Ανίσωση — είναι δύο εκφράσεις, συνδεδεμένες με το σύμβολο \(<\), \(>\), \(\le\) ή \(\ge\). Να λύσεις μια ανίσωση — σημαίνει να βρεις όλες τις τιμές της μεταβλητής, για τις οποίες αυτή μετατρέπεται σε αληθή αριθμητική ανίσωση. Η απάντηση δεν θα είναι ένας αριθμός, αλλά ένα ολόκληρο σύνολο: ένα διάστημα στον άξονα των αριθμών ή ένωση διαστημάτων. Σε αυτή τη σελίδα συγκεντρώθηκε η βάση, κοινή για όλα τα είδη ανισώσεων: πώς να διαβάζεις τους συμβολισμούς, ποιες μετατροπές επιτρέπονται, γιατί αλλάζει ο συμβολισμός κατά τη διαίρεση με αρνητικό αριθμό και πώς να γράψεις σωστά την απάντηση. Και μετά — επισκόπηση όλων των ειδών ανισώσεων με συνδέσμους για λεπτομερείς αναλύσεις και εξάσκηση για να ελέγξεις τον εαυτό σου.
Τι σημαίνει να λύσεις μια ανίσωση
Λύση ανίσωσης — είναι οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής, που μετατρέπει την ανίσωση σε αληθή αριθμητική. Και να λύσεις μια ανίσωση — σημαίνει να βρεις όλες αυτές τις τιμές και να τις γράψεις ως σύνολο.
Σύγκρινε με εξίσωση. Για την εξίσωση \(2x = 8\) η απάντηση — ένας αριθμός \(x = 4\). Για την ανίσωση \(2x < 8\) η απάντηση — άπειροι αριθμοί: ταιριάζουν και το \(3\), και το \(0\), και το \(-100\), και το \(3{,}999\). Η καταγραφή τους ένας-ένας είναι αδύνατη, γι' αυτό η απάντηση διαμορφώνεται με διάστημα: \(x < 4\), δηλαδή \((-\infty;\ 4)\).
Να ελέγξεις, αν ένας συγκεκριμένος αριθμός είναι λύση, είναι εύκολο: αντικατάστησέ τον αντί της μεταβλητής και δες, αν προέκυψε αληθής ανίσωση.
- \(x = 1\) στην ανίσωση \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — αληθές, άρα το \(1\) — λύση.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — ψευδές, άρα το \(5\) δεν είναι λύση.
Δύο ανισώσεις ονομάζονται ισοδύναμες, αν έχουν τα ίδια σύνολα λύσεων. Ολόκληρη η επίλυση της ανίσωσης — είναι μια αλυσίδα μεταβάσεων σε μια απλούστερη ισοδύναμη ανίσωση, μέχρι να μείνει μόνο το \(x\) στα αριστερά.
Συμβολισμοί ανισώσεων: αυστηροί και μη αυστηροί
Οι συμβολισμοί είναι τέσσερις, και από το ποιος από αυτούς χρησιμοποιείται, εξαρτάται και η απάντηση, και η διαμόρφωση. Οι αυστηροί συμβολισμοί \(<\) και \(>\) δεν περιλαμβάνουν το ίδιο το οριακό σημείο στην απάντηση, οι μη αυστηροί \(\le\) και \(\ge\) — το περιλαμβάνουν.
Αυτή η διαφορά συνεχίζεται σε όλη την επίλυση: ο αυστηρός συμβολισμός δίνει ένα κενό (ανοιχτό) σημείο στον άξονα και μια στρογγυλή παρένθεση στην απάντηση, ο μη αυστηρός — ένα γεμάτο (κλειστό) σημείο και μια τετραγωνική παρένθεση.
| Σύμβολο | Πώς διαβάζεται και τι δίνει στην απάντηση |
|---|---|
| < | μικρότεροαυστηρόσημείο κενό, παρένθεση στρογγυλή |
| > | μεγαλύτεροαυστηρόσημείο κενό, παρένθεση στρογγυλή |
| ≤ | μικρότερο ή ίσομη αυστηρόσημείο γεμάτο, παρένθεση τετραγωνική |
| ≥ | μεγαλύτερο ή ίσομη αυστηρόσημείο γεμάτο, παρένθεση τετραγωνική |
Ισοδύναμες μετατροπές: τι επιτρέπεται να κάνεις με μια ανίσωση
Με μια ανίσωση επιτρέπεται να κάνεις σχεδόν ό,τι και με μια εξίσωση, αλλά με μία σημαντική διόρθωση. Πρόσθεση και αφαίρεση μπορούν να γίνουν ελεύθερα: αν προσθέσεις ή αφαιρέσεις το ίδιο και στις δύο πλευρές, το σύνολο λύσεων δεν αλλάζει. Έτσι «μεταφέρονται» οι όροι μέσω του συμβόλου, αλλάζοντας το συν σε πλην.
Όμως ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση εξαρτώνται από το πρόσημο του πολλαπλασιαστή. Κατά τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση και των δύο πλευρών με αρνητικό αριθμό, ο συμβολισμός της ανίσωσης αλλάζει σε αντίθετο: το \(<\) γίνεται \(>\), το \(\le\) γίνεται \(\ge\) και αντίστροφα. Ο λόγος φαίνεται στους αριθμούς: από το αληθές \(3 < 5\) μετά τον πολλαπλασιασμό με \(-1\) προκύπτει \(-3\) και \(-5\), και \(-3 > -5\) — η σειρά των αριθμών αντιστράφηκε.
Το ίδιο συμβαίνει αν αλλάξεις τις θέσεις της αριστερής και της δεξιάς πλευράς: από το \(7 < y\) προκύπτει \(y > 7\).
| Τι κάνουμε και στις δύο πλευρές | Τι γίνεται με τον συμβολισμό |
|---|---|
| Προσθέτουμε ή αφαιρούμε τον ίδιο αριθμό ή έκφραση | ο συμβολισμός διατηρείται |
| Πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε με θετικό αριθμό | ο συμβολισμός διατηρείται |
| Πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε με αρνητικό αριθμό | ο συμβολισμός αλλάζει |
| Αλλάζουμε τις θέσεις της αριστερής και δεξιάς πλευράς | ο συμβολισμός αλλάζει |
| Πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε με έκφραση με μεταβλητή (x − 2) | δεν επιτρέπεται |
Πώς να γράψεις την απάντηση: άξονας αριθμών και διαστήματα
Όταν η μεταβλητή έμεινε μόνη της, η λύση σχεδόν έτοιμη — απομένει να τη διαμορφώσεις. Είναι πιο βολικό πρώτα να σημειώσεις την απάντηση στον άξονα των αριθμών, και από τον άξονα να μετρήσεις το διάστημα.
Οι κανόνες διαμόρφωσης είναι μόνο τρεις, και δεν αλλάζουν ανάλογα με το είδος της ανίσωσης:
- στρογγυλή παρένθεση — το σημείο δεν περιλαμβάνεται στην απάντηση (αυστηρός συμβολισμός, κενό σημείο στον άξονα);
- τετραγωνική παρένθεση — το σημείο περιλαμβάνεται (μη αυστηρός συμβολισμός, γεμάτο σημείο στον άξονα);
- στο άπειρο η παρένθεση είναι πάντα στρογγυλή: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) — η διατύπωση \([-\infty;\ 4]\) δεν υπάρχει, το άπειρο δεν είναι αριθμός και δεν μπορεί να επιτευχθεί.
Αν η λύση αποδειχθεί ότι είναι δύο κομμάτια του άξονα, αυτά συνδέονται με το σύμβολο ένωσης \(\cup\): για παράδειγμα, \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Είδη ανισώσεων και τρόποι επίλυσής τους
Οι ανισώσεις διακρίνονται ανάλογα με το πώς εισέρχεται η μεταβλητή — αν βρίσκεται σε πρώτη δύναμη, κάτω από τετράγωνο, στον παρονομαστή ή κάτω από απόλυτη τιμή. Ακριβώς αυτό καθορίζει τον τρόπο επίλυσης, γι' αυτό το πρώτο βήμα κάθε επίλυσης είναι η αναγνώριση του είδους της ανίσωσης. Η γενική λογική στη συνέχεια είναι μία: να φέρεις την ανίσωση στη μορφή «έκφραση συγκρίνεται με το μηδέν», και μετά να εφαρμόσεις την τεχνική που ταιριάζει σε αυτό το είδος. Σύνοψη ειδών και μεθόδων — στον παρακάτω πίνακα.
Ξεχωριστά αξίζει να θυμάσαι, πώς «ανοίγει» η απόλυτη τιμή — ο πίνακας δεν το χωράει. Για \(a > 0\) η ανίσωση \(|f(x)| < a\) είναι ισοδύναμη με τη διπλή ανίσωση \(-a < f(x) < a\) (προκύπτει σύστημα), και η \(|f(x)| > a\) — με τη σωρευτική \(f(x) < -a\) ή \(f(x) > a\) (προκύπτει ένωση διαστημάτων). Αν όμως \(a < 0\), δεν υπάρχει τίποτα να σκεφτείς: η απόλυτη τιμή είναι μη αρνητική, γι' αυτό η \(|f(x)| < a\) δεν έχει λύσεις, και η \(|f(x)| > a\) είναι αληθής για όλες τις επιτρεπόμενες τιμές του \(x\).
Οι άρρητες (με ρίζα) και οι εκθετικές ανισώσεις εξετάζονται στο λύκειο: στις συνηθισμένες μετατροπές προστίθεται η εργασία με το πεδίο ορισμού.
Λεπτομερείς αναλύσεις επιμέρους ειδών: γραμμικές ανισώσεις, ρητές ανισώσεις και μέθοδος διαστημάτων, και οι ρίζες του τετραγωνικού τριωνύμου βρίσκονται εύκολα με το θεώρημα Vieta.
| Είδος | Πώς φαίνεται και πώς λύνεται |
|---|---|
| Γραμμικό | ax + b > 0μεταφέρουμε όρους και διαιρούμε με τον συντελεστή του x |
| Τετραγωνικό | ax2 + bx + c > 0βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου και κοιτάμε την παραβολή |
| Κλασματικό-ρητό | P(x) / Q(x) ≥ 0μέθοδος διαστημάτων, οι μηδενιστές του παρονομαστή μένουν κενoί |
| Με απόλυτη τιμή | | f(x) | < aανοίγουμε την απόλυτη τιμή σύμφωνα με τον ορισμό |
| Σύστημα | δύο ανισώσεις σε αγκύληλύουμε την καθεμία, παίρνουμε την τομή |
Συστήματα και σωρευτικές ανισώσεις
Συχνά μια ανίσωση διασπάται σε δύο, και τότε είναι σημαντικό να μην μπερδέψεις τι να κάνεις με τα προκύπτοντα σύνολα.
Σύστημα (αγκύλη) σημαίνει «και το ένα, και το άλλο ταυτόχρονα». Λύνουμε κάθε ανίσωση ξεχωριστά, σημειώνουμε και τις δύο απαντήσεις στον ίδιο άξονα και παίρνουμε την τομή — το κοινό τμήμα. Αν δεν υπάρχει κοινό τμήμα, το σύστημα δεν έχει λύσεις.
Σωρευτική (τετραγωνική αγκύλη) σημαίνει «ή το ένα, ή το άλλο». Εδώ παίρνουμε την ένωση — ό,τι έχει χρωματιστεί τουλάχιστον από μία από τις απαντήσεις. Σωρευτική προκύπτει, για παράδειγμα, κατά το άνοιγμα της απόλυτης τιμής με το σύμβολο «μεγαλύτερο».
Ξεχωριστά αξίζει η διπλή ανίσωση της μορφής \(-3 < 2x + 1 \le 7\): είναι μια σύντομη καταγραφή συστήματος. Οι μετατροπές εκτελούνται αμέσως και στα τρία μέρη — αφαιρούμε, διαιρούμε, και κατά τη διαίρεση με αρνητικό αριθμό αντιστρέφονται και οι δύο συμβολισμοί μαζί.
Παραδείγματα επίλυσης ανισώσεων
Παράδειγμα 1. Έλεγχος αν ένας αριθμός είναι λύση
Εργασία. Είναι το \(x = -1\) λύση της ανίσωσης \(3x + 5 \ge 1\);
Βήμα 1. Αντικαθιστούμε το \(-1\) αντί του \(x\): \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
Βήμα 2. Συγκρίνουμε με τη δεξιά πλευρά: \(2 \ge 1\) — αληθής αριθμητική ανίσωση.
Απάντηση. Ναι, το \(-1\) είναι μία από τις λύσεις. Αλλά η επίλυση μιας ανίσωσης σημαίνει να βρεις όλους αυτούς τους αριθμούς, όχι έναν: εδώ η απάντηση είναι \(x \ge -\frac{4}{3}\).
Παράδειγμα 2. Γραμμική ανίσωση με αλλαγή συμβολισμού
Εργασία. Λύσε την \(7 - 3x < 1\).
Βήμα 1. Μεταφέρουμε το \(7\) δεξιά (δηλαδή αφαιρούμε \(7\) και από τις δύο πλευρές — ο συμβολισμός της ανίσωσης δεν αλλάζει): \(-3x < 1 - 7\), άρα \(-3x < -6\).
Βήμα 2. Διαιρούμε και τις δύο πλευρές με \(-3\). Ο διαιρέτης είναι αρνητικός, γι' αυτό ο συμβολισμός αντιστρέφεται: \(x > 2\).
Βήμα 3. Σημειώνουμε στον άξονα: κενό σημείο στο \(2\), χρωματίζουμε ό,τι είναι δεξιά.
Απάντηση. \(x > 2\), δηλαδή \(x \in (2;\ +\infty)\).
Παράδειγμα 3. Τετραγωνική ανίσωση
Εργασία. Λύσε την \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
Βήμα 1. Βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), από όπου \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\).
Βήμα 2. Ο συντελεστής του \(x^2\) είναι θετικός, άρα οι κλάδοι της παραβολής είναι ανοιχτοί προς τα πάνω: μεταξύ των ριζών το τριώνυμο είναι αρνητικό, και έξω από τις ρίζες — θετικό.
Βήμα 3. Χρειαζόμαστε το σύμβολο \(\le 0\), δηλαδή τις αρνητικές τιμές και τις ίδιες τις ρίζες (μη αυστηρός συμβολισμός) — παίρνουμε το διάστημα μεταξύ των ριζών μαζί με τα άκρα.
Απάντηση. \(x \in [-1;\ 5]\).
Παράδειγμα 4. Ανίσωση με απόλυτη τιμή
Εργασία. Λύσε την \(|x + 1| > 4\).
Βήμα 1. Η απόλυτη τιμή είναι μεγαλύτερη από θετικό αριθμό — σημαίνει ότι η έκφραση κάτω από την απόλυτη τιμή είναι είτε μεγαλύτερη από \(4\), είτε μικρότερη από \(-4\). Προκύπτει σωρευτική: \(x + 1 > 4\) ή \(x + 1 < -4\).
Βήμα 2. Λύνουμε την καθεμία: από την πρώτη \(x > 3\), από τη δεύτερη \(x < -5\).
Βήμα 3. Πρόκειται για σωρευτική, γι' αυτό παίρνουμε την ένωση των διαστημάτων, όχι την τομή.
Απάντηση. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Παράδειγμα 5. Σύστημα ανισώσεων
Εργασία. Λύσε το σύστημα \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
Βήμα 1. Πρώτη ανίσωση: \(2x > -4\), διαιρούμε με θετικό \(2\) — ο συμβολισμός διατηρείται, \(x > -2\).
Βήμα 2. Δεύτερη ανίσωση: \(x \le 4\).
Βήμα 3. Σημειώνουμε και τις δύο απαντήσεις στον ίδιο άξονα και παίρνουμε την τομή — το τμήμα που χρωματίζεται δύο φορές. Το αριστερό όριο δεν περιλαμβάνεται (αυστηρός συμβολισμός), το δεξί περιλαμβάνεται (μη αυστηρός).
Απάντηση. \(x \in (-2;\ 4]\).
Συχνά λάθη κατά την επίλυση ανισώσεων
-
Διαιρέσαμε με αρνητικό αριθμό και αφήσαμε τον ίδιο συμβολισμό.
Κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση και των δύο πλευρών με αρνητικό αριθμό, ο συμβολισμός αλλάζει απαραίτητα σε αντίθετο. Από το \(-5x \ge 10\) προκύπτει \(x \le -2\), και όχι \(x \ge -2\). Ελέγξτε τον εαυτό σας με αντικατάσταση: το \(x = -3\) δίνει \(15 \ge 10\) — αληθές, άρα η σωστή απάντηση είναι όντως «μικρότερο ή ίσο».
-
Γράφουν τετραγωνική παρένθεση στο άπειρο: $[-\infty;\ 7]$.
Το άπειρο δεν είναι αριθμός, δεν μπορεί να «επιτευχθεί», γι' αυτό η παρένθεση γύρω από το \(\infty\) είναι πάντα στρογγυλή: \((-\infty;\ 7]\). Η τετραγωνική παρένθεση χρησιμοποιείται μόνο στο πεπερασμένο όριο που περιλαμβάνεται στην απάντηση.
-
Μπερδεύουν τον τύπο της παρένθεσης και τον τύπο του σημείου: αυστηρός συμβολισμός γράφεται με τετραγωνική παρένθεση.
Αυστηρός συμβολισμός (\(<\), \(>\)) — το όριο δεν περιλαμβάνεται: κενό σημείο στον άξονα και στρογγυλή παρένθεση. Μη αυστηρός (\(\le\), \(\ge\)) — το όριο περιλαμβάνεται: γεμάτο σημείο και τετραγωνική παρένθεση. Ο έλεγχος είναι απλός: αντικαταστήστε το ίδιο το οριακό σημείο στην αρχική ανίσωση και δείτε αν προέκυψε αληθής.
-
Πολλαπλασιάζουν και τις δύο πλευρές με έκφραση με μεταβλητή, για να «ξεφορτωθούν» το κλάσμα.
Το πρόσημο μιας τέτοιας έκφρασης είναι άγνωστο, γι' αυτό δεν είναι σαφές αν πρέπει να αντιστραφεί ο συμβολισμός της ανίσωσης ή όχι — η μετατροπή δεν είναι ισοδύναμη. Αντ' αυτού, μεταφέρουν τα πάντα σε ένα μέρος, φέρνουν σε ένα κλάσμα και εφαρμόζουν τη μέθοδο των διαστημάτων.
-
Στην απάντηση γράφουν έναν αριθμό: «$x = 3$» αντί για σύνολο.
Η λύση μιας ανίσωσης είναι ένα σύνολο τιμών. Γράψτε το με διάστημα: \(x > 3\), δηλαδή \((3;\ +\infty)\). Ένας αριθμός μπορεί να είναι μόνο στοιχείο της απάντησης, αλλά όχι η ίδια η απάντηση.
-
Για το σύστημα παίρνουν ένωση, και για σωρευτική — τομή.
Για το σύστημα (αγκύλη, «και») — τομή, κοινό τμήμα διαστημάτων. Για σωρευτική (τετραγωνική αγκύλη, «ή») — ένωση μέσω του συμβόλου \(\cup\). Και επιπλέον: η διατύπωση «\(-2 < x > 5\)» δεν έχει νόημα — μια τέτοια απάντηση διαμορφώνεται ως ένωση δύο διαστημάτων.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Τι σημαίνει να λύσεις μια ανίσωση;
Να λύσεις μια ανίσωση σημαίνει να βρεις όλες τις τιμές της μεταβλητής, για τις οποίες αυτή μετατρέπεται σε αληθή αριθμητική ανίσωση, και να τις γράψεις ως σύνολο. Η απάντηση θα είναι ένα διάστημα ή ένωση διαστημάτων, όχι ένας ξεχωριστός αριθμός.
Τι είδους ανισώσεις υπάρχουν;
Ανάλογα με τη μορφή της έκφρασης με τη μεταβλητή διακρίνονται γραμμικές (\(ax + b > 0\)), τετραγωνικές (\(ax^2 + bx + c > 0\)), κλασματικές-ρητές (μεταβλητή στον παρονομαστή), με απόλυτη τιμή, άρρητες και εκθετικές. Ξεχωριστά διακρίνονται συστήματα και σωρευτικές ανισώσεις. Ανάλογα με τον συμβολισμό, χωρίζονται σε αυστηρές (\(<\), \(>\)) και μη αυστηρές (\(\le\), \(\ge\)).
Πότε αλλάζει ο συμβολισμός της ανίσωσης σε αντίθετο;
Σε δύο περιπτώσεις: όταν πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε και τις δύο πλευρές με αρνητικό αριθμό και όταν αλλάζουμε τις θέσεις της αριστερής και της δεξιάς πλευράς. Κατά την πρόσθεση, αφαίρεση και διαίρεση με θετικό αριθμό ο συμβολισμός παραμένει ο ίδιος.
Πότε η παρένθεση είναι στρογγυλή και πότε τετραγωνική;
Στρογγυλή — αν το οριακό σημείο δεν περιλαμβάνεται στην απάντηση (αυστηρός συμβολισμός, κενό σημείο στον άξονα). Τετραγωνική — αν περιλαμβάνεται (μη αυστηρός συμβολισμός, γεμάτο σημείο). Κοντά στο \(+\infty\) και \(-\infty\) η παρένθεση είναι πάντα στρογγυλή.
Πώς διαφέρει η επίλυση μιας ανίσωσης από την επίλυση μιας εξίσωσης;
Οι μετατροπές είναι σχεδόν οι ίδιες, αλλά η απάντηση μιας εξίσωσης συνήθως αποτελείται από ξεχωριστούς αριθμούς, ενώ μιας ανίσωσης — από ολόκληρα διαστήματα. Επιπλέον, η ανίσωση έχει τον κανόνα αλλαγής συμβολισμού κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση με αρνητικό αριθμό, ο οποίος δεν υπάρχει στις εξισώσεις.
Τι ονομάζεται κλασματική ανίσωση και πού εξετάζεται;
Κλασματική (κλασματική-ρητή) ονομάζεται η ανίσωση, στην οποία η μεταβλητή βρίσκεται στον παρονομαστή, — για παράδειγμα \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); λόγω του παρονομαστή έχει πεδίο ορισμού, και δεν λύνεται με απλή διαίρεση. Αναλυτικός αλγόριθμος με παραδείγματα — σε ξεχωριστό υλικό ρητές ανισώσεις και μέθοδος διαστημάτων.
Σε ποια τάξη διδάσκονται την επίλυση ανισώσεων;
Οι γραμμικές ανισώσεις και τα διαστήματα αριθμών διδάσκονται στην 8η τάξη (στον Мерзляк — στην 9η), οι τετραγωνικές και κλασματικές-ρητές ανισώσεις με τη μέθοδο των διαστημάτων — στην 8η-9η τάξη, και οι άρρητες και εκθετικές — στο λύκειο.
