθμοί είναι αντίθετοι.
-
Χάνουν ψηφίο στον δεκαδικό αριθμό: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Ελέγξτε με αντίστροφη ύψωση στο τετράγωνο: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), δεν συμπίπτει. Σωστά είναι \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), αφού \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Ένας αξιόπιστος τρόπος είναι η μετάβαση σε κοινό κλάσμα: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Είναι σίγουροι ότι η ρίζα είναι πάντα μικρότερη από τον ίδιο τον αριθμό.
Αυτό ισχύει μόνο για αριθμούς μεγαλύτερους της μονάδας. Στο διάστημα από 0 έως 1 συμβαίνει το αντίθετο: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), και το \(0{,}5\) είναι μεγαλύτερο από το \(0{,}25\). Ενώ για το 0 και το 1 η ρίζα ισούται με τον ίδιο τον αριθμό.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Τι είναι η αριθμητική τετραγωνική ρίζα με απλά λόγια?
Είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, ο οποίος όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει τον υπόριζο αριθμό. Γράφουμε \(\sqrt{a}\), ενώ η υπόριζη ποσότητα πρέπει να είναι μη αρνητική: \(a \ge 0\). Για παράδειγμα, \(\sqrt{64} = 8\), επειδή \(8 \ge 0\) και \(8^2 = 64\).
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ τετραγωνικής ρίζας και αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας?
Ένας θετικός αριθμός έχει δύο τετραγωνικές ρίζες — αντίθετες ως προς το πρόσημο. Αριθμητική ονομάζουμε μόνο τη μη αρνητική από αυτές, και ακριβώς αυτή συμβολίζει το σύμβολο \(\sqrt{\phantom{a}}\). Επομένως \(\sqrt{25} = 5\), αν και η εξίσωση \(x^2 = 25\) έχει δύο ρίζες: 5 και \(-5\).
Πώς να εξάγετε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού χωρίς υπολογιστή?
Πρώτα ελέγξτε τον αριθμό στον πίνακα τετραγώνων. Αν δεν υπάρχει εκεί — αναλύστε σε παράγοντες και ξεχωρίστε τα τέλεια τετράγωνα: \(784 = 16 \cdot 49\), επομένως \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Την απάντηση να την ελέγχετε πάντα με την αντίστροφη πράξη: \(28^2 = 784\).
Μπορούμε να εξάγουμε τετραγωνική ρίζα από αρνητικό αριθμό?
Στους πραγματικούς αριθμούς — όχι: το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού είναι μη αρνητικό, επομένως η παράσταση \(\sqrt{-9}\) δεν έχει νόημα. Ακριβώς από αυτή τη συνθήκη αναζητούμε το πεδίο ορισμού: για παράδειγμα, η \(\sqrt{x-7}\) υπάρχει μόνο για \(x \ge 7\).
Πόσο ισούται η ρίζα του τετραγώνου ενός αριθμού?
Με την απόλυτη τιμή αυτού του αριθμού: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Για μη αρνητικό \(a\) θα προκύψει ο ίδιος ο αριθμός, για αρνητικό — ο αντίθετός του: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Πώς να βγάλετε τον παράγοντα έξω από το ριζικό?
Βρείτε τον μεγαλύτερο τετραγωνικό διαιρέτη του υπόριζου αριθμού και εφαρμόστε την ιδιότητα \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Για παράδειγμα, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Η αντίστροφη πράξη — εισαγωγή παράγοντα κάτω από τη ρίζα: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Πόσο ισούται η τετραγωνική ρίζα του 2?
Ο αριθμός \(\sqrt{2}\) είναι άρρητος: η δεκαδική του αναπαράσταση είναι άπειρη και μη περιοδική, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Ακριβής τιμή με τη μορφή κλάσματος δεν υπάρχει, επομένως στις απαντήσεις την αφήνουν ως σύμβολο \(\sqrt{2}\), και στρογγυλοποιούν μόνο αν το απαιτεί η άσκηση.
Πώς να συγκρίνετε δύο αριθμούς με ρίζες, χωρίς να τους υπολογίσετε?
Εισάγετε τους παράγοντες κάτω από τη ρίζα και συγκρίνετε τους υπόριζους αριθμούς: στον μεγαλύτερο υπόριζο αριθμό αντιστοιχεί η μεγαλύτερη ρίζα. Για παράδειγμα, \(\sqrt{17}\) και 4: επειδή \(4 = \sqrt{16}\) και \(17 > 16\), τότε \(\sqrt{17} > 4\).
Σε ποια τάξη διδάσκονται οι τετραγωνικές ρίζες?
Στην 8η τάξη στα μαθήματα της άλγεβρας: πρώτα ο ορισμός της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας και οι ιδιότητές της, μετά οι μετατροπές παραστάσεων με ρίζες και η επίλυση εξισώσεων της μορφής \(x^2 = a\). Στη συνέχεια οι ρίζες συναντώνται στον τύπο της διακρίνουσας και στις ασκήσεις των εξετάσεων.
